基于隔离人群的SEIRS模型研究香港新冠肺炎传播趋势

To Study the Transmission Trend of COVID-19 in Hong Kong Based on SEIRS Model of Quarantined Population

摘要: 由于二次感染及“复阳”问题的出现，以及隔离人群变量的增加，本文在SEIR传染病模型基础上，建立含有隔离人群的SEIRS模型。使用香港第五波新冠疫情数据，通过最小二乘法求得含有隔离人群的SEIRS模型中各参数最优解，并使用Python软件模拟得到新冠病毒传播趋势。结果显示：含有隔离人群的SEIRS模型与香港新冠肺炎的实际传播走势较为一致。表明增加有效的隔离手段，如建立方舱医院等方式，能提升隔离率，使感染人群数量不断下降，从而以最大力量保护人民生命安全。

Abstract: Due to the emergence of secondary infection and “re-infection”, as well as the increase of quaran-tined population variables, a SEIRS model was established based on the SEIR epidemic model with quarantined population. Using the data of the fifth wave of COVID-19 in Hong Kong, the least square method was used to obtain the optimal solution of each parameter in the SEIRS model containing the quarantined population, and the spread trend of COVID-19 was simulated by Python software. The result shows: the SEIRS model containing quarantined population is consistent with the actual transmission trend of COVID-19 in Hong Kong. It shows that increasing effective isolation methods, such as the establishment of mobile cabin hospitals, can improve the isolation rate, reduce the number of infected people, so as to protect people's lives as much as possible.

1. 引言

新型冠状病毒肺炎(Corona Virus Disease 2019, COVID-19)，简称“新冠肺炎”。根据世界卫生组织统计数据，2020年初爆发至今，全球新冠肺炎确诊病例达489,779,062例，死亡病例达到6,152,095例，(来自网页：http://www.gov.cn/xinwen/2022-04/05/content_5683503.htm)，全球新冠确诊病例超过100万例的国家和地区达56个，124个国家和地区病例超10万例，新冠病毒肆虐全球，不容忽视。

各国学者把新冠肺炎疫情看作是全球性大流行病，使用SI、SIS、SIR、SIRS、SEIR等常见传染病模型讨论其传播速度、空间范围、传播途径等问题 [1] 。然而新冠肺炎疫情爆发至今，有研究 [2] [3] 发现，在新冠肺炎治愈的患者中，有部分患者治愈后又重新“复阳”，或者二次感染新冠肺炎，这些情况是无法继续使用SIR与SEIR传染病模型进行讨论的。同时在抗击新冠肺炎病毒过程中，各个国家和地区采用多种方法进行防疫，如建立方舱医院隔离感染人群，采用疫苗防控手段，预防呼吸道传染病。

因此本文将建立含有隔离人群的SEIRS模型研究新冠肺炎传播趋势。为了模拟病毒传播走势图，本文使用最小二乘法确定模型中的参数，最小二乘法(又称最小平方法)，是一种数学优化技术。通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配 [4] ，其优点是通过计算机简单程序就能实现，得到拟合曲线，从而可以直观看出新冠肺炎疫情的发展趋势。

2. 数据与研究方法

2.1. 数据来源

2022年初，香港多地接连出现多例源头不明的新冠肺炎确诊病例。新冠病毒奥密克戎变异株及德尔塔变异株流入香港多个地区，春节假期聚集性活动对疫情造成了进一步恶化，多条隐性传播链形成，造成社区隐性传播，使得疫情日趋严峻，突发了香港第五轮新冠肺炎疫情。特区政府卫生署卫生防护中心3月6日下午公布，截至当天零时，第五轮新冠疫情累计458,986人感染；累计1794例死亡，病死率0.39% (来自网页：https://www.chp.gov.hk/files/pdf/local_situation_covid19_tc_20220306.pdf)。

本文从世界实时统计数据库Worldometer中收集了香港2022年2月22日至3月22日新冠肺炎日确诊病例人数，日死亡人数以及31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团新冠肺炎日确诊病例人数，日死亡人数。将所收集的数据进行预处理，使用Python软件中Pyplot 绘图模块，画出新增确诊人数折线图以及死亡人数折线图，如图1所示。

(a) (b)

Figure 1. The daily number of new confirmed cases of new coronary pneumonia and the number of daily deaths

