中国省域产业生态系统优化度测度——基于效用函数理论

Measurement of the Optimization Degree of Provincial Industrial Structure in China—Based on the Utility Function Theory

摘要: 综述国内外产业结构领域现有研究的基础上，本文把研究范围拓展到中国30个省域层面，综合考虑经济、环境与创新三个维度的输出变量与产业结构优化程度之间的关系，给出了评价产业结构优化程度的数学定义——产业生态系统优化度；基于效用函数理论，探讨各种收益型、成本型输出变量与产业生态系统优化度之间的关系，建立了中国省域产业生态系统优化度测度问题的理论框架；根据产业生态系统优化度理论框架，构建了中国省域产业生态系统优化度模型，从一个崭新的角度对中国省域产业生态系统优化程度进行评价。

Abstract: Based on the review of the existing research in the field of industrial structure at home and abroad, this paper extends the research scope to the level of 30 provinces in China, considering the relationship between the three dimensions of economy, environment and innovation, and gives the evaluation of industrial structure optimization degree mathematical definition—industrial ecosystem optimization. Based on the theory of utility function, this paper discusses the relationship between various variables of revenue and cost output and the optimization degree of industrial ecosystem, and constructs the theoretical framework of the optimization degree measurement of provincial industrial ecosystem in China. According to the theoretical framework of industrial ecosystem optimization degree, this paper constructs the optimization degree model of Chinese provincial industrial ecosystem to evaluate the optimization degree of provincial industrial ecosystem optimization in China from a new perspective.

1. 引言

无须讳言，中国经济正处于从传统的要素驱动型转型升级为绿色、低碳型高质量发展的关键阶段，产业系统作为投入–产出的转换装置，是决定高质量发展成效的关键 [1] [2] 。

自1954年Lewis提出“二元经济”结构理论 [3] ，认为产业结构优化是经济增长的源泉以来，关于产业结构演化、优化与升级的研究纷纷涌现，是发展经济学的研究热点 [4] 。其中，关于产业结构优化的测度方法主要聚焦于对产业结构合理化、高级化的探索。产业结构合理化测度方面，现有研究主要采用投入产出法、偏离–份额分析法、泰尔指数方法等。譬如，孙宁等 [5] 将偏离–份额分析法与向量自回归模型相结合对河北省的产业竞争力进行分析。而刘波和洪兴建 [6] 则从全国层面，基于泰尔指数及其分解方法对中国产业数字化进行量化。而对于产业结构高级化测度的研究，主要基于产业结构层次系数、劳动生产率比重以及霍夫曼系数等。譬如，段莹 [7] 应用产业结构层次系数来量化产业结构高级化，并探究其对于碳排放的影响机制。陆小莉等 [8] 提出了一种非参数几何评价法，以此来综合测度京津冀产业结构优化效果。

纵观国内外产业结构领域现有研究，主要存在以下三方面的不足：1) 如何清晰界定产业结构优化程度，标准是什么? 2) 现有研究较多的专注于微观层面的优化设计而忽视区域层面的优化设计 [9] [10] ，很少有研究综合考虑经济、环境以及创新三方面因素与产业结构优化之间的关系；3) 由于产业系统的复杂性和不确定性，导致产业结构优化模型中，系统参数及其相互关系具有“灰色性” [11] ，故借助于确定性数学方法研究产业结构优化问题存在改进空间。

本文在综述国内外产业结构领域现有研究的基础上，把研究范围拓展到中国30个省域层面，综合考虑经济、环境与创新三个维度的输出变量，基于效用函数理论，探讨了各种收益型、成本型输出变量与产业生态系统优化度之间的关系，建立了中国省域产业生态系统优化度测度问题的理论框架，并根据2020年度各省域相关变量输出数据，给出了具体测度结果。本文接下来的安排如下，第二节建立产业生态系统优化度理论框架，第三节是应用举例，文末总结了本文主要贡献及研究展望。

2. 产业生态系统优化度理论框架

2.1. 基本假设

假设1：假设考察的时间区间段以及地理空间区域给定，记为 $T\otimes G$ ，其中 $T=\left[t_1,t_2\right]$ 表示时间区间， $G$ 表示地理空间区域。

