基于灰色GM(1, 1)模型的商丘市人口老龄化发展趋势研究

Research on the Development Trend of Population Aging in Shangqiu City Based on Grey GM(1, 1) Model

摘要: 目的：预测商丘市65岁及以上老年人口的变化情况，为商丘市相关部门制定和完善积极老龄化政策提供参考。方法：数据选自2011~2020年河南省统计年鉴、河南省国民经济和社会发展统计公报中商丘市数据，采用GM(1, 1)模型，对商丘市65岁及以上老年人口的变化趋势进行分析。结论：预测结果显示，商丘市65岁及以上老年人口数量呈持续上升趋势，到2030年即将突破180万人。

Abstract: Objective: To predict the changes of the elderly population aged 65 and above in Shangqiu City, and to provide reference for the relevant departments to formulate and improve the active aging policy. Methods: The data were selected from the statistical yearbook of Henan Province from 2011 to 2020 and the statistical bulletin of national economic and social development of Henan Province. The GM(1, 1) model was used to analyze the trend of the elderly population aged 65 and above in Shangqiu City. Conclusion: The prediction results show that the number of elderly people aged 65 and above in Shangqiu City continues to rise, and will exceed 1.8 million by 2030.

1. 引言

人口老龄化是社会发展的重要趋势，也是我国今后较长一段时期的基本国情 [1] 。自20世纪90年代我国步入老龄化社会后，其老年人口持续增长，占总人口的比重逐渐增加。第七次全国人口普查结果显示：我国65岁及以上的人口为19,063万人，与2010年相比，其占总人口数的比重上升4.63个百分点 [2] 。老龄化进程的加快阻碍了我国经济社会的发展，使得在养老、医疗、经济以及人口结构等各方面都带来了巨大的压力。为了解决人口老龄化带来的各种问题，我国提出了积极老龄化、健康老龄化等众多概念，因此，正确认识老龄化问题并制定具有针对性的政策来缓解人口老龄化是十分必要的。

老龄化问题在我国众多省份中普遍存在，但并不是所有省份都在同一老龄化程度上，由于文化背景、经济发展、地区差异等因素的影响，使得人口老龄化具有地区性的特点 [3] 。河南省作为我国人口大省之一，一直面临着严重的人口老龄化问题 [4] 。根据第七次全国人口普查结果显示，河南省是人口增长较多的五大省份之一，与2010年第六次人口普查相比，河南省增加5,341,952人 [2] 。商丘市位于河南的东部，根据第七次普查结果推算，2020年商丘市的常住人口782万人，老龄化系数比为14，其老年人口数量较多，老龄化问题急需解决。基于此，本文选取商丘市2011~2020年65岁及以上老年人口数量为依据，分析其未来10年的老年人口变化趋势。

2. 研究方法与数据来源

2.1. 数据来源

本文数据来自于《河南省统计年鉴》和《河南省国民经济和社会发展统计公报》，从中查找统计2011年到2020年商丘市65岁及以上老年人口数量、常住人口总数以及老龄化系数比等数据指标。

2.2. 研究方法

研究通过构建GM(1, 1)模型对2021~2030年河南省商丘市老龄化的发展趋势进行预测分析，并根据预测结果提出相对应的政策建议。GM(1, 1)模型是灰色预测模型的基础，在研究数据量较少且无明显规律时使用该模型，利用微分方程挖掘数据的本质规律。其主要步骤如下：

第一步，构建原始数据序列为。

$x^{\left(0\right)}=\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right),x^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,x^{\left(0\right)}(\; n\; )\right)$

第二步，建立一阶线性微分方程，即GM(1, 1)模型。

对原始数据X⁽⁰⁾做一次累加生成(1-AGO)，得到累加生成数列为：

$x^{\left(1\right)}\left(k\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{x}^{\left(0\right)}\left(i\right)}\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$

计算紧邻均值，Z⁽¹⁾为X⁽¹⁾的紧邻均值生成序列：

$Z^{\left(1\right)}=\frac{1}{2}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{1}{2}{x}^{\left(1\right)}\left(k-1\right)\left(k=2,3,\cdots ,n\right)$

因此，可以建立GM(1, 1)模型的微分方程： $\frac{\text{d}{x}^{\left(1\right)}}{\text{d}t}+\alpha x^{\left(1\right)}=b$ ，其中，a表示发展系数，b表示灰色作用量。

