图的顶点矩阵加权Zeta函数

doi:10.12677/pm.2024.145162

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图的顶点矩阵加权Zeta函数
A Vertex Matrix-Weighted Zeta Function of a Graph

DOI: 10.12677/pm.2024.145162, PDF, HTML, XML, 下载: 65 浏览: 136
作者: 考梦诗：上海理工大学理学院，上海
关键词: Zeta函数；顶点矩阵加权；L-函数；二部图；Zeta Function； Vertex Matrix-Weight； L-Function； Bipartite Graph

摘要: 对于一个图，定义了它的顶点矩阵加权zeta函数，并给出了相对应的行列式表达式。之后定义了图的顶点矩阵加权L-函数。然后对于二部图给出了其顶点矩阵加权zeta函数和L-函数的具体形式。最后计算了二部图zeta函数的例子。

Abstract: We define a vertex matrix-weighted zeta function of a graph, and give a determinant expression of it. Then we give the L-function in this weight. Furthermore, we define a vertex matrix-weighted zeta function of a bipartite graph, and give the determinant expression of zeta function and L-function of a bipartite graph. Finally, we give an example of the zeta function of a bipartite graph.

文章引用：考梦诗. 图的顶点矩阵加权Zeta函数[J]. 理论数学, 2024, 14(5): 69-77. https://doi.org/10.12677/pm.2024.145162

1. 简要介绍

图的zeta函数首先由Ihara提出，他对正则图定义了Ihara zeta函数，并证明了正则图的Ihara zeta函数的倒数是一个多项式。Sunada [1] 得到了图的正则覆盖图的zeta函数和图的基本群的表示之间的联系。Hashimoto [2] 将Ihara关于正则图的Ihara zeta函数的结论推广到了非正则图，并证明了它的倒数也是由一个包含边关联矩阵的行列式构成的多项式。利用非正则图的邻接矩阵，Bass [3] 给出了非正则图的Ihara zeta函数的另一个行列式表达式。之后，Stark和Terras [4] [5] 定义了图的边zeta函数和路zeta函数。Sato [6] [7] [8] 和他的合作者定义了各种加权版本的zeta函数，并得到这些zeta函数的行列式表达式。

这里所提到的图都是有限的简单图。是一个连通图，其中 $V (G)$ 是它的顶点集， $E (G)$ 是它的无向边集。uv表示连接点u和v的一条边，弧 $(u, v)$ 是连接从u到v一条有向边。 $D (G) = {(u, v), (v, u) | u v \in E (G)}$ 。对于有向边 $e = (u, v) \in D (G)$ ，让 $u = o (e)$ ， $v = t (e)$ 。此外， $e^{- 1} = (v, u)$ 表示 $e = (u, v)$ 的逆。

图G中长度为n的路P是一系列边 $P = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})$ ，其中要满足 $e_{i} \in D (G)$ ， $t (e_{i}) = o (e_{i + 1}) (1 \leq i \leq n - 1)$ 。对于路 $P = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})$ ， $| P | = n$ ， $o (P) = o (e_{1})$ 并且 $t (P) = t (e_{n})$ ，当存在 $i (1 \leq i \leq n - 1)$ 使得 $e_{i + 1}^{- 1} = e_{i}$ 时，称这条路有回溯，当 $o (P) = t (P)$ 时，称这条路是一个圈。圈 $C = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})$ 的逆是圈 $C^{- 1} = (e_{n}^{- 1}, e_{n - 1}^{- 1}, \dots, e_{1}^{- 1})$ 。

对于两个圈 $C_{1} = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{m})$ 和 $C_{2} = (f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m})$ 如果存在k使得对于所有的j有 $f_{j} = e_{j + k}$ ，这里的指标都是mod k的，那么称这两个圈是等价的。一般而言圈C的逆和它本身是不等价的。 $[C]$ 表示圈C的等价类，即所有与C等价的圈的集合。 $B^{r}$ 表示圈B进行r次循环得到的圈，这种圈称作圈B的幂次。如果一个圈及与它等价的圈都没有回溯，那么就称它是约化的。此外如果圈C不是严格比它小的一个圈的幂次，那么就称这个圈是素圈。事实上，图G的每个约化的素圈的等价类唯一对应图G在点v的基本群 $π_{1} (G, v)$ 的共轭类。