假设2：假设G可被划分为n个子区域 $G_1,G_2,\cdots ,G_n$ ，即

1) $G_u\cap G_v=\varnothing ,\forall u,v=1,2,\cdots ,n;u\ne v.$

2) $G_1\cup G_2\cup \cdots \cup G_n=G.$

假设3：假设子区域 $G_i$ 在t时刻的状态可由p个收益型输出 $x_{i1}^0\left(t\right),x_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,x_{ip}^0\left(t\right)$ 和q个成本型输出 $y_{i1}^0\left(t\right),y_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,y_{iq}^0\left(t\right)$ 度量。

假设4：考虑到子区域 $G_i$ 内资源禀赋的异质性，针对子区域 $G_i$ 而言，假设 $x_{ij}^0\left(t\right)$ 的面密度为 ${\rho }_{ij}\left(t\right)$ 、 $y_{im}^0\left(t\right)$ 的面密度为 ${\phi }_{im}\left(t\right)$ ，且 ${\rho }_{ij}\left(t\right)$ 和 ${\phi }_{im}\left(t\right)$ 均为已知，其中 $i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,\cdots ,p;m=1,2,\cdots ,q$ 。

显然有 $x_{ij}^0\left(t\right)={\displaystyle \underset{G_i}{\iint }{\rho }_{ij}}\left(t\right)\text{d}\sigma$ ， $y_{ij}^0\left(t\right)={\displaystyle \underset{G_i}{\iint }{\phi }_{im}}\left(t\right)\text{d}\sigma$ 。

2.2. 相关定义

定义1：区域G在任意t时刻的状态集合为( $t\in T$ )：

$X^0\left(t\right)=\left(X_1^0\left(t\right),X_2^0\left(t\right),\cdots ,X_n^0\left(t\right)\right).$

其中 $X_i^0\left(t\right)$ 表示子区域 $G_i$ 在t时刻的状态，即对于 $\forall i=1,2,\cdots ,n$ ，有

$X_i^0\left(t\right)=\left(\underset{p个收益型输出}{\underset{︸}{x_{i1}^0\left(t\right),x_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,x_{ip}^0\left(t\right)}}；\underset{q个成本型输出}{\underset{︸}{y_{i1}^0\left(t\right),y_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,y_{iq}^0\left(t\right)}}\right).$

由于不同类型收益型、成本型输出变量量纲的不同，导致了输出变量间的不可公度性，基于此，对时空区域 $T\otimes G$ 内的各输出变量作标准化变换，变换公式如定义2和定义3所示：

定义2：对于收益型输出变量 $x_{i1}^0\left(t\right),x_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,x_{ip}^0\left(t\right)$ ，

1) 称 $x_{ij}\left(t\right)$ 为 $x_{ij}^0\left(t\right)$ 的Z-标准化变量，其中

$x_{ij}\left(t\right)=\frac{x_{ij}^0\left(t\right)-\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{x}_{kj}^0\left(t\right)\text{d}t}}}{n\left(t_2-t_1\right)}}{\sqrt{\frac{1}{n\left(t_2-t_1\right)-1}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}\left[{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\left(x_{lj}^0\left(t\right)-\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{x}_{kj}^0\left(t\right)\text{d}t}}}{n\left(t_2-t_1\right)}\right)}^2\text{d}t}\right]}}}，\forall j=1,2,\cdots ,p.$

由于 $x_{ij}^0\left(t\right)={\displaystyle \underset{G_i}{\iint }{\rho }_{ij}}\left(t\right)\text{d}\sigma$ ，从而

$x_{ij}\left(t\right)=\frac{{\displaystyle \underset{G_i}{\iint }{\rho }_{ij}\left(t\right)\text{d}\delta }-\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{x}_{kj}^0\left(t\right)\text{d}t}}}{n\left(t_2-t_1\right)}}{\sqrt{\frac{1}{n\left(t_2-t_1\right)-1}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}\left[{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\left({\displaystyle \underset{G_k}{\iint }\rho \left(t\right)\text{d}\delta }-\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{x}_{kj}^0\left(t\right)\text{d}t}}}{n\left(t_2-t_1\right)}\right)}^2\text{d}t}\right]}}}.$

其中 $x_{kj}^0\left(t\right)={\displaystyle \underset{G_k}{\iint }{\rho }_{kj}\left(t\right)\text{d}\delta }$ 。

2) 称 $x_{ij}\left(t\right)$ 为 $x_{ij}^0\left(t\right)$ 的离差标准化变量，其中

$x_{ij}\left(t\right)=\frac{x_{ij}^0\left(t\right)}{\underset{i}{\text{max}}\underset{t}{\max }{x}_{ij}^0\left(t\right)}，\forall j=1,2,\cdots ,p.$

