1. 引言
均衡问题(也称为广义KyFan极大极小不等式)是优化领域研究中的一个重要组成部分。这一问题的研究历史可追溯到二十世纪七十年代Ky Fan等人对不等式问题的研究,它是由Blum和Oettli [1] 于1994年在有限维的欧几里得空间中正式提出的,随后Ansari [2],Bianchi,Hadjisavvas和Schaible [3] 以及Oettli [4] 等多名学者将均衡问题推广到向量情形,提出了向量均衡问题。值得注意的是,向量均衡问题包含了向量最优化问题、向量变分不等式问题、向量鞍点问题、极小极大不等式问题以及不动点问题等诸多重要数学问题作为特例。这也就为研究和处理上述重要的数学问题提供了统一且简洁的框架,同时也为研究向量均衡问题提供了强有力的理论动机(参见文献 [5] [6] [7] [8] [9])。
另一方面,经典的数值优化由于目标单一,其最优解通常也是唯一的。与此不同的是向量优化问题,因为它目标是(有限或无限)多个的,所以导致向量优化的解具有多样性。到目前为止,不同的学者从不同的实际应用角度出发,针对向量优化问题,提出了多种解的概念,如:有效解、弱有效解、Benson真有效解、Hening真有效解、全局有效解等。然而最近,Chicco [10] 在有限维空间中用一个新的集合来代替由像空间中诱导出偏序的锥,称之为改进集。它可以将向量优化中的多种有效解概念统一起来,这为处理向量优化问题提供了统一而又简洁的框架。
受以上工作的启发,本文将结合改进集来研究双层强向量均衡问题解的存在性。这在一定程度上推广和发展了已有文献的结论。全文分为四小节,在第2小节给出文中要用到的一些概念和已知结论;第3小节考虑了改进集下双层强向量均衡问题,并得出了其解集的存在性结果;第4小节总结了本文的研究工作以及所获得的结论。
2. 预备知识
定义1 [11] 设
是两个拓扑空间,称集值映射
。
1) 在
点是上半连续的(简写为u.s.c.),如果对包含
的每一开集V,都存在包含
的开集U,使得
,都有
;
2) 在
点是下半连续的(简写为l.s.c.),如果对每一开集V且
,都存在包含
的开集U,使得
,都有
;
3) 在
点是闭的,如果对任意的网
且
,则有
或
;
4) 在X上是u.s.c.的(相应地,l.s.c.),如果F在X上的每一点都是u.s.c.的(相应地,l.s.c.);
5) 在X上是连续的,如果F在X上既是u.s.c.又是l.s.c.的。
引理1 [11] 设
是两个拓扑空间,
是一集值映射。
1) 当Y是Hausdorff拓扑空间时,若F在给定的
处是u.s.c.的且有紧值(即
是紧集),则F在
处是闭的;进而,若F在X上是u.s.c.的且有紧值,即F在X上的每一点
是u.s.c.的且有紧值,则F在X上是闭的;
2) 对给定的
,若
是紧的,那么F在
处是u.s.c.的充要条件是:对任意的网
满足
,对任意的网
且
,存在某个
以及
的某个子网
,使得
;
3) F在
点是l.s.c.的充要条件是:对任意的
和任意的网
且
,存在网
,使得
且
;
4) 如果
是两个Hausdorff拓扑线性空间且Y是紧的,F有非空闭值,那么F在X上为u.s.c.的充要条件是F为闭映射。
定义2 [12] 设X和Y是两个实的Hausdorff拓扑线性空间,K是X中的非空子集,C为Y中的非空闭凸锥,称向量值映射
。
1) 在
处是C-上半连续的(简记为C-u.s.c.),如果对于Y中零元的任意邻域V,都存在
的邻域U,使得
若f在K中的每一点都是C-u.s.c.,则称f在K中是C-u.s.c.;
2) 在
处是C-下半连续的(简记为C-l.s.c.),如果对于Y中零元的任意邻域V,都存在
的邻域U,使得
若f在K中的每一点都是C-l.s.c.,则称f在X中是C-l.s.c.;
