1. 引言
作为模糊集的一种新拓展,犹豫模糊集的基本组成元素为犹豫模糊元素,每个犹豫模糊元素是由若干个可能的数值构成的集合,这一理论的提出丰富了模糊集理论。把犹豫模糊集应用到不同的代数结构中,已经得到了一些研究成果,例如:刘春辉、傅小波、张建忠等分别在BL-代数、FI-代数、布尔代数以及Fuzzy蕴含代数给出了犹豫模糊滤子、犹豫模糊同余、犹豫模糊滤子格、犹豫模糊理想等概念,并且取得了许多的研究成果 [1] - [6]。
本文主要是把犹豫模糊集理论应用在R0-代数上,表达了反犹豫模糊MP滤子、反犹豫模糊素MP滤子以及反犹豫蕴含滤子的基本概念,并得出了这几类反犹豫模糊滤子的性质以及一些等价刻画。首先介绍了R0-代数的反犹豫模糊MP滤子,其次介绍了R0-代数的反犹豫模糊素MP滤子,最后介绍了R0-代数的反犹豫模糊蕴含滤子。
2. 基础知识
定义2.1 [7] 设X是任一集合,f为
的映射,若对
,有
,则称f为对合映射。很容易看出,若f是对合的,那么f是一一对应的。
定义2.2 [7] 设L是一个完备格,f为
的映射,若对
,当
时有
,则称f为逆序映射。
定义2.3 [7] 若f既是逆序映射,又是对合映射,则称f为逆序对合对应。
定义2.4 [8] 令
是一个
型代数,满足下列条件:
(1)
是有界分配格;
(2)
是R上的逆序对合对应,
是R上的二元运算,如果R满足以下条件:
(T1)
;
(T2)
,
;
(T3)
;
(T4)
;
(T5)
,
;
(T6)
。
则R称为R0-代数。本文中出现的
我们均用
表示。
性质2.5 [9] 令R是R0代数,
,则下列结论成立:
(P1)
当且仅当
;
(P2)
当且仅当
;
(P3)
,
;
(P4) 若
,则
;若
,则
;
(P5)
;
(P6)
;
(P7)
;
(P8)
;
(P9)
;
(P10)
;
(P11)
,
;
(P12)
。
性质2.6 [9] 令R是R0代数,
,
则
(P13)
是以1为单位的交换半群;
(P14) 若
,则
;
(P15)
;
(P16)
当且仅当
;
(P17)
;
(P18)
,
;
(P19)
。
引理2.7 [10] 令R是R0代数,
则
(P20)
;
(P21)
,
;
(P22)
;
(P23)
。
定义2.8 [9] 令R是R0-代数,
是R到R0单位区间上的映射,则称
为R0-代数R上的模糊集,用
表示R0-代数R上的模糊集全体。
定义2.9 [10] 令R是R0-代数,
,
若
(1)
;
(2)
,
。
因此我们称A为R上的MP滤子。
定义2.10 [10] 令R是R0-代数,若
,当
时,
或
,则称A为R上的素MP滤子。
定义2.11 [11] 令R是R0-代数,
,若
(1)
;
(2)若
,
那么
。
则称A为R上的蕴含滤子。
定义2.12 [12] 令R是非空集合,R上的犹豫模糊集
定义如下:
其中
是由区间
上若干个不同值构成的集合,表示R中的元素x属于集合
的若干种可能隶属度。
3. R0-代数的几类反犹豫模糊滤子
3.1. R0-代数的反犹豫模糊MP滤子
定义3.1.1令
是R上的犹豫模糊集,若满足下列条件
(F1)
,
;
(F2)
,
。
则称
是R上的反犹豫模糊MP滤子。
定理3.1.2令R是R0-代数,
是R上的反犹豫模糊MP滤子,那么
(F3)
是单调不增。
证明:设
是R上的反犹豫模糊MP滤子,则(F1) (F2)成立,设
,
,则由(P1)可得,
。
因此由定义3.1.1可知
。
综上所述,(F3)成立。
定理3.1.3设
是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F1)与(F4)成立,其中
(F4)
。
证明:我们需证明,当成立时(F2)与(F4)等价,接下来我们假设(F2)成立。
首先证(F2)
(F1);
因为(F1)和(F2)成立,所以可知(F3)成立;
由(P22)可知,
,再由(F3)可得
;
由(F3)得,
;
于是,我们有
;
因此(F4)成立;
再证(F4)
(F5);
由(F4)可得
;
由(T2)有
;
所以(F2)成立,综上所述,定理得证。
定理3.1.4设
是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F3)和(F5)成立,其中
(F5)
。
证明:设
是R上的反犹豫模糊MP滤子;
则由定理3.1.2直接可以得出(F3)成立;
由(F2)可得
;
又由(P21):
,因此由(F3)可得
;
从而
即(F5)成立。
反之,假设(F3)和(F5)成立,现在证明(F1)和(F2)成立,从而
是R上的反犹豫模糊MP滤子;
因为
,由(F3)有
,因此(F1)成立;
由(F5)可得,
;
由(P20):
和(F3)可得
;
因此
,即(F2)成立;
综上所述,定理得证。
定理3.1.5设
是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F6)和(F7)成立,其中
(F6)
;
(F7)
;
证明:设
是R上的反犹豫模糊MP滤子;
由(F5)可得
;
由(P15):
可得,
;
因此由(F3)可得,
;
从而
;
故
即(F6)成立;
由(F3)容易得到
;
再由(P15):
和(F3)及(F6)得
;
从而
即(F7)成立。
反之,若(F6)和(F7)成立,则容易证明(F3)和(F5)成立,从而由定理3.1.4可知,
是R上的反犹豫模糊MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.1.6设
是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F8)成立,其中
(F8)
。
证明:设
是R上的反犹豫模糊MP滤子,
。
若
,则由(P16):
当且仅当
知,
,所以由(F3)和(F5)可得,
,故(F8)成立。
反之,假设(F8)成立,由(P21):
和(F8)可得
,即(F5)成立;
又由(P23):
和(F8)可得
,由此可知
时
,即(F3)成立。
因此由定理3.1.4可知,
