1. 引言
近年来,分数阶微分方程在化学工程、自动控制、热弹力学等领域得到广泛应用,分数阶微分方程的理论研究受到学者们的高度重视 [1] [2] [3] [4]。
在科学研究和工程技术领域等诸多领域中,如果假设事物的变化规律与过去的历史无关,只和当时的状态有关,那么可以用经典的微分方程刻画它的数学模型 [5] [6]。然而在实际需要中,许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态,还依赖于它过去和未来的发展状态。带时滞的泛函微分方程是刻画这类客观事物运动规律的数学模型。近年来,分数阶泛函微分方程边值问题受到研究者的关注,取得了很多研究成果 [7] [8] [9] [10]。
分数阶微分方程组在各大领域有着广泛应用,例如复数领域中的量子发展、动力系统、计算流体系统、生物遗传领域等 [11] - [21]。尽管分数阶微分方程组边值问题已经取得大量研究成果,但对分数阶泛函微分方程组的研究还不是很多。
基于前面提及的实际应用和研究成果,本文研究了一类非线性分数阶泛函微分方程组边值问题:
(1.1)
其中
,
。
,
是Riemann-Liouville分数阶导数,
,
,
,
,
,
,且
,
。
2. 预备知识
首先,给出一些基本定义和引理。
定义2.1 [4] 函数
的
阶Riemann-Liouville分数积分定义为
,
等式的右端在
有定义。
定义2.2 [4] 连续函数
的
阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为
,
只要等式的右端在
有定义。
引理2.1 [4] 假设n为正整数,
,则Riemann-Liouville分数阶微分方程
的通解为
,
其中
。
引理2.2 [4]
1) 若
,
则
,
.
2) 若
,
则
.
引理2.3 设
,
。则边值问题
(2.1)
存在唯一解
, (2.2)
, (2.3)
其中
(2.4)
(2.5)
证明 假设
是边值问题(2.1)的解,由引理2.1可得,存在
使得
,
.
由边界条
可得,
,
。所以
,
,
由引理2.2可得
,
,
因此,
,
,
由边界条件
,
可得
,
,
因此,边值问题(2.1)的唯一解是
.
类似地,
.
易证
满足(2.1),即为边值问题(2.1)的解。
证毕。
引理2.4 边值问题(1.1)等价于积分方程组
(2.6)
(2.7)
由
,
的表达式可以得到如下引理:
引理2.5 1)
,
是
上的连续函数;
2) 对任意的
有
.
3) 对任意的
有
.
证明 1) 由函数
,
的表达式可知,函数
,
在
上连续;
2) 当
时,显然有
。当
时,有
,
因此,对任意的
,都有
。
由(2.4)式可知,对任意的
,都有
.
因此,
。
同理可证,对任意的
,
。
证毕。
令
,定义范数
,在
上定义范数
,则
和
是Banach空间。
令
,
定义
上的范数
及
。显然,
且
是Banach空间,
是正规体锥。
对任意的
,
,
当且仅当
。于是
为半序的Banach空间。若
且
,记为
,若
,记为
。
对函数
和
补充定义,当
时,令
。显然。
。
任意的
,设
因此,对任意
,
,有
,
.
易得到以下引理:
引理2.6
是方程组(2.6) (2.7)的解当且仅当
是积分方程组
(2.8)
(2.9)
的解。因此
是方程组(3.1)的解当且仅当
是泛函微分方程组
(2.10)
的解。
3. 解的存在性
定义3.1设
,若
满足(1.1)中各等式,那么我们称
是边值问题(1.1)的一个解,若当
时,
,
,则称
为边值问题(1.1)的一个正解。
定义3.2设
,如果
(3.1)
则称
是边值问题(2.10)的上解。
定义3.3 设
,如果
(3.2)
则称
是边值问题(2.10)的下解。
引理3.1 (比较定理)设
,如果
满足
(3.3)
则当
时,
,
。
证明 令
,
,
,
。由
,
,
,
及引理2.3,边值问题
有唯一解
由引理2.5,当
时,
,
。
证毕。
为了证明方便,先给出如下假设:
(H) 任意的
和任意的
, 当
,
,对任意的
,有
,
,
,
.
引理3.2假如(H)成立,边值问题(1.1)存在上解
和下解
,且
。若
满足
(3.4)
(3.5)
则
,且
,
分别是边值问题(1.1)的上解和下解。
证明 由引理2.3可得
,
有定义。
由上解的定义及(3.4)可得,对任意
,
,
,
,
.
对任意的
,
,
.
由引理3.1可得,当
时,
,.
所以
.
类似地,容易证明。
由(3.4),(3.5)及(H)可得,对任意,
,
,
,
.
对于任意的时,
,.
由引理3.1得,当时,
,.
所以
.
综上所述。
对任意的,由(3.4)和(H)可得
,
,
,
,
所以
由上解定义可得是边值问题(1.1)的上解。
类似地,容易证明是边值问题(1.1)的下解。
证毕。
记序区间
.
定理3.1 假设(H)成立,若存在,且和分别是边值问题(1.1)的上解和下解。则边值问题(1.1)存在两个正解,,且,分别是边值问题(1.1)在该区间上的最大正解和最小正解。
证明 分别以,为初始元,通过迭代公式
(3.6)
(3.7)
和
(3.8)
(3.9)
产生两个序列,。由引理2.3知,分别为边值问题
(3.10)
(3.11)
的唯一解。
由引理3.2可得
.
易知序列,都一致有界,即存在常数使得对任意的,都有
, ,
因此
, , ,.
因为
,.
所以对任给定的,任意的,由的连续性可知,存在常数,,,使得任意的,都有
, ,
,.
对任意的,由于,在上连续,故,在上一致连续。对任意的,存在,当时,有
,.
因为,在上连续,所以,在上一致连续。对于上述,存在,当时,有
,.
取,则
.
类似地,可以证明任意的时,对任意的,存在,当时,有
.
所以函数列等度连续,由Ascoli-Arzela定理可知函数列相对列紧。类似地,容易证明相对列紧。又因为,是单调的,所以存在,使得
,.
这就暗示是边值问题(2.10)的一个下解,是边值问题(2.10)的一个上解,且。
由(3.6),(3.7)及Lebegsgue控制收敛定理,有
由引理2.3可知是边值问题(1.1)的解。类似地,容易证明是边值问题(1.1)的解。
假设是边值问题(2.10)在Y中的解,则。 假设对任意正整数n,都成立。与引理3.2类似可证
.
由数学归纳法可得,对任意的,有。
由迭代序列的收敛性可得。所以,分别是边值问题(1.1)在Y上的最大正解和最小正解。
证毕。
4. 例子
为了说明结论的适用性,我们考虑如下非线性分数阶泛函微分方程组边值问题:
(4.1)
其中,,,,,,,,,,。
对任意的,取
由于
则,分别为边值问题(4.1)的上解和下解,且满足。
另一方面,对任意的,,,,当,
时
,
,
,
,
满足条件(H)。由定理3.1可得,边值问题(17)在Y中的正解为,,且,分别是边值问题(4.1)的最大正解和最小正解。