定义3：对于成本型输出变量 $y_{i1}^0\left(t\right),y_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,y_{iq}^0\left(t\right)$ ，

1) 称 $y_{im}\left(t\right)$ 为 $y_{im}^0\left(t\right)$ 的Z-标准化变量，其中

$\begin{array}{c}{y}_{im}\left(t\right)=\frac{y_{im}^0\left(t\right)-\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{y}_{km}^0\left(t\right)\text{d}t}}}{n\left(t_2-t_1\right)}}{\sqrt{\frac{1}{n\left(t_2-t_1\right)-1}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}\left[{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\left(y_{lm}^0\left(t\right)-\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{y}_{km}^0\left(t\right)\text{d}t}}}{n\left(t_2-t_1\right)}\right)}^2\text{d}t}\right]}}}\\ =\frac{{\displaystyle \underset{G_i}{\iint }{\varphi }_{im}}\left(t\right)\text{d}\sigma -\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{y}_{km}^0\left(t\right)\text{d}t}}}{n\left(t_2-t_1\right)}}{\sqrt{\frac{1}{n\left(t_2-t_1\right)-1}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}\left[{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\left({\displaystyle \underset{G_i}{\iint }{\phi }_{lm}\left(t\right)\text{d}\sigma }-\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{y}_{km}^0\left(t\right)\text{d}t}}}{n\left(t_2-t_1\right)}\right)}^2\text{d}t}\right]}}}，\forall m=1,2,\cdots ,q.\end{array}$

其中 $y_{km}^0\left(t\right)={\displaystyle \underset{G_k}{\iint }{\varphi }_{km}\left(t\right)\text{d}\delta }$ 。

2) 称 $y_{im}\left(t\right)$ 为 $y_{im}^0\left(t\right)$ 的离差标准化变量，其中

$y_{im}\left(t\right)=\frac{y_{im}^0\left(t\right)}{\underset{i}{\text{max}}\underset{t}{\max }{y}_{im}^0\left(t\right)}，\forall m=1,2,\cdots ,q.$

定义4：对于标准化变换后的收益型输出变量 $x_{i1}^0\left(t\right),x_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,x_{ip}^0\left(t\right)$ ，记

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{I}_{\min ,1}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\min }\left\{x_{11}\left(t\right),x_{21}\left(t\right),\cdots ,x_{n1}\left(t\right)\right\}\\ I_{\max ,1}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\max }\left\{x_{11}\left(t\right),x_{21}\left(t\right),\cdots ,x_{n1}\left(t\right)\right\}\end{array},\{\begin{array}{l}{I}_{\min ,2}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\min }\left\{x_{12}\left(t\right),x_{22}\left(t\right),\cdots ,x_{n2}\left(t\right)\right\}\\ I_{\max ,2}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\max }\left\{x_{12}\left(t\right),x_{22}\left(t\right),\cdots ,x_{n2}\left(t\right)\right\}\end{array},\cdots \text{,}\\ \{\begin{array}{l}{I}_{\min ,p}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\min }\left\{x_{1p}\left(t\right),x_{2p}\left(t\right),\cdots ,x_{np}\left(t\right)\right\}\\ I_{\max ,p}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\max }\left\{x_{1p}\left(t\right),x_{2p}\left(t\right),\cdots ,x_{np}\left(t\right)\right\}\end{array}.\end{array}$

定义5：对于标准化变换后的成本型输出变量 $y_{i1}^0\left(t\right),y_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,y_{iq}^0\left(t\right)$ ，记

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{J}_{\min ,1}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\min }\left\{y_{11}\left(t\right),y_{21}\left(t\right),\cdots ,y_{n1}\left(t\right)\right\}\\ J_{\max ,1}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\max }\left\{y_{11}\left(t\right),y_{21}\left(t\right),\cdots ,y_{n1}\left(t\right)\right\}\end{array},\{\begin{array}{l}{J}_{\min ,2}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\min }\left\{y_{12}\left(t\right),y_{22}\left(t\right),\cdots ,x_{n2}\left(t\right)\right\}\\ J_{\max ,2}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\max }\left\{y_{12}\left(t\right),y_{22}\left(t\right),\cdots ,y_{n2}\left(t\right)\right\}\end{array},\cdots \text{,}\\ \{\begin{array}{l}{J}_{\min ,q}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\min }\left\{y_{1q}\left(t\right),y_{2q}\left(t\right),\cdots ,y_{nq}\left(t\right)\right\}\\ J_{\max ,q}=\underset{t\in [t_1,t_2]}{\max }\left\{y_{1q}\left(t\right),y_{2q}\left(t\right),\cdots ,y_{nq}\left(t\right)\right\}\end{array}.\end{array}$

