一类SchrO^¨dinger-Poisson系统基态变号解的存在性

The Existence of Ground Statesign-Changing Solutions for a Class of SchrO^¨dinger-Poisson System

摘要: 运用Ekeland变分原理，约束变分等变分方法，研究有界光滑区域上一类Schrödinger-Poisson系统基态变号解的存在性。所得结果是前述已有工作的补充与推广。

Abstract: The existence of ground state sign-changing solutions for a class of Schrödinger-Poisson system in a bounded smooth region is studied by using the Ekeland variational principle and the constrained variational method. The results obtained are the supplement and extension of the previous work.

1. 前言和主要结果

本文研究如下Schrödinger-Poisson系统

$\{\begin{array}{ll}-\text{Δ}u-\lambda \varphi u={\left|u\right|}^{p-2}u,\hfill & x\in \text{Ω,}\hfill \\ -\text{Δ}\varphi =u^2,\hfill & x\in \text{Ω,}\hfill \end{array}$ (1.1)

极小能量变号解的存在性和渐近性态，其中 $\text{Ω}\in {ℝ}^N$ ( $N\ge 1$ )是一个有界的光滑区域， $\lambda$ 是一个大于零的参数， $2<p<2^{*}$。

系统(1.1)也来源于经典的Schrödinger-Poisson系统。近年来，一些学者特别关注Schrödinger-Poisson系统变号解问题研究，如文献 [1] - [10]。然而，这些文献都是在泊松函数前的参数大于零的条件下变号解的相关问题。

最近，在文献 [11] 中，Qian研究了如下基尔霍夫方程极小能量变号解

$\{\begin{array}{ll}-\left(a-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)\Delta u={\left|u\right|}^{p-2}u,\hfill & x\in \Omega ,\hfill \\ u=0,\hfill & x\in \partial \Omega ,\hfill \end{array}$ (1.2)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ ( $N\ge 1$ )是一个有界光滑区域， $a>0$， $\lambda >0$， $2<p<2^{*}$。运用约束变分，作者首先证明了当 $\lambda$ 充分小时系统(1.2)基态变号解的存在性；其次，证明了基态变号解的能量值严格大于基态解的能量值；最后，作者讨论了基态变号解的渐近行为。

受上述工作，尤其是文献 [11] 的启发，本文主要讨论系统(1.1)基态变号解的存在性。

设 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 是标准的Hilbert空间，其上的范数为 ${\Vert u\Vert }^2={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x$。注意到，对任意的 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$，记 ${\varphi }_u$ 是 $-\Delta \varphi =u^2$ 在 $D^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$ 中的唯一解，且

${\varphi }_u\left(x\right)=\frac{1}{4\text{π}}{\displaystyle {\int }_{R^3}\frac{u^2\left(x\right)}{\left|x-y\right|}\text{d}y}$. (1.3)

把(1.3)带入到系统(1.1)的第一个方程，系统(1.1)可转化为关于u的微分方程，其相应的能量泛函定义为：

$J_{\lambda }\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{\lambda }{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p}\text{d}x,u\in H_0^1(\; \Omega \; )$

显然 $J_{\lambda }\in C^1\left(H_0^1\left(\Omega \right),ℝ\right)$，且系统(1.1)的弱解是能量泛函 $J_{\lambda }$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 中临界点。

此外，如果 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 是系统(1.1)的解并且 $u^{\pm }\ne 0$，则u是系统(1.1)的变号解，此处 $u^{+}\left(x\right)=\max \left\{u\left(x\right),0\right\}$， $u^{-}\left(x\right)=\min \left\{u\left(x\right),0\right\}$。

考虑到对于任意的 $u\in {\mathcal{M}}_{\lambda }$ 很难找到一个常数 $C>0$ 使得 $\Vert u^{\pm }\Vert >C$，其中 ${\mathcal{M}}_{\lambda }=\left\{u\in H_0^1\left(\Omega \right):u^{\pm }\ne 0,\langle {J^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u^{\pm }\rangle =0\right\}$。为解决这一困难，定义截断函数 $g\in C^{\infty }\left(\left[0,+\infty \right),ℝ\right)$ 如下：

