二维超粘Couette流方程的Sobolev稳定性

The Sobolev Stability of 2D Hyperviscosity Equations for Couette Flow

摘要: 近年来，等离子体场方面的突破激发了流体力学中非线性无粘阻尼的研究，并且已有证明针对Gevrey类扰动的Couette流周围的二维欧拉方程的非线性无粘阻尼是成立的。在此基础上，本文研究了分数阶二维超粘性方程在Sobolev空间中Couette流的渐近稳定性和增强耗散性，通过线性化的方式得到了该方程具有无粘阻尼和增强耗散，并且通过构造适合的权重进行Bootstrap论证，发现了如果Couette流有充分小的扰动，由于混合增强耗散效应，解在时间充分大时收敛。因此，得出结论：具有初值的二维超粘性方程的稳定性阈值不比某定值差。

Abstract: In recent years, breakthroughs in plasma fields have stimulated the study of nonlinear inviscous damping in fluid mechanics, and it has been demonstrated that the nonlinear inviscous damping of the two-dimensional Euler equation around the Couette flow of Gevrey-class perturbations is true. In this paper, on this basis, the asymptotic stability and enhanced dissipation of the fractional-order two-dimensional hyperviscosity equation for Couette flow in the Sobolev space are studied, and the equation has inviscid damping and enhanced dissipation by linearization, and the Bootstrap argument by constructing suitable weights shows that if the Couette flow has a sufficiently small perturbation, the solution converges when the time is sufficiently large due to the mixed-enhanced dissipation effect. Therefore, it is concluded that the stability threshold of a two-dimensional hyperviscosity equation with an initial value is not worse than that of a certain fixed value.

1. 引言

本文主要考虑二维超粘性方程：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t\tilde{v}+\tilde{v}\cdot \nabla \tilde{v}=-\nabla P-\nu {\left(-\Delta \right)}^{\alpha }\tilde{v},\\ \nabla \cdot \tilde{v}=0,\tilde{v}\left(t=0\right)={\tilde{v}}_{in},\end{array}$ (1)

在区域$\Omega =\left\{\left(x,y\right)=T\times R\right\}$ 中，其中$\nu$ 表示运动粘度系数，$\tilde{v}=\left({\tilde{v}}^x,{\tilde{v}}^y\right)$ 是流体速度，P是压力，T的周期间隔为$2\pi$ ，$1<\alpha <2$ 。$U\left(y\right)=y$ 是Couette流。

Lions [1]提出了通过添加人工超粘性的方法来进行正则化，将超粘性$\left(-\Delta \right){}^{\frac{l}{2}},l>2$ 添加到Navier-Stokes系统中，证明了解的存在性。Lions [2]还证明了对所有的$l>0$ ，如果$l\ge \frac{d+2}{4}$ (其中d是空间维度)，则修正的N-S方程的弱解有存在唯一性。近年来，Mouhot和Villani [3]在等离子体场方面的突破激发了流体力学中非线性无粘阻尼的研究。Bedrossian和Masmoudi [4]证明了针对Gevrey类扰动的Couette流$\left(y,0\right)$ 周围的二维欧拉方程的非线性无粘阻尼。此外，Bedrossian等人[5]证明了非线性无粘阻尼也是成立的，并且还表明二维Navier-Stokes方程满足增强耗散。然而，Lin和Zeng [6]构建了$H_s$ 中扰动很小且$s<\frac{3}{2}$ 的示例，但非线性无粘阻尼不成立，因此Lin和Zeng的工作揭示了弱拓扑中的小扰动不会发生非线性无粘阻尼。此外，Deng和Masmoudi [7]表明，当扰动不如二维Gevrey空间平滑时，非线性无粘阻尼不成立。对于二维高粘方程的稳定性，Luo [8]证明了在扰动足够小时也满足增强耗散。Bian和Pu [9]考虑了高雷诺数下Navier-Stokes方程的二维剪切流的稳定性，证明了当剪切流在Sobolev范数中接近Couette流。此外，Bian和Pu [10]还考虑了Boussinesq系统在$T\times R$ 域中剪切流的非线性稳定性，证明了Sobolev空间剪切流的非线性稳定性。

将初值${\tilde{v}}_{in}$ 看作$\left(U\left(y\right),0\right)$ 的小扰动，则：

${\tilde{v}}_{in}=\left(U\left(y\right),0\right)+v_{in}.$ (2)

