一类特殊链环的Kauffman多项式

The Kauffman Polynomials of a Special Class of Links

摘要: Kauffman多项式在纽结理论中占据一定地位，是纽结和链环中最有用的双变量Laurent多项式不变量之一，其已经成为量子拓扑的基本构建块。本文主要研究一类特殊不定向链环——复叠链环，研究了这类链环的Kauffman多项式以及Kauffman多项式对应的生成函数。借助直线型链环的Kauffman多项式对复叠链环的Kauffman多项式进行计算，这为研究定向复叠链环的Kauffman多项式以及BLM/Ho多项式奠定基础。

Abstract: The Kauffman polynomial is probably the most useful two-variable polynomial invariants of knots and links. It generalizes the Jones polynomial, and it has become basic building blocks of quantum topology. In this paper, we mainly study a special type of links—the covering links, and we study the Kauffman polynomials of the link and the corresponding generating functions. The Kauffman poly-nomials of the covering links is calculated by using the Kauffman polynomials of linear links, which lays a foundation for the study of Kauffman polynomials and BLM/Ho polynomials of the oriented covering links.

1. 引言

纽结(链环)多项式是一个纽结不变量，且是以系数符合给定纽结(链环)性质的多项式。其中重要的纽结多项式有：Alexander，Alexander-Conway，Jones多项式等，其均为定向纽结和链环的单变量Laurent多项式不变量。HOMFLY多项式是定向纽结和链环的双变量Laurent多项式不变量。Kauffman多项式F是纽结和链环的双变量的半定向多项式不变量，他可以更好地区分纽结(链环)和他的镜像。根据纽结或链环的Kauffman多项式F可以得出该纽结或链环的Jones多项式和BLM/Ho多项式等。Kauffman多项式F的原始版本是不定向纽结和链环图的正则合痕不变量，用L表示。

2014年，Berceanu B，Nizami A R利用简单递归关系，给出计算闭辫子Jones多项式的新方法，得出Jones多项式的一般展开式和有理生成函数 [1] 。2015年，Duzhin S，Shkolnikov M给出有理链环(纽结) HOMFLY多项式的详细公式 [2] 。Taşköprü K，Altıntaş İ研究了作为广义Fibonacci多项式的环面链环的HOMFLY多项式，给出环面链环的HOMFLY多项式和广义的Fibonacci多项式之间的矩阵表示 [3] 。2018年，Ismet Altintas，Kemal Taşköprü，Merve Beyaztaş证明环面链环的尖括号多项式的递归关系式与Fibonacci多项式相似，给出其一些基本性质 [4] 。2019年，Altıntaş İ，Taşköprü K研究了可以作为Fibonacci类型多项式的环面链环的Kauffman多项式和BLM\Ho多项式，借助BLM\Ho多项式来解释Kauffman多项式 [5] 。在此基础上，本文研究了一类n分支不定向直线型链环和复叠链环，并计算其Kauffman多项式。为实现此类链环Kauffman多项式的计算，第一部分介绍了纽结理论相关的基础知识和基本概念；第二部分计算n分支直线型链环的Kauffman多项式；第三部分借助n分支直线型链环的Kauffman多项式计算n分支复叠链环的Kauffman多项式。

2. 预备知识

2.1. 纽结与链环

[6] 纽结：设K为S³中的一个简单闭曲线，且，则称K为一个纽结，如果给定K一个定向，则称K为一个定向纽结。图1为平凡结。

Figure 1. Trivial knot

图1. 平凡结

[7] 链环：将若干个互不相交的圆嵌入到三维欧氏空间R³中，这些圆形成的空间图称为链环，记，每个纽结为链环L的一个分支，在此之中n为链环L的分支数。如果给每个链环的每一个分支一个固定的方向，则称这个链环为一个定向链环。