$\{\begin{array}{ll}g\left(t\right)=1,\hfill & t\in \left[0,1\right),\hfill \\ g\left(t\right)=0,\hfill & t\in \left(2,+\infty \right),\hfill \\ 0\le g\left(t\right)\le 1,\hfill & t\in \left[1,2\right],\hfill \\ -2\le g^{\prime }\left(t\right)\le 0,\hfill & t\in \left[0,+\infty \right).\hfill \end{array}$

修正能量泛函 $J_{\lambda }$ 为如下泛函：

$J_{\lambda ,T}\left(u\right)=\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{\lambda }{4}{G}_T\left(u\right){\Vert u\Vert }^4-\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|u^p\right|\text{d}x}$,

其中对于任意的 $T>0$， $G_T\left(u\right)=g\left(\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}\right)$。显然， $J_{\lambda ,T}\left(u\right)\in C^1\left(H_0^1\left(\Omega \right),ℝ\right)$。

令

${\mathcal{M}}_{\lambda ,T}=\left\{u\in H_0^1\left(\Omega \right):u^{\pm }\ne 0,\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u\right),u^{\pm }\rangle =0\right\}$, $m_{\lambda ,T}:=\inf \left\{J_{\lambda ,T}\left(u\right):u\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}\right\}$

主要结果如下：

定理1.1存在 ${\Lambda }^{*}>0$，使得对于 $\forall \lambda \in \left(0,{\Lambda }^{*}\right)$ 系统(1.1)在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 中至少有一个基态变号解 $u_{\lambda }$，其中 $u_{\lambda }$ 的能量严格大于基态解的能量值。

2. 几个重要引理

引理2.1． $\forall u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 且 $u^{\pm }\ne 0$， $\exists \left(t_u,s_u\right)\in {ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}$ 使得 $t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$ 并且当 $\lambda$ 足够小时，

$J_{\lambda ,T}\left(t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\right)=\underset{t,s\ge 0}{\max }{J}_{\lambda ,T}\left(t{u}^{+}+s{u}^{-}\right)$。

证明：固定 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 且 $u^{\pm }\ne 0$，定义泛函h： $\left[0,+\infty \right)\times \left[0,+\infty \right)\to ℝ$ 为

$\begin{array}{c}h\left(t,s\right)=J_{\lambda ,T}\left(t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\right)\\ =\frac{t^2}{2}{\Vert u^{+}\Vert }^2-\frac{\lambda }{4}{t}^4{G}_T\left(t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u^{-}}{\left|u^{+}\right|}^2}\text{d}x-\frac{t^p}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u^{+}\right|}^p}\text{d}x\\ +\frac{s^2}{2}{\Vert u^{-}\Vert }^2-\frac{\lambda }{4}{t}^4{G}_T\left(t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u^{-}}{\left|u^{+}\right|}^2}\text{d}x-\frac{s^p}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u^{-}\right|}^p}\text{d}x\\ -\frac{\lambda }{2}{t}^2{s}^2{G}_T\left(t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u^{+}}}{\left|u^{-}\right|}^2\text{d}x\end{array}$ (2.1)

因此泛函 $h\in C^2$。再根据泛函h和 $G_T$ 的定义，可得当 $\left|\left(t,s\right)\right|\to +\infty$ 时， $h\left(s,t\right)\to -\infty$。再由泛函h的连续性，可得泛函h在 $\left[0,+\infty \right)\times \left[0,+\infty \right)$ 中存在最大值点 $\left(t_u,s_u\right)$。

下面证明泛函h的最大值点不能在 ${ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}$ 的边界处取得。不失一般性，假设 $\left(\bar{t},0\right)$ 是泛函h的最大值点。我们很容易的得到，当 $t=\bar{t}$， $s=0$ 且 $\lambda$ 足够小时

$\begin{array}{l}\frac{\partial h}{\partial t}=\bar{t}{\Vert u\Vert }^2-\lambda {\bar{t}}^3{G}_T\left(\bar{t}{u}^{+}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u^{+}}}{\left|u^{+}\right|}^2-{\bar{t}}^{p-1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u^{+}\right|}^p}\text{d}x\\ -\frac{\lambda }{2}{\bar{t}}^4{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert \bar{t}{u}^{+}\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{1}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\nabla }\left(\bar{t}{u}^{+}\right)\nabla u^{+}\text{d}x{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u^{+}}}{\left|u^{+}\right|}^2\text{d}x>0\end{array}$ (2.2)