首先，我们寻找到方程(1)的解$\tilde{v}$ ，将$\tilde{v}$ 当作Couette流$U\left(y\right)=y$ 的扰动(其中$v_{in}$ 在方程(2)中很小)。将解定义为：

$\tilde{v}\left(t,x,y\right)=\left(y,0\right)+v\left(t,x,y\right).$

由(1)可知，Couette流周围的扰动超粘方程的涡度形式为：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t\omega +y{\partial }_x\omega +v\cdot \nabla \omega =-\nu {\left(-\Delta \right)}^{\alpha }\omega ,\\ \Delta \psi =\omega ,\\ v={\nabla }^{\perp }\psi ,\\ \omega \left(t=0\right)={\omega }_{in}.\end{array}$ (3)

2. 主要结果的陈述

本文的主要目的是研究在$1<\alpha <2$ 时，Sobolev空间中Couette流的渐近稳定性和增强耗散。当$U\left(y\right)=y$ 时，根据文章第三部分的证明有定理2.1成立。

定理2.1 若${\Vert {\omega }_{in}\Vert }_{H^s}=ϵ\ll {\nu }^{\frac{1}{2}}$ ，其中$0<\nu \le 1$ ，$s>1$ ，则方程(1)在时间上的唯一整体解满足：

${\Vert {\omega }_0\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}+{\nu }^{\frac{1}{2}}{\Vert \Delta {\omega }_0\Vert }_{L^2{H}^s}\lesssim ϵ,$ (4a)

${\Vert \omega \circ \left(x+ty,y\right)\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}\lesssim ϵ,$ (4b)

并且有增强的耗散估计：

${\Vert {\omega }_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}\lesssim ϵv^{-\frac{1}{2\left(2\alpha +1\right)}}.$ (5)

其中，${\omega }_0$ 表示$\omega$ 关于x的零傅里叶模上的投影，而${\omega }_{\ne }$ 表示关于x的非零傅里叶模上的投影；非零频率投影用$f_{\ne }=f-f_0$ 表示(本文的其他记号将在下一节给出)。

在3D实验和计算机模拟中，非线性不稳定性通常在雷诺数低于线性理论预测值时观察到，这通常称为亚临界转变[11]。在应用数学和物理文献中[12] [13]，$\gamma$ 有时被称为转捩阈值。如果$\gamma$ 满足：${\Vert {\omega }_{in}\Vert }_N\lesssim {\nu }^{\gamma }$ ，则解稳定；${\Vert {\omega }_{in}\Vert }_N\gtrsim {\nu }^{\gamma }$ ，则解不稳定。其中${\Vert \cdot \Vert }_N$ 是范数，其中$\gamma$ 的最小值预计非平凡地依赖于范数${\Vert \cdot \Vert }_N$ 。然而，对于2D Couette流，对于足够平滑的初始扰动，Couette流在高雷诺数下均匀稳定，并且不存在亚临界转变。早些时候表明[14]，对于这种足够平滑的Gevrey扰动，对于2D Euler方程，当$v=0$ 时，Couette流也是非线性稳定的(在适当的意义上)。

无粘阻尼之所以被称为无粘阻尼，是因为它与等离子体物理中的朗道阻尼之间的关系[15]，从物理上讲，Couette流的快速混合是在时间上将信息线性地发送到高频，以相应的速率增强粘性阻尼。这种混合增强耗散效应或相关机制已经在许多线性方程上得到了研究。增强耗散效应在现代文献中也称为“剪切扩散机制”，其在物理文献中得到了广泛的研究[14] [16] [17]。最近，增强耗散受到了数学界的广泛关注。

文中最具挑战性的问题是坐标变换后的非线性项的复杂性。此外，我们需要用双拉普拉斯项来控制非线性项的低频部分，它比低频的拉普拉斯项要小。在本文中需要通过分数阶拉普拉斯项来控制非线性项的低频部分。其次，在能量论证过程中，

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left({\partial }_{\text{z}}{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{\partial }_v{f}_0\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}$

不能由

${\Vert \sqrt{\dot{M}M}f\Vert }_{L^2{H}^s}{\Vert {\partial }_{vv}{f}_0\Vert }_{L^2{H}^s}{\Vert f\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}$