定义6：记 $I_1=\left[I_{\min ,1},I_{\max ,1}\right]$ ， $I_2=\left[I_{\min ,2},I_{\max ,2}\right]$ ， $\cdots$ ， $I_p=\left[I_{\min ,p},I_{\max ,p}\right]$ ； $J_1=\left[J_{\min ,1},J_{\max ,1}\right]$ ， $J_2=\left[J_{\min ,2},J_{\max ,2}\right]$ ， $\cdots$ ， $J_q=\left[J_{\min ,q},J_{\max ,q}\right]$ 。

显然有 $x_{i1}\left(t\right)\in I_1,x_{i2}\left(t\right)\in I_2,\cdots ,x_{ip}\left(t\right)\in I_p$ ； $y_{i1}\left(t\right)\in J_1,y_{i2}\left(t\right)\in J_2,\cdots ,y_{iq}\left(t\right)\in J_q$ ，且 $\left(x_{i1}\left(t\right),x_{i2}\left(t\right),\cdots ,x_{ip};y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{iq}\left(t\right)\right)\in R^{p+q},\forall i=1,2,\cdots ,n$ 。

定义7：令 $w_{best}=\left(I_{\max ,1},I_{\max ,2},\cdots ,I_{\max ,p};J_{\min ,1},J_{\min ,2},\cdots ,J_{\min ,q}\right)$ ，显然 $w_{best}$ 随着t动态演化，反映了产业生态系统的虚拟最优状态，称之为“随机前沿最优状态”。

2.3. 产业生态系统优化度相关性质——基于效用函数

设 $D\in R^{p+q}$ 是一凸域¹，且对于 $\forall i=1,2,\cdots ,n$ ，

$X_i\left(t\right)=\left(x_{i1}\left(t\right),x_{i2}\left(t\right),\cdots ,x_{ip};y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{iq}\left(t\right)\right)\in D.$

若多元可微²函数 $f\left(X_i\left(t\right)\right)=f\left(\underset{收益型}{\underset{︸}{x_{i1}^0\left(t\right),x_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,x_{ip}^0\left(t\right)}};\underset{成本型}{\underset{︸}{y_{i1}^0\left(t\right),y_{i2}^0\left(t\right),\cdots ,y_{iq}^0\left(t\right)}}\right)$ 能作为子区域 $G_i$ 在t时刻产业生态系统优化度的测度函数，基于效用函数理论，则其应满足下述性质1~性质7：

性质1：收益型输出变量的边际效用为正³，即

$\frac{\partial f\left(X_i\left(t\right)\right)}{\partial x_{ij}\left(t\right)}>0$ ，简记为^{4 $\frac{\partial f\left(X_i\left(t\right)\right)}{\partial x_{ij}\left(t\right)}>0,i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,\cdots ,p.$}

性质2：成本型输出变量的边际效用为负⁵，即

$\frac{\partial f\left(X_i\left(t\right)\right)}{\partial y_{ik}\left(t\right)}<0,\forall i=1,2,\cdots ,n;k=1,2,\cdots ,q.$

性质3：收益型输出变量需满足边际效用递减规律，即

$\frac{\partial f^2\left(X_i\left(t\right)\right)}{\partial x_{ij}^2}<0,\forall i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,\cdots ,p.$

性质4： $\frac{\partial f^2\left(X_i\left(t\right)\right)}{\partial x_{i{j}_1}\partial x_{i{j}_2}}>0,j_1,j_2=1,2,\cdots ,p;j_1\ne j_2.$