用相同的方法可得 $\frac{\partial h}{\partial s}>0$。因此，泛函h的最大值不能在边界处取得，即存在最大值点 $\left(t_u,s_u\right)\in {ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}$ 满足 ${\frac{\partial h\left(t,s\right)}{\partial t}|}_{\left(t_u,s_u\right)}={\frac{\partial h\left(t,s\right)}{\partial s}|}_{\left(t_u,s_u\right)}=0$。

据此可得 $\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\right),t_u{u}^{+}\rangle =\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\right),s_u{u}^{-}\rangle =0$，即 $t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$。

根据引理2.1，下面的推论成立。

推论2.1. 对于 $\forall u\in H_0^1\left(\Omega \right)$， $u^{\pm }\ne 0$， $\exists \left(t_u,s_u\right)\in {ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}$ 使得 $t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\in {\mathcal{M}}_{\lambda }$ 并且当 $\lambda$ 足够小时，

$J_{\lambda }\left(t_u{u}^{+}+s_u{u}^{-}\right)=\underset{t,s\ge 0}{\max }{J}_{\lambda }\left(t{u}^{+}+s{u}^{-}\right)$。

引理2.2. 泛函 $J_{\lambda ,T}$ 是下方有界的且在 ${\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$ 上是强制的。

证明：设 $u\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$，则 $\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u\right),u\rangle =0$，根据p的取值范围，下面分两种情况进行讨论。

1) 当 $2<p<4$ 时：

$\begin{array}{c}{J}_{\lambda ,T}\left(u\right)=J_{\lambda ,T}\left(u\right)-\frac{1}{p}\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u\right),u\rangle \\ =\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{\lambda }{4}{G}_T\left(u\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p}\text{d}x\\ -\frac{1}{p}\left[{\Vert u\Vert }^2-\lambda G_T\left(u\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{\lambda }{2T^2}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x{{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\nabla u\right|}}^2\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p}\text{d}x\right]\\ =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right){\Vert u\Vert }^2+\left(\frac{\lambda }{p}-\frac{\lambda }{4}\right)G_T\left(u\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x+\frac{\lambda }{2p}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right){\Vert u\Vert }^2+\frac{\lambda C}{2p{T}^2}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}\right){\Vert u\Vert }^6\ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right){\Vert u\Vert }^2-\frac{8\lambda C}{p}{T}^4.\end{array}$ (2.3)

2) 当 $4\le p<2^{*}$ 时：

$\begin{array}{c}{J}_{\lambda ,T}\left(u\right)=J_{\lambda ,T}\left(u\right)-\frac{1}{4}\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u\right),u\rangle \\ =\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{\lambda }{4}{G}_T\left(u\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p}\text{d}x\\ -\frac{1}{4}\left[{\Vert u\Vert }^2-\lambda G_T\left(u\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{\lambda }{2T^2}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right]\\ =\frac{1}{4}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\lambda }{8p}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{p}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{4}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\lambda }{8p}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}{\Vert u\Vert }^6\ge \frac{1}{4}{\Vert u\Vert }^2-2\lambda C{T}^4.\end{array}$ (2.4)

因此，由(2.3)和(2.4)知 $J_{\lambda ,T}$ 是下方有界且强制的。

引理2.3. 令 $\lambda \in \left(0,\frac{1}{4T^2{C}_1{S}_p^{-1}}\right)$，则

1) 对于 $\forall u\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$， $\exists$ 常数 $\mu >0$ 使得 $\Vert u\Vert \ge \mu >0$ ；2) 集合 ${\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$ 是闭的。

证明：1) 使用反证法，设 $\exists \left\{u_n\right\}\subset {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$ 使得 $\Vert u_n^{+}\Vert \to 0$ 或者 $\Vert u_n^{-}\Vert \to 0$。根据 $\left\{u_n\right\}\subset {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$， $g^{\prime }\le 0$，得到

${\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2-\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{\pm }\right)}^2\text{d}x-\frac{\lambda }{2T^2}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\nabla u_n^{\pm }\right)}^2}\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n^{\pm }\right|}^p}\text{d}x$.