当 $u \in ℂ$ 充分小，图G的Ihare zeta 函数定义为

$ζ (G, u) = ζ_{G} (u) = \prod_{[C]} {(1 - u^{| C |})}^{- 1}$ ，

其中， $[C]$ 跑遍G中约化的素圈的所有等价类 [9] 。

本文的主要研究内容是定义了顶点矩阵加权的zeta函数和L-函数，再通过计算得到图的顶点矩阵加权zeta函数和L-函数的行列式表达式。这一结果推广了文献 [7] 的结果，并且是文献 [11] 的顶点加权的类比。

2. 图的顶点矩阵加权zeta函数

$G = (V (G), E (G))$ 是一个有限连通图，其中 $V (G) = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ ， $E (G) = {e_{1}, \dots, e_{m}}$ 并且 $D (G) = {e_{1}, e_{1}^{- 1}, \dots, e_{m}, e_{m}^{- 1}}$ 。令 $w : V (G) \to ℂ^{k \times k}$ 表示一个函数。对于G中的圈 $C = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r})$ ， $W_{C} = w (t (e_{1})) \dots w (t (e_{r}))$ 。

定义1. 图的顶点矩阵加权zeta函数定义为：

$ζ_{G} (w) = \prod_{[C]} \det {(I - W_{C})}^{- 1}$ ，

其中， $[C]$ 跑遍G中约化的素圈的所有等价类 [11] 。

首先定义三个 $2 m k \times 2 m k$ 矩阵， $B = {(B_{e, f})}_{e, f \in D (G)}$ ， $J_{0} = {(J_{e, f})}_{e, f \in D (G)}$ 和U：

$B_{e, f} = {\begin{matrix} I_{k} & t (e) = o (f) \\ 0 & 其他 \end{matrix}$ ， $J_{e, f} = {\begin{matrix} I_{k} & f = e^{- 1} \\ 0 & 其他 \end{matrix}$ ，

$U = d i a g (w (t (e_{1})), w (t (e_{1}^{- 1})), w (t (e_{2})), \dots, w (t (e_{m})), w (t (e_{m}^{- 1})))$ 。

之后便可以得到如下结果：

定理2. G是一个n个点m条边的有限连通图。 $w : V (G) \to ℂ^{k \times k}$ 表示一个函数，则图的顶点矩阵zeta函数的倒数可以写成：

$ζ_{G} {(w)}^{- 1} = \prod_{[C]} \det (I - W_{C}) = \det (I_{2 m k} - U (B - J_{0}))$ 。

在证明定理2之前，我们需要如下的预备知识。我们将利用Amitsur恒等式 [10] 给出图G顶点矩阵加权zeta函数的行列式表达。首先需要了解Lyndon字的定义，X是一个有限非空集，<是X的一个全序集，X^*是X生成的自由幺半群。X中的全序集<导出X^*中的典序<^*。X中的Lyndon字定义为X^*中的一个非空素字，即对于 $r \geq 2$ ，不存在一个字l，使得它等于 $l^{r}$ ，并且在<^*下的圈重排的类里是最小的。将L表示成 X中所有的Lyndon字。

引理3. 对于方阵 $A_{1}, \dots, A_{k}$ ， $\det (I - (A_{1} + \dots + A_{k})) = \prod_{l \in L} \det (I - A_{l})$ ，其中，这个运算跑遍所有 ${1, \dots, k}$ 中所有的Lyndon 字，并且对于 $l = i_{1} \dots i_{p}$ 有 $A_{l} = A_{i_{1}} \dots A_{i_{p}}$ 。

接下来对定理2进行证明：

证明. 首先定义两个矩阵 $B^{w} = {(B_{e, f}^{(w)})}_{e, f \in D (G)}$ 和 $J^{w} = {(J_{e, f}^{(w)})}_{e, f \in D (G)}$ ：