下面给出性质4的简要分析过程：

如图1所示，任意两项收益型输出 $x_{i{j}_1}$ 与 $x_{i{j}_2}$ 的无差异曲线是凹向坐标原点的，原因在于：当子区域 $G_i$ 相应的收益型输出 $x_{i{j}_1}$ 较小、 $x_{i{j}_2}$ 较大时( $p_1$ 点附近)， $G_i$ 对 $x_{i{j}_1}$ 更为偏好，导致 $G_i$ 宁愿以较多的 $\Delta x_{i{j}_2}$ 交换较少的 $\Delta x_{i{j}_1}$ ；同理，当收益型输出 $x_{i{j}_1}$ 较大、 $x_{i{j}_2}$ 较小时( $p_2$ 点附近)， $G_i$ 对 $x_{i{j}_2}$ 更为偏好，导致 $G_i$ 宁愿以较多的 $\Delta x_{i{j}_1}$ 交换较少的 $\Delta x_{i{j}_2}$ 。

Figure 1. Geometric interpretation of the shape of yield-free output

图1. 收益型输出无差异曲线形状的几何解释

由于 $x_{i{j}_1}$ 与 $x_{i{j}_2}$ 的无差异曲线凹向坐标原点，故^{6 $\frac{\partial x_{i{j}_1}}{\partial x_{i{j}_2}}<0$} ，又因 $\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}^2}<0$ ，从而可得 $\frac{\partial f^2\left(X_i\left(t\right)\right)}{\partial x_{i{j}_1}\partial x_{i{j}_2}}=\frac{\partial f^2\left(X_i\left(t\right)\right)}{\partial x_{i{j}_1}^2}\frac{\partial x_{i{j}_1}}{\partial x_{i{j}_2}}>0.$

针对两项收益型输出而言的性质4可进行拓展，如性质5所示。

性质5： $\frac{\partial f^l\left(X_i\right)}{\partial x_{i{j}_1}\partial x_{i{j}_2}\cdots \partial x_{i{j}_l}}>0,l\in Z^{+};l\le p;j_1,j_2,\cdots ,j_l=1,2,\cdots ,p.$

性质6：当任意两项收益型输出同时增大时，f的全增量也相应增大，即 $\Delta f>0$ 。

性质6的简要分析过程如下：

$\begin{array}{l}\Delta f=f\left(\underset{收益型}{\underset{︸}{x_{i1},\cdots ,x_{i{j}_1}+\Delta x_{i{j}_1},x_{i{j}_2}+\Delta x_{i{j}_2},\cdots ,x_{ip}}};\underset{成本型}{\underset{︸}{y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{iq}}}\right)\\ -f\left(\underset{收益型}{\underset{︸}{x_{i1},\cdots ,x_{i{j}_1},x_{i{j}_2},\cdots ,x_{ip}}};\underset{成本型}{\underset{︸}{y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{iq}}}\right)=df+o\left({\rho }_1\right)\\ =\frac{\partial f}{\partial x_{i{j}_1}}\Delta x_{i{j}_1}+\frac{\partial f}{\partial x_{i{j}_2}}\Delta x_{i{j}_2}+o\left({\rho }_1\right).\end{array}$

其中 ${\rho }_1=\sqrt{{\left(\Delta x_{i{j}_1}\right)}^2+{\left(\Delta x_{i{j}_2}\right)}^2}$ ， $o\left({\rho }_1\right)$ 表示 ${\rho }_1$ 的高阶无穷小。

由 $\frac{\partial f}{\partial x_{i{j}_1}}>0$ 、 $\frac{\partial f}{\partial x_{i{j}_2}}>0$ ，显然 $\Delta f>0$ 。

同理可得性质7，即

性质7：当任意两项成本型输出同时增大时，f的全增量相应减小，即 $\Delta f<0$ 。

特别地，性质6与性质7可推广至任意有限项输出变量中，理想产业生态系统优化度测度函数需满足上述性质1~性质7。另外还有以下结论，如性质8和性质9所示。

性质8： $\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}\partial y_{ik}}$ 正负号不定，其中 $j=1,2,\cdots ,p;k=1,2,\cdots ,q$ 。

1) 若 $\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}\partial y_{ik}}>0$ ，则收益型输出 $x_{ij}$ 与成本型输出 $y_{ik}$ 为替代输出⁷；

2) 若 $\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}\partial y_{ik}}<0$ ，则收益型输出 $x_{ij}$ 与成本型输出 $y_{ik}$ 为互补输出⁸；

3) 若 $\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}\partial y_{ik}}=0$ ，则收益型输出 $x_{ij}$ 与成本型输出 $y_{ik}$ 两者无关⁹。