由Sobolev不等式和 ${\Vert {\varphi }_u\Vert }_{D^{1,2}}\le C_1{\Vert u\Vert }^2$，可得到 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n^{\pm }\right|}^p}\text{d}x\le S_p^{-p/2}{\Vert u_n^{\pm }\Vert }^p$ 和

$\begin{array}{l}{\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2-\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{\pm }\right)}^2\text{d}x-\frac{\lambda }{2T^2}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u\Vert }^2}{T^2}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\nabla u_n^{\pm }\right)}^2}\text{d}x\\ \ge {\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2-\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{\pm }\right)}^2\text{d}x\\ \ge {\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2-\lambda C_1{S}_p^{-1}{G}_T\left(u_n\right){\Vert u_n\Vert }^2{\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2\end{array}$

即有 $1-\lambda C_1{S}_p^{-1}{G}_T\left(u_n\right){\Vert u_n\Vert }^2\le S_p^{-p/2}{\Vert u_n^{\pm }\Vert }^{p-2}$。另一方面，根据 $\Vert u_n^{+}\Vert \to 0$ 或者 $\Vert u_n^{-}\Vert \to 0$，对于任意的 $\lambda \in \left(0,\frac{1}{4T^2{C}_1{S}_p^{-1}}\right)$，很容易得到

$0<\frac{1}{2}\le 1-\lambda C_1{S}_p^{-1}{G}_T\left(u_n\right){\Vert u_n\Vert }^2\le S_p^{-p/2}{\Vert u_n^{\pm }\Vert }^{p-2}\to 0$.

这是不可能的．因此结论1) 成立。

2) 令 $u_n\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$， $u_n\to u_0$。根据 $u_n\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$，则

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_0^{\pm }\right|}^p}\text{d}x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n^{\pm }\right|}^p}\text{d}x\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2-\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{\pm }\right)}^2\text{d}x-\frac{\lambda }{2T^2}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\nabla u_n^{\pm }\right)}^2}\text{d}x\right]\\ ={\Vert u_0^{\pm }\Vert }^2-\lambda G_T\left(u_0\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_0}}{\left(u_0^{\pm }\right)}^2\text{d}x-\frac{\lambda }{2T^2}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u_0\Vert }^2}{T^2}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_0}}{u}_0^2\text{d}x{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\nabla u_0^{\pm }\right)}^2}\text{d}x\end{array}$

因此， $\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_0\right),u_0^{+}\rangle =\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_0\right),u_0^{-}\rangle$。

根据1) 中的结论，对于 $\forall \lambda \in \left(0,\frac{1}{4T^2{C}_1{S}_p^{-1}}\right)$，可得到 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2={\Vert u_0^{\pm }\Vert }^2\ge \mu >0$，即 $u_0^{\pm }\ne 0$。因此， $u_0\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$。所以，对于 $\forall \lambda \in \left(0,\frac{1}{4T^2{C}_1{S}_p^{-1}}\right)$，集合 ${\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$ 是闭的。

引理2.4. 存在 ${\Lambda }_1>0$ 和序列 $\left\{u_n\right\}\subset M_{\lambda ,T}$ 使得对于任意的 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_1\right)$ 有

$J_{\lambda ,T}\left(u_n\right)\to m_{\lambda ,T}$ 和 ${J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right)\to 0$。

证明：根据引理2.2和2.3，对于 $\forall \lambda \in \left(0,\frac{1}{4T^2{C}_1{S}_p^{-1}}\right)$，使用Ekeland变分原理得到极小化序列 $\left\{u_n\right\}\subset M_{\lambda ,T}$ 满足 $m_{\lambda ,T}\le {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right)<m_{\lambda ,T}+\frac{1}{n}$，且对任意的 $v\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$ 有 $J_{\lambda ,T}\left(v\right)\ge J_{\lambda ,T}\left(u_n\right)-\frac{1}{n}\Vert u_n-n\Vert$。显然， $\left\{u_n\right\}$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 中 $\left\{u_n\right\}$ 有界。

如果我们证明了 ${J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right)\to 0$，则引理2.4证明结束．为了完成证明，对于任意固定的 $\phi \in C^{\infty }\left(\Omega \right)$ 和任意的 $n\in \mathbb{N}$，我们考察如下 $C^1$ 泛函 $f_n^{\pm }:{ℝ}^3\to ℝ$，

$f_n^{\pm }\left(r,k,l\right)=\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n+r\phi +k{u}_n^{+}+l{u}_n^{-}\right),{\left(u_n+r\phi +k{u}_n^{+}+l{u}_n^{-}\right)}^{\pm }\rangle$.