3) 如果f在K上既是C-u.s.c.的又是C-l.s.c.的,则称f在K上是C-连续的。
注1由定义易知,f在
处是C-上半连续的充要条件是-f在
处是C-下半连续的,进而可知f在K上是C-连续的充要条件是-f在K上是C-连续的。
定义3 [10] 设Z是一实的Hausdorff拓扑线性空间,K是X中的非空子集,C为Y中的非空闭凸锥。
1) 给定集合
,记
,并称之为E的上方集。
2) 如果有
,那么称E是Z中的上全集。
3) 进一步,若上全集E满足
,则称E是一个改进集。
下面给出几个改进集的引理,这在第三节——主要结果中起到了重要的作用。。
引理2 [12] 假设
是改进集,若
,则有
。
引理3 [13] 改进集有下述基本性质:
1)
且
。进一步,
;
2)
;
3)
。
3. 主要结果——改进集下双层强向量均衡问题解的存在性
在本节中,假设
是三个实的Hausdorff拓扑线性空间,并用
和
分别表示一个集合K的内部和闭包。再设A是X中的一个非空闭凸子集,C是Z中的闭凸点锥且内部非空,即
。
考虑下述的双层强向量均衡问题:分别求
,使得
(BSVEP)
其中
是下面向量均衡问题的解集:求
使得
(SVEP)
当
,(BSVEP)退化为双层向量均衡问题:
求
,使得
其中
。
接下来将借助于向量Thikhonov-type正则化过程来考虑双层强向量均衡问题解的存在性。为此,我们引入对应的混合向量均衡问题:
,求
,使得
(MSVEP)
。
定理1假定向量值映射
满足下列条件:
1)
是C-上半连续的;
2)
蕴含着
;
3)
是C-上半连续的;
4)
,(MSVEP)有解
。
则
的每一个聚点
是(BSVEP)的一个解。
证明:设
是网
的一个聚点。
,令
为(MSVEP)的解集,即
证明过程分成两步来完成。
1)
有
,也就是
。
对任意给定的
,由条件(4),有
,即
且
(1)
由条件(3),函数
关于x是C-上半连续的。那么对Z中零点的任一平衡邻域V,存在
,
的邻域
,使得对任意的
都有
而且有
因为
,不难得到
。
又因为C是凸锥,有
。
结合(1)式,我们有
再根据f的C-上半连续性,可知对上述的邻域,存在
,
的邻域
,使得对任意的
都有
而且有
那么对上述的邻域,我们令
,存在
,
的邻域U,使得对任意的
都有
而且有
注意到V是平衡邻域,C是锥,上式可写成
这也就表明对给定的
,我们有
。又由y的任意性,我们得到
有
,也就是
。
2) 现在我们需要证明
,其中
。
注意到
,又任取一向量
,有
我们断言对任意的
都有
。
注意到
,我们可以得到
。又由条件(2),可以得到
。
因此有
那么对任意的
,我们有
。进而我们可以得到
(2)
接下来我们证明
,
。由假设条件向量值映射
是C-上半连续的和条件
是解集
的一个聚点。那么对任意取定的邻域W,令
,存在Z中的零点开邻域
和
使得
,我们有
结合(2)式,我们有
由此我们得到
,
。
综上所述,我们已经证得(MSVEP)解集
的每一个聚点
是(BSVEP)的一个解。
下面我们将给出一个例子来说明定理1中的条件(2)是可以满足的:
例1 设
。
对任意的
,定义向量值映射
为
。
我们现在来考虑条件(2)是否成立。首先对任意的
有
。注意到
,也就是
,那么可以知道其解集是
。进而我们可以得到
。故条件(2)成立。
4. 结论与展望
本文介绍了改进集的一些特性,并在此基础上研究了改进集下的双层强向量均衡问题,借助向量Thikhonov-type正则化过程获得了其解的存在性。改进集是一个新兴的研究课题,它可以将向量优化问题的多种有效解概念统一起来,为研究和处理向量优化问题带来极大的方便。可以深入探讨基于改进集的各类向量优化问题。
基金项目
江西省教育厅科学基金项目(GJJ210866、GJJ210827)。