性质9：对于 $\forall i=1,2,\cdots ,n$ ，子区域 $G_i$ 产业生态系统优化度随时间动态上升，当且仅当

$\frac{\text{d}f\left(X_i\left(t\right)\right)}{\text{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x_{i1}\left(t\right)}\frac{\text{d}{x}_{i1}\left(t\right)}{\text{d}t}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_{ip}\left(t\right)}\frac{\text{d}{x}_{ip}\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y_{i1}\left(t\right)}\frac{\text{d}{y}_{i1}\left(t\right)}{\text{d}t}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial y_{iq}\left(t\right)}\frac{\text{d}{y}_{iq}\left(t\right)}{\text{d}t}>0.$

若 $\frac{\text{d}f\left(X_i\left(t\right)\right)}{\text{d}t}=0$ ，则称子区域 $G_i$ 产业生态系统优化度不变；

若 $\frac{\text{d}f\left(X_i\left(t\right)\right)}{\text{d}t}<0$ ，则称子区域 $G_i$ 产业生态系统优化度随时间动态下降。

3. 基于效用函数的中国省域产业生态系统优化度

3.1. 评价体系及数据

本文选取中国30个省域¹⁰作为评价对象，输出变量评价体系如表1所示。数据来源于中国家统计局网站、《中国统计年鉴》以及《中国环境统计年鉴》，所在年份均为2020年，数据描述性统计如表2所示。

Table 1. Industrial ecosystem optimization and evaluation system

表1. 产业生态系统优化评价体系

Table 2. Descriptive statistics of the observed data for the output variables

表2. 输出变量观测数据的描述性统计

3.2. 数据预处理

令 $x_i^0\left(k\right)$ 表示第i省域的第k项输出的原始输出数据，其中 $i=1,2,\cdots ,30;k=1,2,\cdots ,13$ 。为了消除变量间的不可公度性并统一各变量的趋势要求，本文做离差标准化变换，如(1)式所示：

$x_i\left(k\right)=\frac{x_i^0\left(k\right)}{\underset{i}{\text{max}}{x}_i^0\left(k\right)},所有类型输出$ (1)

3.3. 随机前沿最优状态

令

$z_0\left(k\right)=OPTIMUM{x}_i\left(k\right)=\{\begin{array}{l}\underset{i}{\text{max}}{x}_i\left(k\right),收益型输出\\ \underset{i}{\text{min}}{x}_i\left(k\right),成本型输出\end{array}$ (2)

则“随机前沿最优状态”为 $\left(z_0\left(1\right),z_0\left(2\right),\cdots ,z_0\left(13\right)\right)$ 。

3.4. 基于效用函数的中国省域产业生态系统优化度模型

3.4.1. 效用函数

依据前一节的产业生态系统优化度理论框架，本文定义第i省域的关于收益型、成本型输出的效用函数为：

$\begin{array}{l}u\left(x_i\left(1\right),x_i\left(2\right),\cdots ,x_i\left(13\right)\right)={\left[{\displaystyle \underset{x_i(j)为收益型}{\sum }\frac{{\alpha }_j}{x_i\left(j\right)}}+{\displaystyle \underset{x_i(l)为成本型}{\sum }{\alpha }_l{x}_i\left(l\right)}\right]}^{-1}\\ ={\left[\left(\frac{{\alpha }_1}{x_i\left(1\right)}+\mathrm{...}+\frac{{\alpha }_5}{x_i\left(5\right)}\right)+\left({\alpha }_6{x}_i\left(6\right)+{\alpha }_7{x}_i\left(6\right)+{\alpha }_{13}{x}_i\left(13\right)\right)+\left(\frac{{\alpha }_8}{x_i\left(8\right)}+\mathrm{...}+\frac{{\alpha }_{12}}{x_i\left(12\right)}\right)\right]}^{-1}\end{array}$ (3)

式中， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{13}$ 为外生参数¹¹，满足 $0<{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{13}<1$ 且 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{13}{\sum }}{\alpha }_j}=1$ 。容易证明(3)式满足本文性质1~性质7。