令 $v_n=u_n+r\phi +k{u}_n^{+}+l{u}_n^{-}$，则

$\begin{array}{c}{f}_n^{\pm }\left(r,k,l\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\nabla {\left(v_n\right)}^{\pm }\right)}^2}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left({\left(v_n\right)}^{\pm }\right)}^p}\text{d}x-\lambda G_T\left(v_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{v_n}}{\left({\left(v_n\right)}^{\pm }\right)}^2\text{d}x\\ -\frac{\lambda {\Vert {\left(v_n\right)}^{\pm }\Vert }^2}{2T^2}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert v_n\Vert }^2}{T^2}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{v_n}}{\left(v_n\right)}^2\text{d}x.\end{array}$

由于 $\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right),{\left(u_n\right)}^{\pm }\rangle =0$，我们可得到 $f_n^{\pm }\left(0,0,0\right)=0$。此外，有

$\begin{array}{c}\frac{\partial f_n^{+}\left(0,0,0\right)}{\partial k}=-4\lambda g^{\prime }\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u_n^{+}\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{+}\right)}^2\text{d}x-2\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n^{+}}}{\left(u_n^{+}\right)}^2\text{d}x\\ -\lambda g^{″}\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right){\left(\frac{{\Vert u_n^{+}\Vert }^2}{T^2}\right)}^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x-\left(p-2\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n^{+}\right|}^p}\text{d}x,\end{array}$ (2.5)

$\begin{array}{c}\frac{\partial f_n^{-}\left(0,0,0\right)}{\partial l}=-4\lambda g^{\prime }\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u_n^{-}\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{-}\right)}^2\text{d}x-2\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n^{-}}}{\left(u_n^{-}\right)}^2\text{d}x\\ -\lambda g^{″}\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right){\left(\frac{{\Vert u_n^{-}\Vert }^2}{T^2}\right)}^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x-\left(p-2\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n^{-}\right|}^p}\text{d}x,\end{array}$ (2.6)

$\begin{array}{c}\frac{\partial f_n^{-}\left(0,0,0\right)}{\partial k}=-2\lambda g^{\prime }\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u_n^{-}\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{+}\right)}^2\text{d}x-2\lambda g^{\prime }\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u_n^{+}\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{-}\right)}^2\text{d}x\\ -2\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n^{+}}}{\left(u_n^{-}\right)}^2\text{d}x-\lambda g^{″}\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u_n^{+}\Vert }^2}{T^2}\frac{{\Vert u_n^{-}\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x,\end{array}$ (2.7)

$\begin{array}{c}\frac{\partial f_n^{+}\left(0,0,0\right)}{\partial l}=-2\lambda g^{\prime }\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u_n^{+}\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{-}\right)}^2\text{d}x-2\lambda g^{\prime }\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u_n^{-}\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{+}\right)}^2\text{d}x\\ -2\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n^{-}}}{\left(u_n^{+}\right)}^2\text{d}x-\lambda g^{″}\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right)\frac{{\Vert u_n^{+}\Vert }^2}{T^2}\frac{{\Vert u_n^{-}\Vert }^2}{T^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x.\end{array}$ (2.8)