控制。因此，我们必须分别考虑低频和高频。

本文的结构如下：在第3部分中，证明方程(3)的线性化方程的无粘阻尼和增强耗散；在第4部分中，证明定理2.1。

符号和预备知识

1) 对于函数f、g，当存在常数$C>0$ 且$f\le Cg$ 时，用$f\lesssim g$ 表示(常数C与参数$v,t$ 无关)；

2) 对于某个足够接近0的通用常数${ϵ}_0$ ，当$f\le {ϵ}_{0}g$ 时，用$f\ll g$ 表示(常数${ϵ}_0$ 与参数$v,t$ 无关)；

3) 对于给定的标量或向量v，定义$\langle v\rangle ={\left(1+{\left|v\right|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$ ；

4) 函数的x (或z)平均值表示为$\langle f\rangle =\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{T}f\left(x,y\right)\text{d}x}=f_0$ ；

5) 用${\Vert h\Vert }_{L^q{L}^p}={\Vert h\Vert }_{L_t^q{L}_{x,y}^p}$ 表示${\Vert h\Vert }_{L^q{L}^p}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|h\right|}^p\text{d}x\text{d}y}\right)}^{\frac{p}{q}}\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{q}}$ (其中$p,q\in \left[1,\infty \right]$ 且$T>0$ )；

6) 记${\Vert h\left(t,x,y\right)\Vert }_{L^q{H}^s}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\Vert h\Vert }_{H^s}^q\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{q}}$ 为${\Vert h\Vert }_{{}^{{}_{L^q{H}^s}}}={\Vert h\Vert }_{L_t^q{H}_{x,y}^s}$ (其中$q\in \left[1,\infty \right]$ 且$s\ge 0$ )；

7) 用$\widehat{h}$ 表示h的傅里叶变换：

$\widehat{h}\left(k,\eta \right)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\iint }_{T\times R}{\text{e}}^{-i\left(xk+y\eta \right)}}h\left(x,y\right)\text{d}x\text{d}y.$

用k、l和$\eta$ 、$\xi$ 表示T方向变量z (或x)和R方向变量v (或y)的傅里叶变换。

8) 令$\chi \in C_0^{\infty }\left(R\right)$ 为递减函数：

$\chi \left(y\right):=\{\begin{array}{l}1,y\le \frac{1}{2},\\ 0,y>1.\end{array}$

定义较低频投影为：

$h_{<1}\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_R{\text{e}}^{iy\eta }\chi \left(\eta \right)\widehat{h}\left(\eta \right)\text{d}\eta };$

及高频投影为：

$h_{\ge 1}\left(y\right)=h-h_{<1}\left(y\right)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_R{\text{e}}^{iy\eta }\left(1-\chi \left(\eta \right)\right)\widehat{h}\left(\eta \right)\text{d}\eta }.$

3. 线性化问题

在讨论非线性问题之前，了解线性化问题非常重要。Navier-Stokes方程中围绕Couette流的线性化问题非常经典，可以追溯到1900年左右[18] [19]。近些年来，线性稳定性的研究也取得了很大的进展[14] [20]-[23]。

方程(3)的线性化方程为：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t\omega +y{\partial }_x\omega =-\nu {\left(-\Delta \right)}^{\alpha }\omega ,\\ \Delta \psi =\omega .\end{array}$ (6)

考虑坐标变换：

$x\mapsto z=x-ty,$

$y\mapsto v=y.$

在新坐标中定义：

$f\left(t,x,y\right)=\omega \left(t,z+ty,y\right)=\omega \left(t,x,y\right),$

$\varphi \left(t,z,y\right)=\psi \left(t,z+ty,y\right)=\psi \left(t,x,y\right).$

因此，式(6)可以改写为：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}f=-\nu {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\alpha }f,\\ {\Delta }_L\varphi =f,\\ {\Delta }_L={\partial }_{zz}+{\left({\partial }_y-t{\partial }_z\right)}^2.\end{array}$ (7)

由于$\widehat{{\partial }_z{f}_k}=ik\widehat{f_k}$ ，$\widehat{{\partial }_{y}f\left(\eta \right)}=i\eta \widehat{f\left(\eta \right)}$ ，所以方程(7)在傅里叶空间中的解由下式给出：

$\widehat{f}\left(t,k,\eta \right)={\widehat{f}}_{in}\left(k,\eta \right){\text{e}}^{-\nu {\displaystyle {\int }_0^t{\left(k^2+{\left|\eta -k\tau \right|}^2\right)}^{\alpha }\text{d}\tau }}.$