[6] 注1：纽结为分支数为1的链环。

[6] 注2：若链环L所有的分支都是平凡结，则称链环L为平凡链环。如图2所示。

Figure 2. Trivial link

图2. 平凡链环

2.2. [8] 纽结(链环)的投影图

对于一个纽结(链环)，选取一个合适的平面，选择一个合适的方向对其进行投影，把三维空间中的纽结(链环)正则投影到这个平面上，得到的投影图中只有有限多个交叉点；每个交叉点都是二重点，在上下线处的投影都是互相穿越交叉的。则称其为纽结(链环)投影图。

注：投影图会因为选取平面的不同而不同。

2.3. [9] [10] Reidemeister Move (R变换)

R变换是纽结理论中最基本的变换，它可以概括三维空间中纽结所有的拓扑情形。R变换是改变纽结的正则投影图的三种方式，其中每一种方式都会改变交叉点之间的关系。Reidemeister变换有三种变换方式，分别为R1变换、R2变换、R3变换。如图3所示。

Figure 3. Reidemeister moves

图3. Reidemeister变换

2.4. [11] 纽结的分离并

在链环L的补空间中，存在一个二维球面S，将其嵌入可以将链环L分为不同的连通分支，并且这两个分支分布在球面S的两侧，则称链环L为可分离的。如果将所得的这两个不同的连通分支记为，则此时，称L为L₁和L₂的分离并，记作。

2.5. [5] Kauffman多项式定义

Kauffman多项式是不定向链环投影图K的一个双变量的Laurent多项式，Kauffman多项式是链环K的合痕不变量。并且Kauffman多项式的特殊化是链环的尖括号多项式，其也是BLM/Ho多项式的双变量推广。

2.6. [5] Kauffman多项式的计算满足如下几个规则

1)

其中、、、是如图4所示的不定向图。

Figure 4.、、and

图4.、、和

2)，其中O为平凡结。

3)。

4)

其中、、是如图5所示的不定向图。

Figure 5.、and

图5.、和

2.7. [5] Kauffman多项式的性质

1)或，，其中OO为2分支的平凡链环。

2)是一个平凡的m分支链环，。

3)，其中表示链环K的镜像。

4)，其中为链环和的组合。

5)，其中为链环和的不相交并。

3. 一类特殊链环的Kauffman多项式L

n分支直线型链环L_n的Kauffman多项式L(L_n)

[11] 定义3.1 n分支直线型链环L_n：由n个分支所构成，且是由n个平凡结按照特定方式并在一起，如图6所示。

注1：最简单的非平凡的直线型链环为2个分支的直线型链环，即Hopf链环。

注2：规定1分支的直线型链环为平凡结。

Figure 6. Linear links L_n

图6. 直线型链环L_n

[12] 定义3.2 n分支复叠链环K_n：由n个分支构成，是由n个平凡结两两相扣所得。如图7所示。

Figure 7. The covering links of n components link K_n

图7. n分支复叠链环K_n

定理3.1 n分支直线型链环L_n，其Kauffman多项式表达式为

.

证明 对于n分支直线型链环L_n，对其左下角交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式，令其生成链环分别为，如图8所示。

Figure 8. The skein relation of L_n

图8. L_n的拆接关系式

即拆接关系式为

，

其中链环为平凡结与分支直线型链环的并；对应用一系列R1变换得到链环。可以得到如下关系式

，

，

.

即拆接关系式等价于

，其中

对其进行整理，得到的递归关系式

，

则有

，

，

由于L₁为1分支的直线型链环，为平凡结，则。

对上述等式进行合并整理，有

.