$B_{e, f}^{(w)} = {\begin{array}{l} w (e) & t (e) = o (f) \\ 0 & 其他 \end{array}$ ， $J_{e, f}^{(w)} = {\begin{array}{l} w (e) & f = e^{- 1} \\ 0 & 其他 \end{array}$ 。

令 $D (G) = {e_{1}, \dots, e_{m}, e_{m + 1}, \dots, e_{2 m}}$ 使得 $e_{m + i} = e_{i}^{- 1} (1 \leq i \leq m)$ ， $X_{e_{j}}$ 是第 $k (j - 1) + 1, \dots, j k$ 行等于 $B^{w} - J^{w}$

的第 $k (j - 1) + 1, \dots, j k$ 行，其他行等于0的 $2 m k \times 2 m k$ 矩阵。令 $M = I - \sum_{e \in D (G)} X_{e}$ ，则对于弧 $π$ 任一序列，

$\det (I - X_{π}) = {\begin{array}{l} \det (I - w (π)) & 若 π 是约化的素圈 \\ 1 & 其他 \end{array}$ ，

其中，对于 $π = (e_{1} \dots e_{r})$ 有 $X_{π} = X_{e_{1}} \dots X_{e_{r}}$ 。

通过上面的引理可得

$ζ_{G} {(w)}^{- 1} = \det M = \det (I_{2 m k} - (B^{w} - J^{w}))$ 。

而

$U B = B^{w}$ ， $U J_{0} = J^{w}$ 。

因此

$ζ_{G} {(w)}^{- 1} = \det (I_{2 m k} - (B^{w} - J^{w})) = \det (I_{2 m k} - U_{ρ} (B - J_{0}))$ 。

为了进一步得到zeta函数的行列式表达，定义两个分块矩阵： $\tilde{A} = \tilde{A} (G) = {(A_{x y})}_{x, y \in V ( G )}$

$A_{x y} = {\begin{array}{l} {(I_{k} - w (y) w (x))}^{- 1} w (y) & (x, y) \in D (G) \\ 0 & 其他 \end{array}$ ，

$\tilde{D} = \tilde{D} (G) = {(D_{x y})}_{x, y \in V (G)}$ 是一个准对角矩阵定义为：

$D_{x x} = \sum_{o (e) = x} {(I_{k} - w (t (e)) w (t (e^{- 1})))}^{- 1} w (t (e)) w (t (e^{- 1}))$ 。

定理4. G是一个n个点m条边的有限连通图。 $w : V (G) \to ℂ^{k \times k}$ 表示一个函数，并且对于所有的 $e \in D (G)$ $\det (I_{k} - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1}))) \neq 0$ ，则图的顶点矩阵zeta函数的倒数可以写成：

$ζ_{G} {(w)}^{- 1} = \det (I_{n k} - \tilde{A} + \tilde{D}) \prod_{i = 1}^{m} \det (I_{k} - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1})))$ 。

定理4的证明见第3节定理7。

3. 图的L-函数

定理5. G是一个n个点m条边的有限连通图，Γ是一个有限群。 $α : D (G) \to Γ$ 是一个一般电压分配， ${w (v) | v \in V (G)}$ 是图G的一个顶点矩阵加权，其中 $w (v)$ 是 $k \times k$ 维矩阵。当 $C = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{t})$ 是G的一个圈时，定义 $W_{C} = w (t (e_{1})) w (t (e_{2})) \dots w (t (e_{t}))$ ，对于G中的路 $P = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r})$ ，令。 $ρ$ 是Γ的度为d的一个表示。

则图G关于 $ρ$ 和 $α$ 的顶点矩阵加权L-函数定义为：

$ζ_{G} (w, ρ, α) = \prod_{[C]} \det {(I_{d k} - ρ (α (C)) \otimes W_{C})}^{- 1}$ ，

其中， $[C]$ 跑遍G中约化的素圈的所有等价类。

令 $D (G) = {e_{1}, e_{1}^{- 1}, \dots, e_{m}, e_{m}^{- 1}}$

$U_{ρ} = d i a g (ρ (α (e_{1})) \otimes w (t (e_{1})), ρ (α (e_{1}^{- 1})) \otimes w (t (e_{1}^{- 1})), \dots, ρ (α (e_{m}^{- 1})) \otimes w (t (e_{m}^{- 1})))$