第三步，利用X⁽⁰⁾和X⁽¹⁾分别建立数据矩阵B和常数项向量Y，即

$B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}\left[x^{\left(1\right)}\left(1\right)+x^{\left(1\right)}\left(2\right)\right]& 1\\ -\frac{1}{2}\left[x^{\left(1\right)}\left(2\right)+x^{\left(1\right)}\left(3\right)\right]& 1\\ -\frac{1}{2}\left[x^{\left(1\right)}\left(n-1\right)+x^{\left(1\right)}\left(n\right)\right]& 1\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]$

第四步，设u为待估参数， $\mu =\left[\begin{array}{c}\alpha \\ b\end{array}\right]$ ，根据最小二乘法原理求解参数a和b，进而可以得到 $\hat{\mu }={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}{Y}_n$ 。

第五步，求解预测方程。

${\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-ak}+\frac{b}{a},\left(k=0,1,2,\cdots ,n\right)$

第六步，再进行累减后就可以得到原始数据的还原值：

${\hat{X}}^{\left(0\right)}=\left({\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(1\right),{\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,{\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(N-1\right)\right)$

第七步，模型检验。灰色GM(1, 1)模型预测的精确度通常使用后验差C和小误差概率P来进行综合检验 [5] ，其模型精度检验等级见表1 GM(1, 1)模型精度检验等级。平均相对误差和精度检验的公式分别为：

$\epsilon \left(avg\right)=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}\epsilon }\left(k\right),P_0=\left(1-\epsilon \left(avg\right)\right)\times 100\%$

后验差比值是C = S₂/S₁，其中S₂是对残差的标准差，S₁是对原始序列的标准差：

$S_2=\sqrt{\frac{1}{n-1}\underset{k=2}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{\left(E\left(k\right)-\bar{E}\right)}^2},S_1=\sqrt{\frac{1}{n-1}\underset{k=2}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{\left(X^{\left(0\right)}\left(k\right)-\bar{X}\right)}^2}$

Table 1. GM(1, 1) model accuracy test level

表1. GM(1, 1)模型精度检验等级

2.3. 数据处理方法

运用Microsoft Excel软件录入2010~2020年河南省商丘市65岁及以上老年人口的相关数据，对其进行统计、分析，构建模型及求解。

3. 河南省商丘市人口老龄化发展状况分析

商丘市，河南省东部，是全国性综合交通枢纽，同时也是国家历史文化名城、中华文明的发祥地之一。但由于商丘市的社会经济发展水平较低，以农业生产为第一产业，大量外迁人员，使得其老龄化程度加深。

商丘市经济发展和社会发展统计公报显示，2020年底商丘市的常住人口为782万人，65岁及以上的老年人口为110万人，老龄化系数比为14，见表2河南省商丘市2011~2020年65岁及以上老年人口数量。根据联合国人口组织对于老龄化的定义，商丘市已经步入较为严重的老龄化阶段。综上，商丘市老龄化主要有以下特点：老年人口基数较大、老龄化的严重程度加深，以及经济发展水平有限，养老压力大，缓解老龄化问题刻不容缓。

Table 2. Number of elderly population aged 65 and above in Shangqiu City, Henan Province from 2011 to 2020

表2. 河南省商丘市2011~2020年65岁及以上老年人口数量

4. 河南省商丘市2021~2030年老年人人口预测

4.1. 河南省商丘市老年人口数GM(1, 1)灰色度模型的建立

表1为河南省商丘市2011~2020年65岁及以上老年人口及常住总人口的数据情况，其中2020年是根据第七次全国人口普查数据推算的年末总人口数。根据灰色GM(1, 1)模型的建模步骤，建立65岁及以上老年人口数量的预测模型，预测河南省商丘市未来10年内65岁及以上人口数的变化情况。

1) 设原始数据序列为：

$x^{\left(0\right)}=\left(68,73,76,77,75,80,91,94,98,110\right)$

2) 对X⁽⁰⁾做一次累加生成(1-AGO)，得到：

$x^{\left(1\right)}=\left(68,141,217,294,369,449,540,634,732,842\right)$

3) 构造数据矩阵B和常数数列Y，得

$B=\left(\begin{array}{cc}-104.5& 1\\ -\text{179}.0& 1\\ -\text{225}.\text{5}& 1\\ -\text{331}.\text{5}& 1\\ -\text{4}0\text{9}.0& 1\\ -\text{494}.\text{5}& 1\\ -\text{587}.0& 1\\ -\text{683}.0& 1\\ -\text{787}.0& 1\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{c}73\\ 76\\ 77\\ 75\\ 80\\ 91\\ 94\\ 98\\ 110\end{array}\right)$