定理得证。

定理3.2 n分支复叠链环K_n的Kauffman多项式的递归关系式为

初值为，，，其中。

证明 下面对一类不定向n分支复叠链环K_n的Kauffman多项式进行研究，首先对链环K_n左上角的交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式，令其生成的三个链环分别为，拆接关系式如图9所示。

Figure 9. The skein relation of K_n

图9. K_n的拆接关系式

即拆接关系式为

(3.1)

而对链环应用一系列R2变换，其可看作n分支直线型链环L_n；对链环应用一系列R1变换，其可看作分支复叠链环。

则3.1式等价于

. (3.2)

观察发现，为分支链环，令其为。接着对链环左上角的交叉点A应用Kauffman多项式的拆接关系式，令其所生成的链环分别为，拆接关系如图10所示。

Figure 10. The skein relation of

图10.的拆接关系式

即拆接关系式为

， (3.3)

而对链环应用一系列R1、R2变换，其可看作分支直线型链环；对链环应用一系列R1变换，其可看作分支链环；链环为分支链环，令其为。

则3.3式等价于

. (3.4)

下面对分支的链环的Kauffman多项式进行研究，对链环的交叉点B应用Kauffman多项式的拆接关系式，令其生成的链环分别为，如图11所示。

Figure 11. The skein relation of

图11.的拆接关系式

即拆接关系式为

， (3.5)

而对链环应用一系列R2变换，其可看作分支复叠链环；对链环应用一系列R1变换，其可看作分支直线型链环；链环为分支链环。

则3.5式等价于

. (3.6)

对3.2、3.4、3.6式进行合并、整理，可得时，K_n的Kauffman多项式的递归关系式为：

(3.7)

初值的计算分别如下：

1)

.

2)

.

3)

对链环K₂的左上方的交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式，令生成的链环分别为，如图12所示。

Figure 12. The skein relation of K₂

图12. K₂的拆接关系式

则有如下表达式

而对链环应用一系列R2变换，其可看作2分支直线型链环L₂；对链环应用一系列R1变换，其可看作1分支链环L₁。

即

(3.8)

接着对链环的右上方的交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式，令其生成的三个链环分别为，拆接关系式如图13所示。

则有

Figure 13. The skein relation of

图13.的拆接关系式

而对链环应用一系列R1、R2变换，其可看作平凡结；对链环应用一系列R1变换，其可看作平凡结。即

(3.9)

接着对链环的左侧的交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式，令其生成的链环分别为。如图14所示。

Figure 14. The skein relation of

图14.的拆接关系式

则有如下表达式

而对链环应用一系列R2变换，其可看作两个平凡结的并；对链环应用一系列R1变换，其可看作平凡结。即

(3.10)

对3.8~3.10式进行合并整理，得到链环的表达式为：

其中。

综上所述，定理得证。

注：全文k均为。

定理3.3 n分支复叠链环的Kauffman多项式所对应特征多项式的特征根为

其中

证明 由定理3.2可知，链环K_n的Kauffman多项式的递归关系式为

则其对应的特征多项式为

即

则该特征多项式的三个特征根分别为

.

定理得证。

推论3.4

其中

证明 将、、的值带入即可得到。

性质3.5 序列对应的生成函数为

其中。

证明的生成函数的形式如下：

分别对乘以

则有

由序列的递归关系式可知

，

则

则原式等价于

将三个初值、、的值依次代入上述等式，即可得到序列所对应的生成函数为

命题得证。

定理3.6 序列的通解为，其中，，

其中

其中

证明 序列的通项公式为

则分别令，有

(1)

(2)

，其中. (3)

解系数分别如下：

首先对系数C进行求解。对(1)式分别左右乘以、、有(4)式，对(1)式分别左右乘以、、有(5)式。

则有如下等式

(4)

(5)

则将上述(4)、(5)两式分别与(2)、(3)式作差，有(6)式和(7)式：

(6)

(7)

对上述(6)、(7)两式进行合并整理，得到C的表达式为：

同理可以求出

将、、的值带入上述三个式子即可得到

定理得证。

4. 结语

本文主要研究一类特殊不定向链环——复叠链环的Kauffman多项式。借助直线型链环的Kauffman多项式对复叠链环的Kauffman多项式进行研究。利用Kauffman多项式的拆接关系式推出其递归关系式，进而研究了这个递归关系式的生成函数。为研究定向复叠链环的Kauffman多项式以及BLM/Ho多项式奠定基础。