$B_{ρ} = {(B_{e, f}^{(ρ)})}_{e, f \in D (G)}$ ， $J_{ρ} = {(J_{e, f}^{(ρ)})}_{e, f \in D (G)}$ 定义如下：

$B_{e, f}^{(ρ)} = {\begin{array}{l} I_{d k} & t (e) = o (f) \\ 0 & 其他 \end{array}$ ， $J_{e, f}^{(ρ)} = {\begin{array}{l} I_{d k} & f = e^{- 1} \\ 0 & 其他 \end{array}$ 。

定理6. G是一个n个点m条边的有限连通图，Γ是一个有限群。 $α : D (G) \to Γ$ 是一个一般电压分配， ${w (v) | v \in V (G)}$ 是图G的一个顶点矩阵加权，其中 $w (v)$ 是 $k \times k$ 维矩阵。当 $C = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{t})$ 是G的一个圈时，定义 $W_{C} = w (t (e_{1})) w (t (e_{2})) \dots w (t (e_{t}))$ ，对于G中的路 $P = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r})$ ，令 $α (P) = α (e_{1}) α (e_{2}) \dots α (e_{r})$ 。 $ρ$ 是Γ的度为d的一个表示。则图G关于 $ρ$ 和 $α$ 的顶点矩阵加权L-函数的倒数可以写成：

$ζ_{G} {(w, ρ, α)}^{- 1} = \det (I_{2 m k d} - U_{ρ} (B_{ρ} - J_{ρ}))$ 。

证明. 首先定义两个矩阵 $B_{ρ}^{w} = {(B_{e, f}^{(ρ, w)})}_{e, f \in D (G)}$ ， $J_{ρ}^{w} = {(J_{e, f}^{(ρ, w)})}_{e, f \in D ( G )}$

$B_{e, f}^{(ρ, w)} = {\begin{array}{l} ρ (α (e)) \otimes w (e) & t (e) = o (f) \\ 0 & 其他 \end{array}$ ， $J_{e, f}^{(ρ, w)} = {\begin{array}{l} ρ (α (e)) \otimes w (e) & f = e^{- 1} \\ 0 & 其他 \end{array}$ 。

令 $D (G) = {e_{1}, \dots, e_{m}, e_{m + 1}, \dots, e_{2 m}}$ 使得 $e_{m + i} = e_{i}^{- 1} (1 \leq i \leq m)$ ， $Y_{e_{j}}$ 是第 $d (j - 1) k + 1, \dots, d j k$ 行等于 $B_{ρ}^{w} - J_{ρ}^{w}$ 的第 $d (j - 1) + 1, \dots, d j k$ 行，其他行等于0的 $2 m k d \times 2 m k d$ 矩阵。令 $M = I - \sum_{e \in D (G)} Y_{e}$ ，则对于弧 $π$ 任一序列，

$\det (I - Y_{π}) = {\begin{array}{l} \det (I - ρ (α (π)) \otimes w (π)) & 若 π 是约化的素圈 \\ 1 & 其他 \end{array}$ ，

其中，对于 $π = (e_{1} \dots e_{r})$ 有 $Y_{π} = Y_{e_{1}} \dots Y_{e_{r}}$ 。

通过之前的引理可得

$ζ_{G} {(w, ρ, α)}^{- 1} = \det M = \det (I_{2 m k d} - (B_{ρ}^{w} - J_{ρ}^{w}))$ 。

而

$U_{ρ} B_{ρ} = B_{ρ}^{w}$ ， $U_{ρ} J_{ρ} = J_{ρ}^{w}$ ，

因此

$ζ_{G} {(w, ρ, α)}^{- 1} = \det (I_{2 m k d} - (B_{ρ}^{w} - J_{ρ}^{w})) = \det (I_{2 m k d} - U_{ρ} (B_{ρ} - J_{ρ}))$ 。

之后对于任一个 $g \in Γ$ ，定义一个 $n k \times n k$ 维矩阵 $A_{g} = {(A_{x y, g})}_{x, y \in V (G)}$ ：