图1. 新冠肺炎日新增确诊人数及日死亡人数图

由图可见，香港新增确诊人数与死亡人数远超31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团新冠肺炎的新增确诊人数和死亡人数。2月27日至3月16日之间，香港新增确诊人数每日超20,000人，死亡人数每日超100人，可见香港新冠肺炎疫情日趋严峻，不容客观，需使用必要的手段进行预防和控制。就在3月1日，香港抗击第五轮新冠肺炎疫情以来首个中央援建香港方舱医院——青衣方舱医院正式交付使用。该医院提供了超3900个隔离床位，对感染人群实行有效隔离，为香港抗疫防疫工作提供坚实保障。

2.2. SEIQRS传染病模型的构建

查找相关报道及文献可知，新冠肺炎主要使用SIR与SEIR传染病模型进行讨论，SEIR模型是在传统的SIR模型基础下引入潜伏期E，与病人接触过的健康人群并不马上患病，而是成为病原体的携带者 [5] 。

经典的SEIR模型考虑了四类人群，即疫情爆发地的易感人群(S)、潜伏人群(E)、感染人群(I)与移除人群(R) [6] 。其中，S表示易感人群，即没有感染过病毒又不具备免疫力的健康人群；E表示潜伏人群，即易感者与患者有效接触后处于感染潜伏期状态的人群，具备较低的传染能力；I表示感染人群，已经感染病毒并且表现出症状的人群，具有传染能力；Q表示隔离人群，即感染病毒后被确诊隔离的人群，考虑医院隔离措施严格不具有传染性；R表示移除人群，表示患病死亡或康复的人群 [7] 。

考虑到本次疫情阶段，增加了防控手段——建立方舱医院，有效隔离感染人群，以及有文献指出有部分患者治愈后又重新“复阳”，或者二次感染新冠肺炎，本文在SEIR模型的基础上增加新变量S、以及隔离人群Q两个变量。修正后的SEIR模型，记为SEIQRS模型，其动力学示意图如图2所示。

在管控措施的干预下，SEIQRS模型微分方程为

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=-\frac{\beta IS}{N}+\left({\xi }_1+{\xi }_2\right)R\\ \frac{\text{d}E}{\text{d}t}=\frac{\beta IS}{N}-\sigma E\\ \frac{\text{d}I}{\text{d}t}=\sigma E-qI\\ \frac{\text{d}Q}{\text{d}t}=qI-\gamma Q\\ \frac{\text{d}R}{\text{d}t}=\gamma Q-\left({\xi }_1+{\xi }_2\right)R\end{array}$

其中， $\beta$ 为易感人群感染新冠肺炎的传播速度； $\sigma$ 为转化为感染人群的概率， $1/\sigma$ 为感染新冠肺炎的潜伏期；q为隔离概率； $\gamma$ 为转化为移除人群(死亡与治愈)的概率； ${\xi }_i\left(i=1,2\right)$ 为移除人群重新变为易感人群的概率，其中 ${\xi }_1$ 为“复阳”人群概率， ${\xi }_2$ 为二次感染人群概率；N为城市人口总数，其中 $N=S+E+I+Q+R$ 。

Figure 2. Schematic diagram of the SEIQRS infectious disease model

图2. SEIQRS传染病模型示意图

3. 模型的求解

3.1. 模型参数说明

SEIQRS模型不考虑当年当地人口的出生率及死亡率，且从香港特区统计处网站可查得2021年末香港人口数量约为7,154,600人，假设N = 7,154,600。

据香港卫生署公布，本轮香港新冠肺炎感染病例中，有15宗为德尔塔(Delta)变种病毒株，其他大多数为奥密克戎(Omicron)变异病毒株。奥密克戎变异株平均潜伏期约为3至4天，因此假设此次香港新冠肺炎潜伏期为3天，即 $1/\sigma =3$ 。

由于感染人群免疫力降低，导致病毒清除不彻底；医护人员检测技术不到位等 [8] 原因，导致部分患者出院后出现核酸检测“复阳”现象。然而我国“复阳”病例的整体发生率较低，约在5%至15%之间。因此本文取“复阳”比例最小值5%，作为移除人群概率，即 ${\xi }_1=5\text{\%}$ ；而目前受二次感染的病患非常少，因此可设定 ${\xi }_2=0$ 。