由$\omega$ 和f的关系，不难得到：

$\widehat{\omega }\left(t,x,y\right)={\widehat{\omega }}_{in}\left(k,\eta +kt\right){\text{e}}^{-\nu {\displaystyle {\int }_0^t{\left(k^2+{\left|\eta -k\left(\tau -t\right)\right|}^2\right)}^{\alpha }\text{d}\tau }}.$

令$F\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t{\left(k^2+{\left|\eta -k\left(\tau -t\right)\right|}^2\right)}^{\alpha }\text{d}\tau }$ ，$x=\tau -t,b=\frac{\eta }{k}$ ，则：

$F\left(t\right)=k^2{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1+{\left|\frac{\eta }{k}-\left(\tau -t\right)\right|}^2\right)}^{\alpha }\text{d}\tau }=k^2{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1+{\left(x-b\right)}^2\right)}^{\alpha }\text{d}x}\ge k^2{\displaystyle {\int }_0^t{\left[{\left(x-b\right)}^2\right]}^{\alpha }\text{d}x}.$

1) 当$b\le 0$ 时，${\left(x-b\right)}^2\ge x^2$ ，$F\left(t\right)\ge k^2{\displaystyle {\int }_0^t{x}^{2\alpha }\text{d}x}\ge \frac{k^2}{5}{t}^{2\alpha +1}$ ；

2) 当$b>0$ 时，① 当$t\le \frac{b}{2}$ 时，则$b-x\ge \frac{t}{2}$ ，${\left(x-b\right)}^2\ge \frac{t^2}{4}$ ，$F\left(x\right)\ge k^2{\displaystyle {\int }_0^t{\left(\frac{t^2}{4}\right)}^{\alpha }\text{d}x}\ge \frac{k^2}{16}{t}^{2\alpha +1}$ ；

② 当$\frac{b}{2}<t<b$ 时，$F\left(t\right)\ge k^2{\displaystyle {\int }_0^t{\left[{\left(x-b\right)}^2\right]}^{\alpha }\text{d}x}=\frac{k^2}{2\alpha +1}\left[b^{2\alpha +1}-{\left(b-t\right)}^{2\alpha +1}\right]$ ，

$\begin{array}{l}\because \frac{b}{2}<t<b\\ \therefore 0<b-t<\frac{b}{2}\\ \therefore {\left(b-t\right)}^{2\alpha +1}<\frac{b^{2\alpha +1}}{2^{2\alpha +1}}\\ \therefore b^{2\alpha +1}-{\left(b-t\right)}^{2\alpha +1}\ge \frac{2^{2\alpha +1}-1}{2^{2\alpha +1}}{b}^{2\alpha +1}>\frac{2^{2\alpha +1}-1}{2^{2\alpha +1}}{t}^{2\alpha +1}\\ \therefore F\left(t\right)\ge \frac{k^2}{2\alpha +1}\cdot \frac{2^{2\alpha +1}-1}{2^{2\alpha +1}}{t}^{2\alpha +1};\end{array}$

③ 当$t>b$ 时，

$\begin{array}{c}F\left(t\right)=\frac{1}{2\alpha +1}\left[{\left(t-b\right)}^{2\alpha +1}-{\left(-b\right)}^{2\alpha +1}\right]\\ =\frac{1}{2\alpha +1}\left\{{\left(t-b\right)}^{2\alpha +1}-{\left[{\left(-b\right)}^2\right]}^{\alpha }\left(-b\right)\right\}\\ =\frac{1}{2\alpha +1}\left[{\left(t-b\right)}^{2\alpha +1}+b^{2\alpha +1}\right]\\ \ge \frac{2}{2\alpha +1}{t}^{2\alpha +1}.\end{array}$

综上，对于某个通用常数$c>0$ ，有：

${\Vert {\omega }_{\ne }\left(t\right)\Vert }_{L^2}\lesssim {\Vert {\omega }_{in}\Vert }_{L^2}{\text{e}}^{-c\nu t^{2\alpha +1}}.$ (8)

特别地，对于任何非零整数k，有：

$\widehat{\psi }\left(t,k,\eta \right)=\frac{{\widehat{\omega }}_{in}\left(k,\eta +kt\right)}{k^2+{\eta }^2}{\text{e}}^{-\nu {\displaystyle {\int }_0^t{\left(k^2+{\left|\eta -k\left(\tau -t\right)\right|}^2\right)}^{\alpha }\text{d}\tau }}=\frac{1}{\left(k^2+{\eta }^2\right){\langle \eta +kt\rangle }^2}{\langle \eta +kt\rangle }^2{\widehat{\omega }}_{in}\left(k,\eta +kt\right){\text{e}}^{-\nu {\displaystyle {\int }_0^t{\left(k^2+{\left|\eta -k\left(\tau -t\right)\right|}^2\right)}^{\alpha }\text{d}\tau }},$ (9)