$A_{x y . g} = {\begin{array}{l} {(I_{k} - w (y) w (x))}^{- 1} w (y) & (x, y) \in D (G) 并且 α (x, y) = g \\ 0 & 其他 \end{array}$ 。

定理7. G是一个n个点m条边的有限连通图，Γ是一个有限群。 $α : D (G) \to Γ$ 是一个一般电压分配， ${w (v) | v \in V (G)}$ 是图G的一个顶点矩阵加权，其中 $w (v)$ 是 $k \times k$ 维矩阵并且对于所有 $e \in D (G)$ ，都有 $\det (I_{k} - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1}))) \neq 0$ 。当 $C = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{t})$ 是G的一个圈时，定义 $W_{C} = w (t (e_{1})) w (t (e_{2})) \dots w (t (e_{t}))$ ，对于G中的路 $P = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r})$ ，令 $α (P) = α (e_{1}) α (e_{2}) \dots α (e_{r})$ 。 $ρ$ 是Γ的度为d的一个表示。则图G关于 $ρ$ 和 $α$ 的顶点矩阵加权L-函数的倒数可以写成：

$ζ_{G} {(w, ρ, α)}^{- 1} = \prod_{i = 1}^{m} \det {(I_{k} - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1})))}^{d} \times \det (I_{2 m k d} - \sum_{g \in Γ} ρ (g) \otimes A_{g} + I_{d} \otimes \tilde{D} (G))$ 。

证明. 首先定义两个矩阵 $M_{ρ} = {(M_{e, v}^{(ρ)})}_{e \in D (G), v \in V (G)}$ ， $N_{ρ} = {(N_{e, v}^{(ρ)})}_{e \in D (G), v \in V (G)}$ ：

$M_{e, f}^{(ρ)} = {\begin{array}{l} I_{d K} & t (e) = v \\ 0 & 其他 \end{array}$ ， $N_{e, f}^{(ρ)} = {\begin{array}{l} I_{d k} & o (e) = v \\ 0 & 其他 \end{array}$

不难得到 $B_{ρ} = M_{ρ} {(N_{ρ})}^{T}$ 。

所以 $ζ_{G} {(w, ρ, α)}^{- 1} = \det (I_{2 m k d} - U_{ρ} (B_{ρ} - J_{ρ})) = \det (I_{2 m k d} - U_{ρ} M_{ρ} {(N_{ρ})}^{T} + U_{ρ} J_{ρ})$

$\begin{matrix} \det (I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ}) = \sum_{i = 1}^{m} \det (I_{2 k d} + (\begin{matrix} 0 & ρ (α (e_{i})) \otimes w (t (e_{i})) \\ ρ (α (e_{i}^{- 1})) \otimes w (t (e_{i}^{- 1})) & 0 \end{matrix})) \\ = \sum_{i = 1}^{m} \det (I_{k d} - I_{d} \otimes w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1}))) \\ = \sum_{i = 1}^{m} \det {(I_{k} - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1})))}^{d} \end{matrix}$

由条件 $\det (I_{k} - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1}))) \neq 0$ ，

所以 $I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ}$ 可逆，

因此 $ζ_{G} {(w, ρ, α)}^{- 1} = \det (I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ}) \det (I_{2 m k d} - {(I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ})}^{- 1} U_{ρ} M_{ρ} {(N_{ρ})}^{T})$

$\det (I_{2 m k d} - {(I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ})}^{- 1} U_{ρ} M_{ρ} {(N_{ρ})}^{T}) = \det (I_{2 m k d} - {(N_{ρ})}^{T} {(I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ})}^{- 1} U_{ρ} M_{ρ})$

令 $H_{i} = (\begin{matrix} I_{k d} & ρ (α (e_{i})) \otimes w (t (e_{i})) \\ ρ (α (e_{i}^{- 1})) \otimes w (t (e_{i}^{- 1})) & I_{k d} \end{matrix})$ ，

所以 $I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ} = d i a g (H_{1}, H_{2}, \dots, H_{m})$