4) 通过计算，可以求得发展系数 $a=-0.05$ ，灰色作用量 $b=63.51$ ， $b/a=-1201.77$ 。

5) 得出预测模型： $x^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=1269.77{\text{e}}^{0.05k}-1201.77$ 。

4.2. 模型检验

经过计算，得出的预测值见表3河南省商丘市65岁及以上老年人口的预测值与原始值对比。结果显示，在河南省商丘市65岁及以上老年人口的预测模型中，原始序列标准差S₁为13.36，残差标准为S₂为3.59，其后验差C为0.27；平均相对误差为3.28%，模型精度P为96.72%，根据表1可知，该模型的精度较高，能够较为准确地预测结果，其拟合效果见图1商丘市65岁及以上老年人口拟合情况。由计算结果可知，模型的−a值小于0.3，因此可以运用该模型对河南省商丘市65岁及以上老年人口来进行中长期预测。

Table 3. Comparison of predicted values and original values of the elderly population aged 65 and above in Shangqiu City, Henan Province

表3. 河南省商丘市65岁及以上老年人口的预测值与原始值对比

4.3. 预测结果

利用模型对河南省商丘市未来10年65岁以上的老年人口数量进行预测，其结果见图2商丘市未来10年老年人口增长数量预测。由预测结果可知，河南省商丘市未来10年的老年人口的数量是在逐年递增的，从2020年的110万人增加至2030年的178.38万人，平均每年增加6.838万，老年人口基数持续扩大，其老龄化的压力较大。

Figure 1. Fitting of the elderly population aged 65 and above in Shangqiu City

图1. 商丘市65岁及以上老年人口拟合情况

Figure 2. Prediction of the number of elderly population growth in Shangqiu City in the next 10 years

图2. 商丘市未来10年老年人口增长数量预测

5. 结论

本研究采用灰色GM(1, 1)预测模型，选取2011年至2020年河南省商丘市65岁及以上老年人口数量作为依据，来预测2021年至2030年商丘市老年人口的发展趋势，拓展了我国对于老龄化预测方面的研究，有利于制定和完善老龄化方面的相关政策，为其提供基层地区的数据依据。经上述预测研究发现，河南省商丘市未来10年的老年人口呈持续上升的趋势，到2030年65岁及以上的老年人口将突破180万人，这对于一个小三线城市来说，其养老压力较大。因此，基于以上研究，为有效应对人口老龄化，缓解养老压力，践行积极老龄化理念，提出以下几点可行性建议：

第一，鼓励生育，优化人口结构。

生育率的提高是增加未来劳动力的直接手段，对于我国人口结构的改善有较大的推动力；同时，也是应对人口老龄化问题的治本之策。为了积极应对人口老龄化，中共中央政治局在2021年5月31日宣布实施三孩生育政策 [6] 。在鼓励生育的同时，政府应该积极落实、推进相应的生育配套保障，完善医疗保障政策，促进女性公平就业，加快发展普惠托育服务 [7] ，优化区域内教育资源配置 [8] ，合理控制房价上涨等实质性激励措施，提高女性的生育意愿，降低家庭的生育负担，进而提高三孩生育政策的执行效果，大力改善人口结构。

第二，充分利用老年人力资源，促进银发经济。

对于社会来说，老年人是一种宝贵的、稀缺的资源，相较于年轻人而言，他们拥有更多的阅历和经验，尤其是低龄老年人，若再次投入社会则可以继续发挥价值，创造出无限的财富。因此，应积极宣传老龄化理念，倡导老年人在身体力行的状况下，积极参与社会，发挥自身价值。同时，由于老年人口的增多，其老年市场需求增加，应大力发展老龄产业，创新性地生产老年人产品，完善产业结构的调整，进而促进经济的发展。随着经济生活水平的提高，老年人对于精神层面的需求更多，因此，应增加老年人的休闲文娱场所，培养具有专业化素养的老年人服务团队。充分利用好老年人力资源，促进经济的发展，是缓解人口老龄化所带来压力的快速方法之一。