对于$\left(k^2+{\eta }^2\right){\langle \eta +kt\rangle }^2$ ，由于$k^2+{\eta }^2\ge 1$ ，故有：

$\left(k^2+{\eta }^2\right){\langle \eta +kt\rangle }^2\ge {\langle \eta +kt\rangle }^2=1+{\left|\eta +kt\right|}^2=1+k^2{\left|\frac{\eta }{k}+t\right|}^2$

1) 当$\frac{\eta }{k}\ge 0$ 时，$1+k^2{\left|\frac{\eta }{k}+t\right|}^2\ge t^2$ ；

2) 当$\frac{\eta }{k}<0$ 时，① 当$\left|\frac{\eta }{k}+t\right|<\left|\frac{2\eta }{k}\right|=-\frac{2\eta }{k}$ 时，则$\left|t\right|\le \left|\frac{\eta }{k}\right|+\left|t+\frac{\eta }{k}\right|<\left|\frac{3\eta }{k}\right|$ ，从而有$\left|kt\right|<\left|3\eta \right|$ ，故${\eta }^2\ge {\left|\frac{kt}{3}\right|}^2\ge \frac{k^2}{9}{t}^2\ge \frac{1}{9}{t}^2$ ；

② 当$\left|\frac{\eta }{k}+t\right|>\left|\frac{2\eta }{k}\right|$ 时，则$t>\left|\frac{3\eta }{k}\right|$ ，$t+\frac{\eta }{k}>-\frac{2\eta }{k}$ ，故$t+\frac{\eta }{k}>\frac{2}{3}t$ ，从而有$\left|\eta +k\right|\ge \left|\frac{2}{3}kt\right|=\frac{2}{3}\left|kt\right|>\frac{2}{3}\left|t\right|$ ；

综上，有：

$\left(k^2+{\eta }^2\right){\langle \eta +kt\rangle }^2\gtrsim t^2,$ (10)

结合式(8)~(10)有：

${\Vert {\psi }_{\ne }\left(t\right)\Vert }_{L^2}\lesssim \frac{1}{t^2}{\Vert {\omega }_{in}\Vert }_{H^2}{\text{e}}^{-c\nu t^{2\alpha +1}}.$ (11)

通过类似的论证可以得到：

${\Vert {\partial }_x{\psi }_{\ne 0}\left(t\right)\Vert }_{L^2}+{\langle t\rangle }^{-1}{\Vert {\partial }_y{\psi }_{\ne 0}\left(t\right)\Vert }_{L^2}\lesssim \frac{1}{t^2}{\Vert {\omega }_{in}\Vert }_{H^2}{\text{e}}^{-c\nu t^{2\alpha +1}},$ (12)

这意味着具有无粘阻尼和增强耗散。

4. 定理2.1的证明

应用与线性化问题相同的坐标变换：

$f\left(t,x,y\right)=\omega \left(t,z+ty,y\right)=\omega \left(t,x,y\right),$

$\varphi \left(t,z,y\right)=\psi \left(t,z+ty,y\right)=\psi \left(t,x,y\right),$

则方程(3)可写成：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}f+u\cdot {\nabla }_{L}f=-\nu {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\alpha }f,\\ u=-{\nabla }_L^{\perp }{\left(-{\Delta }_L\right)}^{-1}f,\\ {\Delta }_L\varphi =f,\\ {\Delta }_L={\partial }_{zz}+{\left({\partial }_y-t{\partial }_z\right)}^2.\end{array}$ (13)

4.1. 权重的构造

本文需要构造一个具有以下性质的傅里叶乘子：

$M\left(0,k,\eta \right)=M\left(t,0,\eta \right)=1,$ (14a)

$c\le M\left(t,k,\eta \right)\le 1,$ (14b)

对于$k\ne 0$ ，

$-\frac{\dot{M}}{M}\ge \frac{\left|k\right|}{k^2+{\left|\eta -kt\right|}^2},$ (14c)