根据引理2.3的1)，对于任意的 $\lambda <\min \left\{\frac{1}{4T^2{C}_1{S}_p^{-1}},\frac{{\mu }^2}{8T^2{C}_1{S}_p^{-1}}\right\}$，可得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n^{\pm }\right|}^p}\text{d}x={\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2-\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{\pm }\right)}^2\text{d}x-\frac{\lambda }{2T^2}{g}^{\prime }\left(\frac{{\Vert u_n\Vert }^2}{T^2}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\nabla u_n^{+}\right)}^2}\text{d}x\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n^{\pm }\right|}^p}\text{d}x={\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2-\lambda G_T\left(u_n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{u_n}}{\left(u_n^{\pm }\right)}^2\text{d}x\\ \ge {\mu }^2-\lambda C_1{S}_p^{-1}{G}_T\left(u_n\right){\Vert u_n\Vert }^2{\Vert u_n^{\pm }\Vert }^2\ge {\mu }^2-4\lambda C_1{S}_p^{-1}{T}^4\ge \frac{{\mu }^2}{2}\end{array}$ (2.9)

结合(2.5)~(2.9)和 $\left\{u_n\right\}$ 的有界性，取充分小的 ${\Lambda }_1>0$，使得对于任意的 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_1\right)\left({\Lambda }_1<\min \left\{\frac{1}{4T^2{C}_1{S}_P^{-1}},\frac{{\mu }^2}{8T^2{C}_1{S}_P^{-1}}\right\}\right)$ 有

$\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial f_n^{+}\left(0,0,0\right)}{\partial k}\hfill & \frac{\partial f_n^{+}\left(0,0,0\right)}{\partial l}\hfill \\ \frac{\partial f_n^{-}\left(0,0,0\right)}{\partial k}\hfill & \frac{\partial f_n^{-}\left(0,0,0\right)}{\partial l}\hfill \end{array}\right|\ge \frac{{\left(p-2\right)}^2}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n^{+}\right|}^p}\text{d}x{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n^{-}\right|}^p}\text{d}x\ge \frac{{\left(p-2\right)}^2{\mu }^4}{8}>0$.

因此，根据隐函数定理得到 $r_n>0$ 且两个一阶可导泛函 $k_n,l_n:\left(-r_n,r_n\right)\to ℝ$，使得 $k_n\left(0\right)=l_n\left(0\right)=0$ 和

$f_n^{\pm }\left(r,k_n\left(r\right),l_n\left(r\right)\right)=0$, $\forall r\in \left(-r_n,r_n\right)$. (2.10)

即 $u_n+r\phi +k_n\left(r\right)u_n^{+}+l_n\left(r\right)u_n^{-}\in {\mathcal{M}}_{\lambda ,T}$， $\forall r\in \left(-r_n,r_n\right)$。

令 $w_n=u_n+r\phi +k_n\left(r\right)u_n^{+}+l_n\left(r\right)u_n^{-}$，则

$J_{\lambda ,T}\left(u_n+w_n\right)-J_{\lambda ,T}\left(u_n\right)\ge -\frac{1}{n}\Vert w_n\Vert$, $\forall r\in \left(-r_n,r_n\right)$. (2.11)

根据泰勒展开式， $\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right),{\left(u_n\right)}^{\pm }\rangle =0$，从而有

$J_{\lambda ,T}\left(u_n+w_n\right)-J_{\lambda ,T}\left(u_n\right)=\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right),w_n\rangle +o\left(\Vert w_n\Vert \right)=r\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right),\phi \rangle +o\left(\Vert w_n\Vert \right)$.

根据(2.11)，则

$\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right),\phi \rangle +\frac{o\left(\Vert w_n\Vert \right)}{r}\ge -\frac{1}{n}\Vert \phi \Vert -\frac{1}{n}\Vert \frac{k_n\left(r\right)}{r}{u}_n^{+}+\frac{l_n\left(r\right)}{r}{u}_n^{-}\Vert$. (2.12)

结合(2.5)，(2.9)和 $\left\{u_n\right\}$ 的有界性，我们容易得到存在 $C_2>0$ 使得对于任意的 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_1\right)$，有 $\left|{k^{\prime }}_n\left(0\right)\right|=\left|\frac{\left(\partial f_n^{+}\right)/\left(\partial r\right)\left(0,0,0\right)}{\left(\partial f_n^{+}\right)/\left(\partial k\right)\left(0,0,0\right)}\right|\le C\Vert \phi \Vert \le C_1$。类似地，我们可得到对于任意的 $C_3>0$ 有 $\left|{l^{\prime }}_n\left(0\right)\right|\le C_3$。