由(3)式，可得“随机前沿最优状态”的效用函数为：

$\begin{array}{l}u\left(z_0\left(1\right),z_0\left(2\right),\cdots ,z_0\left(13\right)\right)={\left[{\displaystyle \underset{z_0(j)为收益型}{\sum }\frac{{\alpha }_j}{z_0\left(j\right)}}+{\displaystyle \underset{z_0(l)为成本型}{\sum }{\alpha }_l{z}_0\left(l\right)}\right]}^{-1}\\ ={\left[\left(\frac{{\alpha }_1}{z_0\left(1\right)}+\cdots +\frac{{\alpha }_5}{z_0\left(5\right)}\right)+\left({\alpha }_6{z}_0\left(6\right)+{\alpha }_7{z}_0\left(6\right)+{\alpha }_{13}{z}_0\left(13\right)\right)+\left(\frac{{\alpha }_8}{z_0\left(8\right)}+\cdots +\frac{{\alpha }_{12}}{z_0\left(12\right)}\right)\right]}^{-1}\end{array}$ (4)

3.4.2. 中国省域产业生态系统优化度定义

基于效用函数理论，本文给出中国省域产业生态系统优化度定义为：

$\begin{array}{c}f\left(x_i\left(1\right),x_i\left(2\right),\cdots ,x_i\left(13\right)\right)=\frac{u\left(x_i\left(1\right),x_i\left(2\right),\cdots ,x_i\left(13\right)\right)}{u\left(z_0\left(1\right),z_0\left(2\right),\cdots ,z_0\left(13\right)\right)}\\ =\frac{{\left[{\displaystyle \underset{x_i(j)为收益型}{\sum }\frac{{\alpha }_j}{x_i\left(j\right)}}+{\displaystyle \underset{x_i(l)为成本型}{\sum }{\alpha }_l{x}_i\left(l\right)}\right]}^{-1}}{{\left[{\displaystyle \underset{z_0(j)为收益型}{\sum }\frac{{\alpha }_j}{z_0\left(j\right)}}+{\displaystyle \underset{z_0(l)为成本型}{\sum }{\alpha }_l{z}_0\left(l\right)}\right]}^{-1}}\\ =\frac{{\displaystyle \underset{z_0(j)为收益型}{\sum }\frac{{\alpha }_j}{z_0\left(j\right)}}+{\displaystyle \underset{z_0(l)为成本型}{\sum }{\alpha }_l{z}_0\left(l\right)}}{{\displaystyle \underset{x_i(j)为收益型}{\sum }\frac{{\alpha }_j}{x_i\left(j\right)}}+{\displaystyle \underset{x_i(l)为成本型}{\sum }{\alpha }_l{x}_i\left(l\right)}}\end{array}$ (5)

3.5. 测度结果

3.5.1. 边际替代率与外生参数的关系

由(3)式的效用函数定义，可推导出边际替代率¹²关于外生参数的函数关系式为：

1) 收益型输出 $x_i\left(j_2\right)$ 对收益型输出 $x_i\left(j_{\text{1}}\right)$ 的边际替代率为：

$MR{S}_{x_i(j_2),x_i(j_1)}=-\frac{\partial x_i\left(j_1\right)}{\partial x_i\left(j_2\right)}=-\left(-\frac{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(j_2\right)}}{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(j_1\right)}}\right)=\frac{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(j_2\right)}}{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(j_1\right)}}=\frac{{\alpha }_{j_2}}{{\alpha }_{j_1}}{\left(\frac{x_i\left(j_1\right)}{x_i\left(j_2\right)}\right)}^2$ (6)

2) 成本型输出 $x_i\left(l_2\right)$ 对成本型输出 $x_i\left(l_{\text{1}}\right)$ 的边际替代率为：

$MR{S}_{x_i(l_2),x_i(l_1)}=-\frac{\partial x_i\left(l_1\right)}{\partial x_i\left(l_2\right)}=-\left(-\frac{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(l_2\right)}}{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(l_1\right)}}\right)=\frac{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(l_2\right)}}{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(l_1\right)}}=\frac{{\alpha }_{l_2}}{{\alpha }_{l_1}}$ (7)

3) 成本型输出 $x_i\left(l\right)$ 对收益型输出 $x_i\left(j\right)$ 的边际替代率为

$MR{S}_{x_i(j),x_i(l)}=-\frac{\partial x_i\left(j\right)}{\partial x_i\left(l\right)}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(l\right)}}{\frac{\partial u}{\partial x_i\left(j\right)}}=-\frac{{\alpha }_l}{{\alpha }_j}{\left(x_i\left(j\right)\right)}^2$ (8)