对于$k\ne 0$ ，在$\eta$ 中一致有：

$\left|\frac{{\partial }_{\eta }M\left(k,\eta \right)}{M\left(k,\eta \right)}\right|\lesssim \frac{1}{\left|k\right|},$ (14d)

对于$k\ne 0$ ，

(14e)

$\sqrt{-\dot{M}M\left(t,k,\eta \right)}\lesssim \langle \eta -\xi \rangle \sqrt{-\dot{M}M\left(t,k,\eta \right)},$ (14f)

其中，常数$c\in \left(0,1\right)$ 与$\nu$ 无关。下证存在满足条件(12a)~(12f)的乘子M。

引理3.1 对于某个常数$0<c<1$ ，存在满足条件(12a)~(12f)的乘子M。

证明：首先构造乘子M₁和M₂，使得都满足(12a)。接下来定义$k\ne 0$ 的M₁和M₂，定义$k\ne 0$ 的M₁：

$-\frac{{\dot{M}}_1}{M_1}=\frac{\left|k\right|}{k^2+{\left|\eta -kt\right|}^2},$

$M_1\left(0,k,\eta \right)=1.$

易证M₁对于(12b)、(12c)、(12d)和(12f)成立[8]。定义$k\ne 0$ 时的M₂：

$-\frac{{\dot{M}}_2}{M_2}=\frac{{\nu }^{\frac{1}{2\alpha +1}}}{1+{\left({\nu }^{\frac{1}{2\alpha +1}}\left|\frac{\eta }{k}-t\right|\right)}^2},$

$M_2\left(0,k,\eta \right)=1.$

与M₁类似，我们可以验证(12b)、(12d)和(12f)对于M₂成立。对于$k\ne 0$ ，当$\left|t-\frac{\eta }{k}\right|\ge {\nu }^{-\frac{1}{2\alpha +1}}$ 时，；当$\left|t-\frac{\eta }{k}\right|\le {\nu }^{-\frac{1}{2\alpha +1}}$ 时，。从而当$\left|t-\frac{\eta }{k}\right|\ge {\nu }^{-\frac{1}{2\alpha +1}}$ 时，有：

当$\left|t-\frac{\eta }{k}\right|\le {\nu }^{-\frac{1}{2\alpha +1}}$ 时，有：

$\begin{array}{c}{\nu }^{-\frac{1}{2\left(2\alpha +1\right)}}\sqrt{-{\dot{M}}_2{M}_2}={\nu }^{-\frac{1}{2\left(2\alpha +1\right)}}\sqrt{-\frac{{\dot{M}}_2}{M_2}{M}_2^2}\\ ={\nu }^{-\frac{1}{2\left(2\alpha +1\right)}}\sqrt{\frac{{\nu }^{\frac{1}{2\alpha +1}}}{1+{\left({\nu }^{\frac{1}{2\alpha +1}}\left|\frac{\eta }{k}-t\right|\right)}^2}{M}_2^2}\\ \gtrsim {\nu }^{-\frac{1}{2\left(2\alpha +1\right)}}{\nu }^{\frac{1}{2\left(2\alpha +1\right)}}\sqrt{M_2^2}\\ \gtrsim c.\end{array}$

因此，M₂满足不等式(12e)。令$M=M_1{M}_2$ ，则M满足(12a)和(12b)。结合不等式：

$-\frac{\stackrel{\cdot }{\left(M_1{M}_2\right)}}{M_1{M}_2}>-\frac{{\dot{M}}_1}{M_2},$

和

$\sqrt{-\stackrel{\cdot }{\left(M_1{M}_2\right)}\left(M_1{M}_2\right)}>\sqrt{-{\dot{M}}_2{M}_2}.$

则M₂满足所有条件(12c)~(12f)，从而完成证明。

定义$A=M{\langle |\nabla |\rangle }^s$ ，根据Plancherel不等式和(12b)，我们有：

${\Vert f\Vert }_{H^s}\lesssim {\Vert A\left(t\right)f\Vert }_{L^2}\le {\Vert f\Vert }_{H^s}$

和${\Vert A\left(0\right)f\Vert }_2={\Vert f\Vert }_{H^s}$ 成立。

4.2. Bootstrap论证

Bootstrap论证是证明非线性方程正则性的方法之一，总体思路如下所述。假设u是任意一类非线性方程的解。作为非线性方程的解，它也是系数取决于u的线性方程的解。通常，这是方程的某种形式的线性化。如果u的先验估计是已知的，那么这提供了关于u满足的线性方程的系数的一些假设。线性方程反过来可以为解u提供新的正则性估计。如果这个正则性估计比原始的先验估计更强，那么我们可以重新开始并重复这个过程，以获得越来越好的正则性估计。