是R上的反犹豫模糊MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.1.7令
是R上的犹豫模糊集,则
为R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当
,若
,则
是R的MP滤子。
证明:设
是R上的反犹豫模糊MP滤子。
且
,现在我们证明
是R的MP滤子。
由
可知,
使得
,再由(F1)可知,
,故
;
设
,
,因此我们可以得到
,
,接着由(F2)可知,
。
从而
,故
是R的MP滤子。
反之,证明
为R上的反犹豫模糊MP滤子。
,令
,则有
,即
,由
是R的MP滤子,则
,从而
,故(F1)成立;
,令
,则
,
,即
;由
是R的MP滤子,因此可得
,从而
,故(F2)成立。因此,
是R上的反犹豫模糊MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.1.8令
是R上的犹豫模糊集,则
为R上的反犹豫模糊MP滤子,则有
,
是MP滤子,这里
。
证明:由
知,
,因此由定理3.1.7可知
是MP滤子。
3.2. R0-代数的反犹豫模糊素MP滤子
定义3.2.1设
是R上的反犹豫模糊MP滤子,若
满足下列条件:
(F9)
。
则称
是R上的反犹豫模糊素MP滤子。
定理3.2.2设
是R上的反犹豫模糊MP滤子,则
是R上的反犹豫模糊素MP滤子当且仅当(F10)成立,其中(F10)
。
证明:设
是R上的反犹豫模糊素MP滤子,则(F9)成立,又由(F3)可知
单调不增,从而可知
,因此(F10)成立。
反之,设
是R上的反犹豫模糊MP滤子且满足(F10),则(F9)显然成立,故由定义3.2.1可知,
是R上的反犹豫模糊素MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.2.3设
是R上的反犹豫模糊MP滤子,则
是R上的反犹豫模糊素MP滤子当且仅当(F11)成立,其中(F11)
。
证明:若
是R上的反犹豫模糊素MP滤子,则由(F10)可知,
,根据(P6)可知
,从而
,因此(F11)成立;
反之,设
是R上的反犹豫模糊MP滤子且(F11)成立,
则由(P10):
及(F3)可得
从而
,
,由(F2)可得
,
,所以
,
因此,
(由(F11)可知
即(F9)成立,故
是R上的反犹豫模糊素MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.2.4设
是R上的犹豫模糊集,则
是R上的反犹豫模糊素MP滤子当且仅当
,若
,则
是R的素MP滤子。
证明:设
是R上的反犹豫模糊素MP滤子,则
是R上的反犹豫模糊MP滤子,因此由定理3.1.7可知,当
时,
是R的MP滤子。假设
,则
,
,由(F10)可知,
,故
,从而
是R的素MP滤子;
反之,当
时,则
是R的素MP滤子,则
是R的MP滤子,因此由定理3.1.7可知,
为R上的反犹豫模糊MP滤子。假设
,令
,即
,而
,从而有
为素MP滤子,即而可知
或
,即有
或
,因此
,故
是R上的反犹豫模糊素MP滤子。
综上所述,定理得证。
3.3. R0-代数的反犹豫模糊蕴含滤子
定义3.3.1设R是R0代数,若
,满足以下条件:
(F11)
;
(F12)
。
则称
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。
定理3.3.2设
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,则
是R上的反犹豫模糊MP滤子。
证明:设
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,在(F12)中,令
,则有
因此由定义3.1.1可知,
是R上的反犹豫模糊MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.3.3设
是R上的反犹豫模糊MP滤子,则
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子当且仅当
,
成立。
证明:假设
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,
,我们有:
反之,我们假设
是R上的反犹豫模糊MP滤子且有
,
,从而我们可以得到:
因此,
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.3.4设
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,
,则有(F13)成立,其中(F13)
。
证明:假设
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,则由定理3.3.3可知:
又由于
与(F3)可知,
,因此我们有
,即(F13)成立。
综上所述,定理得证。
定理3.3.5令
是R上的犹豫模糊集,则
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子当且仅当
,若
,则
是R的蕴涵滤子。
证明:假设
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,
,
,我们由定理3.3.2和定理3.1.7可知,
是R的MP滤子。现在我们要得到
是R的蕴涵滤子,如果
且
,从而得到
且
,因为
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,我们可以得到
,继而得到
,因此
是R的蕴涵滤子;
反之,假设
,若
,则有
是R的蕴涵滤子,由定理3.1.7可知
为R上的反犹豫模糊MP滤子。现在我们需要证明
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。令
,因此
且
,又因为
是R的蕴涵滤子,所以可以得到
,即
,由定义3.3.1可知,
是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。
综上所述,定理得证。