3.5.2. 外生参数设置值及说明

由上述边际替代率关于外生参数的函数关系(6)、(7)及(8)式，结合(3)式中关于外生参数的说明，本文对外生参数的设置值及具体说明如表3所示。

Table 3. Setting and description of foreign parameters of the model

表3. 模型中外生参数设定及说明

3.5.3. 具体测度结果

依据本文所给定义(1)~定义(5)，对中国30个省域2020年度产业生态系统优化度进行测度并排序，结果如表4所示。

Table 4. Score and ranking of provincial industrial ecosystem optimization in China in 2020

表4. 2020年中国省域产业生态系统优化度得分及排名

4. 本文贡献及研究展望

本文对产业结构优化领域研究的主要贡献如下：1) 综述国内外产业结构领域现有研究的基础上，把研究范围拓展到中国30个省域层面，综合考虑经济、环境与创新三方面输出变量与产业结构优化程度之间的关系，给出了评价产业结构优化程度的数学定义——产业生态系统优化度；2) 基于效用函数理论，探讨了各种收益型、成本型输出变量与产业生态系统优化度之间的关系，构建了中国省域产业生态系统优化度测度问题的理论框架；3) 根据产业生态系统优化度理论框架，建立了中国省域产业生态系统优化度模型，从一个崭新的角度对中国省域产业生态系统优化程度进行评价。

未来的研究可从以下四个方面进行拓展：1) 继续深入探讨产业生态系统优化的输出变量评价体系；2) 外生参数 $a_j$ 的赋值可与专家评分法等方法相结合；3) 立足于中国经济转型升级的新常态，探究更加精确度量各省域对收益型、成本型指标偏好的效用函数；4) 局限于部分输出变量相关统计数据的可得性，本文对2020年中国省域产业生态系统优化度进行了测度，未来的研究可对测度时间范围进行拓展。

基金项目

本文受国家社会科学基金重大项目“大数据时代雾霾污染经济损失评估及防治对策研究”(项目编号：17ZDA092)、2020年江苏高校“大学素质教育与数字化课程建设”专项课题“概率论与数理统计课程思政的路径及保障机制研究”(项目编号：2020JDKT032)、2022年大学生创新创业训练计划江苏省重点项目“基于多目标规划模型和蒙特卡洛方法的中国碳达峰路径模拟”(项目编号：202210300050Z)资助。

NOTES

^*通讯作者。

¹D是凸域，等价于D中任意两点a和b的连线也在D中；即对于 $\forall a,b\in D$ ，有 $\lambda *a+\left(1-\lambda \right)*b\in D$ ，其中 $\lambda \in \left(0,1\right)$ 。

²f可微是为了保证f关于自变量的连续性和可导性。

³表示如果t时刻子区域相应的收益型输出取值增大，则f取值随之增大。

⁴为表述方便，下述性质均省略t。

⁵表示如果t时刻子区域 $G_i$ 相应的成本型输出取值增大，则f取值相应减小。

^{6 $\frac{\partial x_{i{j}_1}}{\partial x_{i{j}_2}}<0$} ，即 $x_{i{j}_1}$ 与 $x_{i{j}_2}$ 互为替代输出。

⁷由 $\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}\partial y_{ik}}=\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}^2}\frac{\partial x_{ij}}{\partial y_{ik}}>0$ ，可得 $\frac{\partial x_{ij}\left(t\right)}{\partial y_{ik}\left(t\right)}<0$ ，即 $x_{ij}\left(t\right)$ 与 $y_{ik}\left(t\right)$ 为替代输出。

⁸由 $\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}\partial y_{ik}}=\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}^2}\frac{\partial x_{ij}}{\partial y_{ik}}<0$ ，可得 $\frac{\partial x_{ij}}{\partial y_{ik}}>0$ ，即 $x_{ij}$ 与 $y_{ik}$ 为互补输出。

⁹由 $\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}\partial y_{ik}}=\frac{\partial f^2\left(X_i\right)}{\partial x_{ij}^2}\frac{\partial x_{ij}}{\partial y_{ik}}=0$ ，可得 $\frac{\partial x_{ij}}{\partial y_{ik}}=0$ ，即 $x_{ij}$ 与 $y_{ik}$ 两者无关。

¹⁰西藏自治区部分统计数据缺失，故不考虑。

¹¹容易证明出： ${\alpha }_j$ 赋值越小，边际效用 $\frac{\partial u}{\partial x_i\left(j\right)}$ 越大。

¹²边际替代率(Marginal Rate of Substitution, MRS)，本文中的MRS指的是在维持效用水平不变的前提下，每增加一单位某种输出时、所需放弃的另外一种输出的数量。