在本文中首先，式(11)的局部适定性是标准的，对于足够小的$t^{\ast }$ ，有：

${\Vert Af\Vert }_{L^{\infty }\left(0,t;L^2\right)}+{\nu }^{\frac{1}{2}}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2\left(0,t;L^2\right)}+{\Vert \sqrt{-\dot{M}M}{\langle |\nabla |\rangle }^{s}f\Vert }_{L^2\left(0,t;L^2\right)}<2ϵ,$

并且上式左侧的所有量在时间上都是连续的。设T($T\le \infty$ )为使得

${\Vert Af\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\right)}+{\nu }^{\frac{1}{2}}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\right)}+{\Vert \sqrt{-\dot{M}M}{\langle |\nabla |\rangle }^{s}f\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\right)}<8ϵ$ (15)

成立的最大时间。由以上讨论可知，$T>t^{\ast }$ 。将式(15)称为引导假设。接下来，证明不等式(15)对于常数$4ϵ$ 也成立。

命题3.1 对于所有的$s>1$ 且$ϵ$ 足够小(仅取决于s)，在引导假设下，我们有：

因此，根据连续性论证，$T=\infty$ 。

证明：首先，直接计算得到：

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert Af\left(t\right)\Vert }_{L^2}^2+\nu {\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\left(t\right)\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\right)}^2+{\Vert \sqrt{-\dot{M}M}{\langle |\nabla |\rangle }^{s}f\left(t\right)\Vert }_{L^2}^2=-{\displaystyle \int A\left(u\left(t\right)\cdot {\nabla }_{L}f\left(t\right)\right)Af\left(t\right)\text{d}z\text{d}v}.$

在区间$\left[0,T\right]$ 上对上述等式进行时间积分，得到：

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}{\Vert Af\left(T\right)\Vert }_{L^2}^2+\nu {\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\left(t\right)\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\right)}^2+{\Vert \sqrt{-\dot{M}M}{\langle |\nabla |\rangle }^{s}f\left(t\right)\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\right)}^2\\ =\frac{1}{2}{\Vert Af\left(0\right)\Vert }_{L^2}^2-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u\left(t\right)\cdot {\nabla }_{L}f\left(t\right)\right)}Af\left(t\right)\text{d}z\text{d}v\text{d}t}\\ =\frac{1}{2}{\Vert Af\left(0\right)\Vert }_{L^2}^2-\mathcal{T},\end{array}$

其中，$\mathcal{T}={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u\left(t\right)\cdot {\nabla }_{L}f\left(t\right)\right)Af\left(t\right)\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}$ 。将速度u分为零频和非零频部分，则：

$\mathcal{T}={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_0^z\cdot {\nabla }_{L}f\right)Af\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_{L}f\right)Af\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}={\mathcal{T}}_0+{\mathcal{T}}_{\ne }.$ (16)

项${\mathcal{T}}_{\ne }$ 可分为：

${\mathcal{T}}_{\ne }={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_0\right)Af\text{d}z\text{d}v\text{d}t}+}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_{\ne }\right)Af\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}={\mathcal{T}}_{\ne 0}+{\mathcal{T}}_{\ne \ne }.$

对于项${\mathcal{T}}_{\ne \ne }$ ，可以通过$H^s$ 代数性质和Hölder不等式得到：

$\begin{array}{c}\left|{\mathcal{T}}_{\ne \ne }\right|=\left|{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_{\ne }\right)Af\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\right|\\ \le {{\displaystyle {\int }_0^T\Vert A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_{\ne }\right)\Vert }}_{L^2\left(z,v\right)}{\Vert Af\Vert }_{L^2\left(z,v\right)}\text{d}t\\ \lesssim {{\displaystyle {\int }_0^T\Vert u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_{\ne }\Vert }}_{H^s}{\Vert Af\Vert }_{L^2\left(z,v\right)}\text{d}t\\ \lesssim {{\displaystyle {\int }_0^T\Vert {\nabla }_L^{\perp }{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\Vert }}_{H^s}{\Vert {\nabla }_L{f}_{\ne }\Vert }_{H^s}{\Vert Af\Vert }_{L^2\left(z,v\right)}\text{d}t\\ \lesssim {\Vert {\nabla }_L^{\perp }{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\Vert }_{L_t^2{H}^s}{\Vert {\nabla }_L{f}_{\ne }\Vert }_{L_t^2{H}^s}{\Vert Af\Vert }_{L_{{}^t}^{\infty }{L}^2\left(z,v\right)}.\end{array}$