又因为 ${(\begin{matrix} I & F \\ H & I \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} {(I - F H)}^{- 1} & - F {(I - H F)}^{- 1} \\ - H {(I - F H)}^{- 1} & {(I - H F)}^{- 1} \end{matrix})$

令 $I_{k} - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1})) = K_{i i^{- 1}}$ ， $I_{k} - w (t (e_{i}^{- 1})) w (t (e_{i})) = K_{i^{- 1} i}$ ，

$H_{i}^{- 1} = (\begin{matrix} {[I_{d} \otimes K_{i i^{- 1}}]}^{- 1} & - ρ (α (e_{i})) \otimes w (t (e_{i})) {[I_{d} \otimes K_{i^{- 1} i}]}^{- 1} \\ - ρ (α (e_{i}^{- 1})) \otimes w (t (e_{i}^{- 1})) {[I_{d} \otimes K_{i i^{- 1}}]}^{- 1} & {[I_{d} \otimes K_{i^{- 1} i}]}^{- 1} \end{matrix})$ ，

所以 ${(I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ})}^{- 1} = d i a g (H_{1}^{- 1}, H_{2}^{- 1}, \dots, H_{m}^{- 1})$ 。

对于 $e = (x, y) \in D (G)$ ，

$\begin{array}{l} {({(N_{ρ})}^{T} {(I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ})}^{- 1} U_{ρ} M_{ρ})}_{x y} \\ = {(N_{ρ})}_{x e}^{T} {[{(I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ})}^{- 1} U_{ρ}]}_{e e} {(M_{ρ})}_{e y} \\ = {[I_{d} \otimes (I_{k} - w (t (e)) w (t (e^{- 1})))]}^{- 1} ρ (α (e)) \otimes w (t (e)) \\ = I_{d} \otimes {(I_{k} - w (t (e)) w (t (e^{- 1})))}^{- 1} ρ (α (e)) \otimes w (t (e)) \\ = ρ (α (e)) \otimes [{(I_{k} - w (t (e)) w (t (e^{- 1})))}^{- 1} w (t (e))] \\ = ρ (α (e)) \otimes [{(I_{k} - w (y) w {(x)}^{- 1})}^{- 1} w (y)] \end{array}$

对于 $x \in V (G)$ ，

$\begin{array}{l} {({(N_{ρ})}^{T} {(I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ})}^{- 1} U_{ρ} M_{ρ})}_{x x} \\ = \sum_{e, o (e) = x} {(N_{ρ})}_{x e}^{T} {[{(I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ})}^{- 1} U_{ρ}]}_{e e^{- 1}} {(M_{ρ})}_{e^{- 1} x} \\ = - \sum_{o (e) = x} ρ (α (e)) \otimes w (t (e)) {[I_{d} \otimes (I_{k} - w (t (e^{- 1})) w (t (e)))]}^{- 1} ρ (α (e^{- 1})) \otimes w (t (e^{- 1})) \\ = - I_{d} \otimes \sum_{o (e) = x} w (t (e)) {[I_{k} - w (t (e^{- 1})) w (t (e))]}^{- 1} w (t (e^{- 1})) \\ = - I_{d} \otimes \sum_{o (e) = x} {[I_{k} - w (t (e)) w (t (e^{- 1}))]}^{- 1} w (t (e)) w (t (e^{- 1})) \end{array}$

因此，

$\det (I_{2 m k d} - {(N_{ρ})}^{T} {(I_{2 m k d} + U_{ρ} J_{ρ})}^{- 1} U_{ρ} M_{ρ}) = \det (I_{2 m k d} - \sum_{g \in Γ} ρ (g) \otimes A_{g} + I_{d} \otimes \tilde{D} (G))$ 。

