对称群S₄的极大子群和容许子群

The Maximal Subgroups and Meet-Irreducible Subgroups in Symmetry Group S₄

摘要: 基于极大子群与容许子群的概念，从具体的群出发，本文确定了4次对称群S₄的所有极大子群、容许子群以及个数，为理解抽象的定义提供了具体的例子，也为丰富该课题的研究做了积极的尝试。

Abstract: Based on the concept of the maximal subgroups and meet-irreducible subgroups, starting from specific groups, this paper determines all maximal subgroups, meet-irreducible subgroups and their number in the quartic symmetric group S₄, providing specific examples for understanding abstract definitions and making positive attempts to enrich the research of this topic.

1. 引言

本文只考虑有限群，术语和符号参考文献[1] [2]。特别地，设${ℱ}_1$ 表示群G的所有极大子群所构成的集合；${ℱ}_2$ 表示群G的所有容许子群所构成的集合，S₄是4次对称群。

极大子群与容许子群的相关性质对研究有限群结构产生重要的影响，国内外许多学者都对相关课题进行了深入研究。例如，1967年，Wielandt [3]探讨了极大子群的正规性质对幂零群的影响。1996年，王燕鸣[4]证明了群G是可解的当且仅当G的每个极大子群是c-正规的。2014年，郭文彬等[5]利用容许子群的相关性质得到了正规子群E超循环嵌入的充分必要条件(进一步的研究可参考文献[6]-[8])。2018年，缪龙等[9]揭示了极大子群的边界因子与一类非可解群的联系。

从已有的文献中发现，对于具体的群，分析其极大子群与容许子群的情形和个数是很少的。因此，本文以S₄为研究对象，并计算其所有极大子群、容许子群以及个数。

2. 基本概念

定义1 [3]群G的子群M被称为极大子群，如果$M<G$ ，且当$M\le H\le G$ 时，有$M=H$ 或$H=G$ 。

定义2 [6]设$H<G$ ，如果H不能表示为群G的两个子群的真交，则称H为群G的容许子群。

引理2 [10]S₄总共具有30个子群：2个平凡子群，9个2阶循环子群，4个3阶循环子群，7个4阶子群，4个6阶子群，3个8阶子群，1个12阶子群。具体构造如下：

1阶子群：$N_1=\left\{\left(1\right)\right\}$ 。

2阶子群：$N_2=\langle (12)\rangle =\left\{\left(1\right),(12)\right\}$ ；

$N_3=\langle (13)\rangle =\left\{\left(1\right),(13)\right\}$ ；

$N_4=\langle (14)\rangle =\left\{\left(1\right),(14)\right\}$ ；

$N_5=\langle (23)\rangle =\left\{\left(1\right),(23)\right\}$ ；

$N_6=\langle (24)\rangle =\left\{\left(1\right),(24)\right\}$ ；

$N_7=\langle (34)\rangle =\left\{\left(1\right),(34)\right\}$ ；

$N_8=\langle (12)(34)\rangle =\left\{\left(1\right),(12)(34)\right\}$ ；

$N_9=\langle \left(13\right)\left(24\right)\rangle =\left\{\left(1\right),\left(13\right)\left(24\right)\right\}$ ；

$N_{10}=\langle (14)(23)\rangle =\left\{\left(1\right),(14)(23)\right\}$ 。

3阶子群：$N_{11}=\langle (123)\rangle =\left\{\left(1\right),(123),(132)\right\}$ ；

$N_{12}=\langle (124)\rangle =\left\{\left(1\right),(124),(142)\right\}$ ；

$N_{13}=\langle (134)\rangle =\left\{\left(1\right),(134),(143)\right\}$ ；

$N_{14}=\langle (234)\rangle =\left\{\left(1\right),(234),(243)\right\}$ 。

4阶子群：$N_{15}=\langle (1234)\rangle =\left\{\left(1\right),(1234),(13)(24),\left(1432\right)\right\}$ ；

$N_{16}=\langle (1324)\rangle =\left\{\left(1\right),(1324),(12)(34),\left(1423\right)\right\}$ ；

$N_{17}=\langle (1243)\rangle =\left\{\left(1\right),(1243),(14)\left(23\right),\left(1342\right)\right\}$ ；

$N_{18}=\left\{\left(1\right),(12),(34),(12)(34)\right\}$ ；

$N_{19}=\left\{\left(1\right),(13),(24),(13)(24)\right\}$ ；

$N_{20}=\left\{\left(1\right),(14),(23),(14)(23)\right\}$ ；

$N_{21}=\left\{\left(1\right),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\right\}=K_4$ 。

6阶子群：$N_{22}=\left\{\left(1\right),(12),(13),(23),\left(132\right),\left(123\right)\right\}$ ；

$N_{23}=\left\{\left(1\right),(12),(14),(24),\left(124\right),\left(142\right)\right\}$ ；

$N_{24}=\left\{\left(1\right),(13),(14),(34),\left(143\right),\left(134\right)\right\}$ ；

$N_{25}=\left\{\left(1\right),\left(23\right),\left(24\right),\left(34\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}$ 。

