1. 简介和主要结论
本文主要研究如下形式的Kirchhoff方程解的存在性
(1.1)
其中
为常数。
方程(1.1)是一个重要的非局部拟线性问题,如果
且
被有界区域
代替,问题(1.1)导出如下形式的Dirichlet问题
(1.2)
这是Kirchhoff首次引入模型 [1] 的推广。更确切地说,问题(1.2)与如下方程的静止模拟相关
(1.3)
它是弹性弦自由振动的经典达朗贝尔波动方程的推广。Kirchhoff模型考虑了横向震动产生的弦长变化,在Lions [2] 提出了一个抽象的问题框架后,问题(1.2)受到了广泛的关注。
本文首先假设
和
满足以下条件
(Q)
,其中
是一个正常数,并且存在一个正常数
,使得
。
(V1)
是实函数,定义
对于
成立。
由条件(V1)可知Schröding算子
在
是有界的自伴算子(见 [8] [9] )。定义
为算子A的谱,
为算子A的本质谱,
为算子A的纯点谱,进一步,作如下的谱假设:
(V2)
,
,
,其中
。
设非线性项f满足
(f1)
,且
是
上的有界函数。
(f2)
。
显然,当(f1)满足时,条件(f2)有意义,定义如下集合:
(1.4)
设存在
,
使得
(f3)
当
,对几乎处处
一致成立。
(f4)
,且对任意
,都有
,其中
。
对任意
,都存在整数对
与如下的线性Schröding系统相关联
其中
被称为B的指数函数,
被称为B的零化度。定义
.
指数函数
可以被定义为算子
负本征空间的维数。那么,
是非增函数,文章在第二部分提出了一些关于B的性质,更多详细内容可以参考文献 [1] 。
考虑问题(1.1)解的存在性,本文有如下的主要结论:
定理1.1 假设条件(Q),(V1),(V2)和(f1)~(f4)满足,则问题(1.1)至少存在一个非平凡解。
在研究哈密顿系统的周期解时,指数理论得到了广泛的应用(见 [2] [3] [4] ),本文介绍的分类理论与上述的指标理论有很大的相关性,从理论上来说,本文的分类结构与文献( [2] [3] [4] )中提到的又有所不同,由于基本谱的出现,还需要克服更多复杂的问题。
考虑到Rayleigh-Ritz商的标准定义和结果,定义极小极大序列
其中
定义为
的n-维子空间族,那么
.
如果
是有限数,进一步有,
由不等式
可知
。因此,假设
,易知Schröding算子A满足条件(V2)。
当
,问题(1.1)已经取得了一些解的存在性结果,在文章( [5] [6] [7] )中,作者通过Clark定理、三临界点定理以及Clark定理的变体形式研究了两个非平凡解和无穷多平凡解的存在性。
2. 简介和主要结论
通常情况下,令
为标准的
空间,其中
,且定义范数为
令
,
为通常的Sobblev空间,定义范数为
由于0是至多有限重特征值,假设
。那么根据谱性质(V2),可以得到如下的正交分解
使得A在
空间上为负定的,在
空间上为正定的。定义算子A的绝对值为
,令
为Hilbert空间,并且定义内积为
那么其中的范数为
其中
为通常的L2-范数。一般地可以把E空间正交分解为
其中
那么E连续嵌入到
,则E连续嵌入到
对于
。
问题(1.1)具有如下形式的能量泛函
(1.5)
其中
并且,I是E中的
泛函,以及I的导函数为
(1.6)
由变分原理可知问题(1.1)的弱解为能量泛函I的临界点。
回忆在(1.4)定义的
,定义如下形式的二次型
(1.7)
的欧拉方程为
为了研究I的临界点,需要利用文献 [8] 中提到的临界点理论。
定义2.1 称
满足
条件,如果E中任意序列
使得
都有收敛的子列。
命题2.2 ( [9] ) 1)空间E可以被分解为三个子空间
使得
分别在
,
,
是正定的,零,负定的。此外,
和
为有限维子空间。
1) 定义
,
。称
为B的指数,
为B的零化度。
,其中
是
在E中的Morse指数;
。
2) 对任意
,
,当
时,都有
3) 存在
使得对任意
,都有
4)
是
上的等价范数,且存在
使得
3. 主要结论的证明
为了完成定理的证明,需要以下的引理:
引理3.1 假设(V1),(V2),(Q)和(f4)满足,则泛函I是强制的,即
证明:假设结论不正确,则可以选择序列
,以及
使得
,当
时。令
,则有
,由条件(Q)和(f4),易知存在
使得
(1.8)
根据
,因此
由
集的定义以及命题2.2(iv),选择足够小的
使得
,
。此外,容易计算得出
(1.9)
由命题2.2以及
,有如下的关于
的
-正交分解
和
则,由(1.9)可知
显然
,则在E中可设
,因为
,则有
,
。
断言
,如果
,则
在E中,以及
。根据命题2.2(v),存在常数c使得
这就意味着
,
。这是与
矛盾的。因此,
和
。由Fatou引理,设
可得
(1.10)
这是矛盾的,假设不成立,则引理得证。
引理3.2 设条件(V1),(V2),(Q),以及(f1)~(f3)满足,则存在
以及
使得
证明:由(f3)可得
且
当
几乎处处对
一致成立,设
固定
,对任意
,存在常数
使得
这就意味着
由
是连续嵌入,则存在依赖于s的正常数
,使得
令
,则
。注意到
为有限维,由命题2.2(v),存在常数
,
使得
因为在有限维空间中所有范数都是等价的,则存在常数
使得对任意
,都有
(1.11)
因此,通过选取足够小的
可以使得引理成立。
定理1.1的证明 由引理3.1可知I是强制的,那么I是下方有界的;由引理3.2可知
,下需证I是弱下半连续的。令
,由
-分解,设
根据Fatou引理,可得
以及
因此,I是弱下半连续的,由经典的变分原理可知,存在
使得
那么全局最小值点就是问题(1.1)的一个非平凡解。