当 $ρ$ 是平凡表示时，定理7中的行列式表达式就是定理4中要证的等式。

4. 二部图的顶点矩阵加权Zeta函数

4.1. 二部图的Zeta函数

在二部图中，顶点矩阵加权可以有稍微一般一些的形式，在这里并不要求每个矩阵都是方阵。具体地，设 $G_{X, Y}$ 是一个 $n_{2}$ 个点在X中， $n_{2}$ 个点在Y中并且有m条边的有限连通二部图，其中 $D (G_{X, Y}) = {e_{1}, e_{1}^{- 1}, \dots, e_{m}^{- 1}}$ 。 $w : X \to ℂ^{x \times y}, Y \to ℂ^{y \times x}$ 表示一个函数。对于 $G_{X, Y}$ 中的圈 $C = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r})$ ，令 $W_{C} = w (t (e_{1})) w (t (e_{2})) \dots w (t (e_{r}))$ 。

然后定义三个矩阵 $\hat{B} = {({\hat{B}}_{e, f})}_{e, f \in D (G_{X, Y})}$ ， ${\hat{J}}_{0} = {({\hat{J}}_{e, f})}_{e, f \in D (G)}$ 和 $\hat{U}$ ：

${\hat{B}}_{e, f} = {\begin{array}{l} I_{y} & t (e) = o (f), t (e) \in X \\ I_{x} & t (e) = o (f), t (e) \in Y \\ 0 & 其他 \end{array}$ ， ${\hat{J}}_{e, f} = {\begin{array}{l} I_{y} & f = e^{- 1}, t (e) \in X \\ I_{x} & f = e^{- 1}, t (e) \in Y \\ 0 & 其他 \end{array}$ ，

$\hat{U} = d i a g (w (t (e_{1})), w (t (e_{1}^{- 1})), w (t (e_{2})), \dots, w (t (e_{m})), w (t (e_{m}^{- 1})))$ 。

之后再定义一个矩阵 $\hat{A} = {({\hat{A}}_{u v})}_{u, v \in X \cup Y}$ 和一个准对角矩阵 $\hat{D} = {({\hat{D}}_{u v})}_{u, v \in X \cup Y}$ ：

${\hat{A}}_{u v} = {\begin{array}{l} {(I - w (v) w (u))}^{- 1} w (v) & (u, v) \in D (G_{X, Y}) \\ 0 & 其他 \end{array}$ ，

${\hat{D}}_{u u} = \sum_{o (e) = u} {(I - w (t (e)) w (t (e^{- 1})))}^{- 1} w (t (e)) w (t (e^{- 1}))$ 。

则可以得到如下结果：

定理8. $G_{X, Y}$ 是一个 $n_{1}$ 个点在X中， $n_{2}$ 个点在Y中并且有m条边的有限连通二部图，其中

$D (G_{X, Y}) = {e_{1}, e_{1}^{- 1}, \dots, e_{m}^{- 1}}$ 。 $w : X \to ℂ^{x \times y}, Y \to ℂ^{y \times x}$ 表示一个函数，并且对于所有的 $e \in D (G_{X, Y})$ 都有

$\det (I_{k} - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1}))) \neq 0$ 。对于 $G_{X, Y}$ 中的圈 $C = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r})$ ，令 $W_{C} = w (t (e_{1})) w (t (e_{2})) \dots w (t (e_{r}))$ 。则二部图 $G_{X, Y}$ 的顶点矩阵加权zeta函数的倒数可以写成：

$\begin{matrix} ζ_{G_{X, Y}} {(w)}^{- 1} = \prod_{[C]} \det (I - W_{C}) = \det (I_{m (x + y)} - \hat{U} (\hat{B} - {\hat{J}}_{0})) \\ = \det (I_{n_{2} x + n_{1} y} - \hat{A} + \hat{D}) \prod_{i = 1}^{m} \det (I - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1}))) . \end{matrix}$

该定理的证明和前面的证明类似。

4.2. 二部图的L-函数

定理9. $G_{X, Y}$ 是一个 $n_{1}$ 个点在X中， $n_{2}$ 个点在Y中并且有m条边的有限连通二部图。w是4。中定义的 $G_{X, Y}$ 的一个顶点矩阵加权。Γ是一个r阶的群， $α : D (G) \to Γ$ 是一个一般电压分配。此外， $ρ$ 是Γ的一个度为d的表示。则图 $G_{X, Y}$ 关于 $ρ$ 和 $α$ 的顶点矩阵加权L-函数的倒数可以写成：