3.2. SEIQRS传染病模型模拟分析

由于香港于3月1日后才正式使用方舱医院，对新冠肺炎感染人群进行有效隔离，因此可假设3月1日前，可假设新冠肺炎有效隔离率q = 0。此时SEIQRS模型可看作SEIRS模型进行讨论，查找资料 [9] 可得，易感人群感染新冠肺炎的概率为 $\beta =0.3965$ ，移除人群(治愈人群及死亡人群)的概率 $\gamma =0.006801$ 。因此，使用Python软件进行数值模拟，可得新冠肺炎病毒传播过程中各群体随时间变化的演化结果。

如图3可见，在60天内，若新冠感染人群不进行有效隔离，随着时间的不断增长，感染人群将越来越多，在第20天后，感染人群数量将以指数形式爆发增长，第50天后，感染人群将达到6,000,000人。因此，需立即使用必要措施将感染人群与易感人群进行有效隔离，降低感染人群数量。

在3月1日后，香港青衣方舱医院的投入使用，使大部分感染人群得到有效隔离。因此，使用3月1日后感染人群、移除人群数据，通过Pyhton软件中的odeint函数模拟得感染人群及移除人群日新增数值解，并使用香港新冠肺炎日确诊人数与移除人数，使用最小二乘法，计算出易感人群感染概率 $\beta =0.2075$ ，移除人群概率 $\gamma =0.002001$ 。

但由于感染人群无法全部到达100%的隔离，因此讨论隔离率q分别等于20%，40%，60%，80%时，新冠肺炎传播过程中各群体随时间变化的传播趋势。如下图4所示。

Figure 3. 60-day spread trend map of the new crown pneumonia epidemic in Hong Kong

图3. 60天香港新冠肺炎疫情的传播趋势图

Figure 4. The transmission trend of the new crown pneumonia epidemic in Hong Kong under different isolation rates

图4. 不同隔离率下香港新冠肺炎疫情的传播趋势图

其中，图4(a)表示隔离率q = 20%的30天内各群体传播趋势；图4(b)表示隔离率q = 40%的30天内各群体传播趋势；图4(c)隔离率q = 60%的30天内各群体传播趋势；图4(d)隔离率q = 80%的30天内各群体传播趋势。由此可见，隔离率越高，感染人群数量下降越快，当隔离率为20%时，感染人群下降较慢，第30天感染人群仍在20,000人以上，当隔离率为40%时，需要6天把感染人群数量下降至10,000人以下，隔离率为60%时，只需要4天就能把感染人群数量下降至10,000人；同时，隔离率越高，潜伏人群数量也越低，当隔离率为20%时，第30天潜伏人群数量仍处于20,000人，而当隔离率为80%时，隔离人群数量先增后减，第15天后潜伏人群数量接近于0。

4. 结论

将3月1日前后拟合数据进行合并，与实际感染人数进行对比分析，可得30天内感染人群实际传播趋势与模拟传播趋势，如图5所示。

Figure 5. The actual transmission trend of the infected population and the simulated transmission trend

图5. 感染人群实际传播趋势与模拟传播趋势

可见，30天内模拟传播趋势与实际传播趋势走势一致，先增长后下降，主要原因是前8天中，感染人群隔离率为0，数值不断增长；而后由于方舱医院的正式投入使用，使得感染人群隔离率增加，感染人群不断下降。由此可见，模拟结果与实际数据走势一致，因此对于新冠病毒的中期阶段，应及时增加有效的隔离手段，如建立方舱医院或自我隔离方式，控制感染人数增加。

综合上述内容，在新冠肺炎初期阶段，随着时间的不断增长，感染人群将越来越多，若不进行有效隔离，感染人群数量将以指数形式爆发增长。因此，需立即采取必要措施，将感染人群与易感人群进行有效隔离。在新冠病毒的中期阶段，建立方舱医院、执行无条件14天自我隔离、交通管制等有效的隔离手段，不断增加隔离率，使感染人群数量不断下降，从而以最大力量保护人民生命安全。

当前全球新冠肺炎大流行尚未结束，全球疫情依然高位运行，世界大部分国家和地区对新冠疫情仍保持着高于普通传染病的防控措施。我国疫情防控工作重心也从“防感染”转向“保健康、防重症”。虽然我国将新冠病毒感染从“乙类甲管”整为“乙类乙管”，但国家卫健委曾说：“乙类乙管”不是被动放开，绝不意味防控措施的退出。因此，对于新冠肺炎的防控，仍需强化管理、强化服务、强化保障，努力保障人民健康安全。

基金项目

来源于2021年广东省普通高校青年人才创新项目，名称《考虑二次感染新冠肺炎传染病模型的研究》编号2021KQNCX133。

参考文献