8阶子群：$N_{26}=\left\{\left(1\right),(12),(34),(12)(34),(13)(24),(14)(23),\left(1324\right),\left(1423\right)\right\}$ ；

$N_{27}=\left\{\left(1\right),(13),(24),(13)(24),(12)(34),(14)(23),\left(1234\right),\left(1432\right)\right\}$ ；

$N_{28}=\left\{\left(1\right),(14),(23),(12)(34),(13)(24),(14)(23),\left(1243\right),\left(1342\right)\right\}$ 。

12阶子群：

$N_{29}=\left\{\left(1\right),\left(123\right),\left(124\right),\left(132\right),\left(134\right),\left(142\right),\left(143\right),\left(234\right),\left(243\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}=A_4$ ；

24阶子群：S₄。

3. 主要结果

结论1 S₃有4个极大子群和4个容许子群：

${ℱ}_1=\left\{\langle \left(12\right)\rangle ,\langle \left(13\right)\rangle ,\langle \left(23\right)\rangle ,\langle \left(123\right)\rangle \right\}$ ；${ℱ}_2=\left\{\langle \left(12\right)\rangle ,\langle \left(13\right)\rangle ,\langle \left(23\right)\rangle ,\langle \left(123\right)\rangle \right\}$ 。

证明：由于$\left|S_3\right|=6$ ，定义1-2以及S₃的结构(引理2的$N_{22}\cong S_3$ )，S₃的极大子群分别为2阶子群与3阶子群，进而有${ℱ}_1=\left\{\langle \left(12\right)\rangle ,\langle \left(13\right)\rangle ,\langle \left(23\right)\rangle ,\langle \left(123\right)\rangle \right\}$ 。显然，S₃的极大子群均不能表示为两个子群的真交，故其极大子群均为容许子群。根据S₃的子群类型，${ℱ}_2=\left\{\langle \left(12\right)\rangle ,\langle \left(13\right)\rangle ,\langle \left(23\right)\rangle ,\langle \left(123\right)\rangle \right\}$ 。

结论2 S₄有8个极大子群和14个容许子群：

${ℱ}_1=\left\{N_{22},N_{23},N_{24},N_{25},N_{26},N_{27},N_{28},N_{29}\right\}$ ；

${ℱ}_2=\left\{N_{15},N_{16},N_{17},N_{18},N_{19},N_{20},N_{22},N_{23},N_{24},N_{25},N_{26},N_{27},N_{28},N_{29}\right\}$ 。

证明：由于定义1和引理2，S₄的极大子群分别为$N_{22},N_{23},N_{24},N_{25},N_{26},N_{27},N_{28},N_{29}$ ，进而有${ℱ}_1=\left\{N_{22},N_{23},N_{24},N_{25},N_{26},N_{27},N_{28},N_{29}\right\}$ 。又由于S₄的极大子群均不能表示为两个子群的真交，故其极大子群均为容许子群，即${ℱ}_1\subseteq {ℱ}_2$ 。除此以外，利用容许子群的定义，我们对非极大的子群逐一验证：

2阶子群：$N_2=N_{18}\cap N_{22}$ ，$N_3=N_{19}\cap N_{22}$ ，$N_4=N_{20}\cap N_{23}$ ，$N_5=N_{20}\cap N_{25}$ ，$N_6=N_{19}\cap N_{23}$ ，$N_7=N_{18}\cap N_{25}$ ，$N_8=N_{18}\cap N_{21}$ ，$N_9=N_{19}\cap N_{21}$ ，$N_{10}=N_{20}\cap N_{21}$ 。故2阶子群均不是容许子群；

3阶子群：$N_{11}=N_{22}\cap N_{29}$ ，$N_{12}=N_{23}\cap N_{29}$ ，$N_{13}=N_{24}\cap N_{29}$ ，$N_{14}=N_{25}\cap N_{29}$ 。故3阶子群均不是容许子群；

4阶子群：$N_{15},N_{16},N_{17},N_{18},N_{19},N_{20}$ 均不能表示为S₄的两个子群的真交，故$N_{15},N_{16},N_{17},N_{18},N_{19},N_{20}$ 为S₄的容许子群。

综上所述，${ℱ}_2=\left\{N_{15},N_{16},N_{17},N_{18},N_{19},N_{20},N_{22},N_{23},N_{24},N_{25},N_{26},N_{27},N_{28},N_{29}\right\}$ 。

4. 结束语

本文完全确定了对称群S₃与S₄的集合${ℱ}_1$ 和${ℱ}_2$ 以及个数(S₃中，$\left|{ℱ}_1\right|=\left|{ℱ}_2\right|=4$ ，$\left|{ℱ}_1\right|-\left|{ℱ}_2\right|=0$ 。S₄中，$\left|{ℱ}_1\right|=8$ , $\left|{ℱ}_2\right|=14$ , $\left|{ℱ}_1\right|+6=\left|{ℱ}_2\right|$ )。这些结果为研究${ℱ}_1$ 和${ℱ}_2$ 的相关课题(特别是，数量关系的问题)提供了参考。

基金项目

四川省自然科学基金项目(2022NSFSC1843)。