$ζ_{G_{X, Y}} {(w, ρ, α)}^{- 1} = \prod_{i = 1}^{m} \det {(I - w (t (e_{i})) w (t (e_{i}^{- 1})))}^{d} \times \det (I - \sum_{g \in Γ} ρ (g) \otimes {\bar{A}}_{g} + I_{d} \otimes \hat{D})$ ，

其中矩阵 ${\bar{A}}_{g} = {({\bar{A}}_{u v, g})}_{u, v \in X \cup Y}$ 定义为：

${\bar{A}}_{u v, g} = {\begin{array}{l} {(I - w (v) w (u))}^{- 1} w (v) & (u, v) \in D (G_{X, Y}) α (u, v) = g \\ 0 & 其他 \end{array}$ 。

4.3. 例子

$G_{X, Y} = K_{2, 2}$ 是一个完全二部图，其中点 $1, 2 \in X$ ，点 $3, 4 \in Y$ 。w是 $G_{X, Y}$ 的一个顶点矩阵加权定义为：

$w (1) = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}), w (2) = (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}), w (3) = (\begin{matrix} p & q \end{matrix}), w (4) = (\begin{matrix} r & s \end{matrix}) .$

很容易看出 $K_{2, 2}$ 的约化的素圈的等价类是 $[C]$ 和 $[C^{- 1}]$ ，其中 $C = (1, 3, 2, 4)$ 。

通过 $ζ_{K_{2, 2}} (w)$ 的定义有：

$\begin{matrix} ζ_{K_{2, 2}} {(w)}^{- 1} = \det (I_{2} - W (C)) \det (I_{1} - W (C^{- 1})) \\ = (1 - (p c + q d) (a r + b s)) (1 - (p a + q b) (c r + d s)) . \end{matrix}$

令 $E = p a + q b, F = a r + b s, G = p c + q d, H = c r + d s$ 可以得到：

${\hat{A}}_{13} = \frac{1}{1 - E} (\begin{matrix} p & q \end{matrix}), {\hat{A}}_{14} = \frac{1}{1 - F} (\begin{matrix} r & s \end{matrix}),$

${\hat{A}}_{23} = \frac{1}{1 - G} (\begin{matrix} p & q \end{matrix}), {\hat{A}}_{24} = \frac{1}{1 - H} (\begin{matrix} r & s \end{matrix}),$

${\hat{A}}_{31} = \frac{1}{1 - E} (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}), {\hat{A}}_{41} = \frac{1}{1 - F} (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}),$

${\hat{A}}_{32} = \frac{1}{1 - G} (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}), {\hat{A}}_{42} = \frac{1}{1 - H} (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) .$

所以

$\hat{A} = (\begin{matrix} 0 & 0 & {\hat{A}}_{13} & {\hat{A}}_{14} \\ 0 & 0 & {\hat{A}}_{23} & {\hat{A}}_{24} \\ {\hat{A}}_{31} & {\hat{A}}_{32} & 0 & 0 \\ {\hat{A}}_{41} & {\hat{A}}_{42} & 0 & 0 \end{matrix})$ ，

$\begin{array}{l} \hat{D} = d i a g {\frac{E}{1 - E} + \frac{F}{1 - F}, \frac{G}{1 - G} + \frac{H}{1 - H}, \frac{1}{1 - G} (\begin{matrix} p c & q c \\ p d & q d \end{matrix}) + \frac{1}{1 - E} (\begin{matrix} p a & q a \\ p b & q b \end{matrix}), \\ \frac{1}{1 - F} (\begin{matrix} a r & a s \\ b r & b s \end{matrix}) + \frac{1}{1 - H} (\begin{matrix} c r & c s \\ d r & d s \end{matrix})} . \end{array}$

通过4.1的定理8可以得到

$\begin{matrix} ζ_{G_{X, Y}} (w) = \det (I_{6} - \hat{A} + \hat{D}) \times (1 - E) (1 - F) (1 - G) (1 - H) \\ = (1 - G F) (1 - E H) \\ = (1 - (p c + q d) (a r + b s)) (1 - (p a + q b) (c r + d s)) . \end{matrix}$

参考文献

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