下面固定n，令(2.12)中的 $r\to 0$，可得到 $\langle {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right),\phi \rangle \ge -\frac{1}{n}\Vert \phi \Vert -\frac{C_3}{n}$。

因此， $\Vert {J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right)\Vert \le \frac{C_4}{n}$。所以 ${J^{\prime }}_{\lambda ,T}\to 0$。这样我们完成了引理2.4的证明。

根据引理2.2和引理2.3，我们得到 $m_{\lambda ,T}>0$。

引理2.5. 如果 $\lambda \in \left(0,\frac{1}{4T^2{C}_1{S}_p^{-1}}\right)$，则 $J_{\lambda ,T}$ 满足 ${\left(PS\right)}_{m_{\lambda ,T}}$ 条件。

证明：令 $\left\{u_n\right\}\subset H_0^1\left(\Omega \right)$ 且是 $J_{\lambda ,T}$ 的 ${\left(PS\right)}_c$ 序列，即

$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_{\lambda ,T}\left(u_n\right)=m_{\lambda ,T}$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{J^{\prime }}_{\lambda ,T}\left(u_n\right)=0$. (2.13)

根据引理2.2可得到 $\left\{u_n\right\}$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 中是有界的，因此，存在 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 满足

$\{\begin{array}{ll}{u}_n\rightharpoonup u,\hfill & \text{in}{H}_0^1\left(\Omega \right)\hfill \\ u_n\to u,\hfill & \text{in}{L}^r\left(\Omega \right)\hfill \\ u_n\to u,\hfill & a.e.\text{in}\Omega \hfill \end{array}$,. (2.14)

根据(2.13)和(2.14)，对于足够大的n，我们有

(2.15)

对于任意的，也可得到

因此，根据(2.15)可得，即。又在中弱收敛，便可得。

引理2.6．取引理2.4中的，则对于任意的，存在使得在处可达，且是泛函的变号临界点。

证明：根据引理2.4，存在极小化序列使得对于，有

和。

根据引理2.5，存在使得在中，。结合引理2.3，可得到，，，即是的变号临界点且。

引理2.7. 令是引理2.6中泛函的变号临界点，则当T足够大时，存在使得对于任意的有。

证明：定义泛函，．根据引理2.1，存在且使得成立，此处的。则可得到

(2.16)

此处是一个常数，独立于，T。下面将对p分两种情况进行讨论：

情况一：时，在此情况下，与引理2.2的证明类似，由得

. (2.17)

假设，则根据(2.16)，(2.17)得

.

当T足够大和时，得出矛盾。

情况二：时，与引理2.2证明相同，根据，可得。因此，对于足够大的T，当时，得到与情况一相同的结论。这与假设是矛盾的。所以，令，当时结论成立。

3. 主要结果的证明

定理1.1将分三步来进行证明：

第一步：存在使得对于任意的，系统(1.1)有基态变号解。

取引理2.7中的T，，根据引理2.6和2.7我们可得到是的变号临界点且满足和。再结合得是的变号临界点且满足。为了证明我们的结论，需要研究下面的极小化问题。令

，此处。

显然，中包含系统(1.1)的所有变号解。因此，在中的极小元就是系统(1.1)的基态变号解。

由于，所以。因此，存在极小化序列满足，。通过与引理2.2类似的讨论，易得在中是强制的和下方有界的。由强制性可得在中是有界的。因此，存在常数使得对于任意的有成立。应用于引理2.5类似的讨论，可得

到对于，有收敛子列，此处收敛的子序列仍然用来表示。因此，我们不妨假

设在中，存在使得，从而得到，。根据，则

。

由于，可得到

,

即。因此，我们得到且，即是系统(1.1)的基态变号解。综上，取

，当时系统(1.1)存在基态变号解。

第二步：系统(1.1)存在基态解。考虑下面的极小化问题

，此处。

对于任意的，容易得到存在唯一的使得。另外，很容易得到在是强制下方有界的且对于任意的有。

与第一步的讨论类似，我们可证明存在使得，，即是系统(1.1)的基态解。

第三步：。根据第一步，可得到系统(1.1)存在基态变号解。而且存在唯一的使得。从而根据推论2.1可得到

。