1. 引言
耦合可积无色散(CID)系统
,
(1)
是由Konno和Oono提出的 [1]。因为它是一个优质的可积系统 [2],所以引起了人们对该系统的研究热情。并且它在物理应用方面有很多应用 [3],例如,它可以描述三维欧几里德空间中电流与外部磁场的相互作用。接着Hirota、Tsujimoto [4]、Ishimori [5] 成功地将CID系统转化为Sin-Gordon方程。并且在 [6] 中证明了复的CID系统
,
(2)
等效于Pohlmeyer-Lund-Regge模型的规范。在 [7] 中,用IST方法研究了其柯西问题。实际上,实的CID系统(1)和复的CID系统(2)都是一般CID系统
,
,
(3)
在
和
的特殊情况。一般CID系统在群里论点 [8] 中被提出,它的孤子解也应用IST方法被求出。随着一些非线性方程的怪波解的出现 [9] [10] [11] [12] [13],复CID系统(2)的怪波解也被求出。实际上,实CID系统(1)和复CID系统(2)都可以转化为实短脉冲方程和复短脉冲方程 [14] [15] [16],该方程可以描述超短脉冲在光纤中的传播。利用相应的速矢图变换,还可以从复CID系统的解中得到复短脉冲方程的一些孤子解 [17] [18]。值得一提的是,多分量的复CID系统可以转化成
, (4)
可以转化成多分量的短脉冲方程。
关于两分量复的CID系统
,
(5)
的研究,也有了一些新的孤子解。例如,在背景解消失时的多峰孤子波解,这种解是局域波解,其振幅在传播过程中呈现周期性变化,同时它的呼吸II-型解、共振解、半有理性确定性奇异波解也相应被求出。
近年来,非局部可积方程引起了人们的广泛关注。非局部CID系统的对称性得到了证明,同时逆时空非局部CID系统的保对称不稳定孤子解以及经典CID系统的稳定孤子解都已经被求出。文献 [19] 构造了非局部Sine-Gordon方程的N-次Darboux变换,得到了该方程的多孤子解。并且文献 [19] 中还提到了非局部复的耦合无色散(CCD)方程。本文主要研究的是两分量复的CID系统(5)在
,
时得到的非局部两分量复CID系统:
(6)
在第二节中,构造非局部两分量复CID系统的达布变换(DT),它是构造可积系统解的一种有效方法。在第三节中,利用1-次DT,得到了在非局部两分量复CID系统(6)中的孤子解。
2. 非局部两分量复CID系统的Darboux变换
在本节中,我们将构造非局部两分量复CID系统的达布变换(DT)。
令
,
(7)
是二阶单位矩阵(*表示复共轭)。方程(6)的Lax对表示为:
,
,
(8)
其中
为光谱参数,
(T表示矩阵转置)。
如果
是
处Lax对(8)的列向量特征函数,此时很容易验证
是
的Lax对(8)的列向量特征函数。为了方便起见,我们用
,
,
分别表示
,
,
。
方程Lax对(8)的伴随问题是
(9)
其中
,(
表示矩阵的复共轭转置),同时能够证明
是
时(9)的解。
根据构造Darboux变换(DT)的过程,我们得到了lax对的一阶Darboux变换
(10)
其中
,
,
,
变换(10)是非局部两分量复CID系统及其Lax对(8)的Darboux变换,变换后的谱问题和时间演化方程为
,
,
(11)
其中
(12)
(13)
,
,
和
,
,
之间的关系是
(14)
其中:
,
,
。
3. 非局部两分量复CID系统的孤子解
本节利用达布变换得到了不同条件下非局部两分量复CID系统的孤子解,并分析它们的渐进行为。
3.1. 种子解为零时非局部两分量复CID系统的解
,
,
,
(15)
其中:
,
。
令
,
,
。
将其代入(14)可得出孤子解为:
(16)
当
时这些解是非奇异的。当
全不为0时,式(16)中的分量
和
都是沿
传播的局域波,具有周期性现象,可称为多峰孤子波。
3.2. 种子解不为零时非局部两分量复CID系统的解
容易验证非局部的两分量CID系统有平面波解
、
、
,其中
,
,
都是常数,在这个种子解下,为了求解线性微分方程(1.7),对
作变换
(17)
则
满足,如下常系数的微分方程
(18)
其中
矩阵
的特征方程是
(19)
其中四个特征根是
。
当
,
时,则特征方程(21)为
(20)
其中
(21)
当
时我们能得出方程的特征根是
它对应的特征向量是
。当
时我们能得出方程的特征根是
,它对应的特征向量是
。
令
,则可以得出
对应的线性问题(8)的通解是
(22)
其中:
,
,
则可以的得出特征函数是
(23)
其中
。
将其代入(14)可得出孤子解为
(24)
其中
。当
时这些解是非奇异的。当
不全为0时,式(24)中的分量
和
也都是孤子波。
4. 结论
本文研究的是非局部两分量复CID系统。我们给出了该方程的Lax对,并构造了其达布变换,利用Darboux的方法考虑零和非零种子解两种情况,得出非局部两分量复CID方程的孤子解。