由于

${\Vert {\nabla }_L{f}_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}^2={\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\nabla }_L{f}_{\ne }\Vert }_{H^s}^2\text{d}t}={\displaystyle \sum _{k\ne 0}{\displaystyle {\int }_0^T{\left(1+k^2+{\eta }^2\right)}^s}}\left[k^2+{\left(\eta -kt\right)}^2\right]\widehat{f}\text{d}\eta \text{d}t,$

$\begin{array}{c}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}^2\gtrsim {\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}f\Vert }_{L^2{H}^s}^2\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}f\Vert }_{H^s}^2\text{d}t}\\ ={\displaystyle \sum {\displaystyle {\int }_0^T{\left(1+k^2+{\eta }^2\right)}^s}}{\left[k^2+{\left(\eta -kt\right)}^2\right]}^{\alpha }\widehat{f}\text{d}\eta \text{d}t.\end{array}$

因为$f_{\ne }$ 只包含$\left|k\right|\ge 1$ ，故$k^2+{\left(\eta -kt\right)}^2\ge 1$ ，又因为$1<\alpha <2$ ，所以$k^2+{\left(\eta -kt\right)}^2\le {\left[k^2+{\left(\eta -kt\right)}^2\right]}^{\alpha }$ ，从而有${\Vert {\nabla }_L{f}_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}\lesssim {\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}$ 。结合M的性质(14b)和(14c)，有：

$\begin{array}{c}{\Vert {\nabla }_L^{\perp }{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\Vert }_{L_t^2{H}^s}\lesssim {\Vert \frac{1}{\sqrt{k^2+{\left|\eta -kt\right|}^2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}\\ ={\Vert \frac{M{\langle |\nabla |\rangle }^s}{\sqrt{k^2+{\left|\eta -kt\right|}^2}}f\Vert }_{L^2{L}^2}\\ \le {\Vert \sqrt{-\frac{\dot{M}}{M}}M{\langle |\nabla |\rangle }^{s}f\Vert }_{L^2{L}^2}\\ \le {\Vert \sqrt{-\dot{M}M}{\langle |\nabla |\rangle }^{s}f\Vert }_{L^2{L}^2}.\end{array}$

结合式(15)，从而有：

$\left|{\mathcal{T}}_{\ne \ne }\right|\lesssim {\Vert \sqrt{-\dot{M}M}{\langle |\nabla |\rangle }^{s}f\left(t\right)\Vert }_{L^2{L}^2}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}{\Vert Af\Vert }_{L^{\infty }{L}^2}\lesssim ϵ{\nu }^{-\frac{1}{2}}.$ (17)

对于项${\mathcal{T}}_{\ne 0}$ ，有：

$\begin{array}{c}{\mathcal{T}}_{\ne 0}={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_0\right)Af\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_0\right)A{f}_0\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_0\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\\ ={\mathcal{T}}_{\ne 00}+{\mathcal{T}}_{\ne 0\ne }.\end{array}$

由于$f_0$ 与z无关，根据Plancherel定理，有：

$\begin{array}{c}{\mathcal{T}}_{\ne 00}={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_0\right)A{f}_0\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{\partial }_v{f}_0\right)A{f}_0\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\\ =0.\end{array}$ (18)

对于项${\mathcal{T}}_{\ne 0\ne }$ ，有：

$\begin{array}{c}{\mathcal{T}}_{\ne 0\ne }={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left(u_{\ne }\cdot {\nabla }_L{f}_0\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\left({{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|\ge 1}+{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|<1}\right)\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|\ge 1}\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|<1}\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\\ ={\mathcal{T}}_{\ne 0\ne H}+{\mathcal{T}}_{\ne 0\ne L}.\end{array}$ (19)

因为

${\Vert {{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|\ge 1}\Vert }_{H^s}^2={\displaystyle \int {\left(1+{\eta }^2\right)}^s}{\eta }^2{\left|\widehat{f}\left(0,\eta \right)\right|}^2\text{d}\eta ,$

${\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}f\Vert }_{L^2{H}^s}^2={\displaystyle \sum {\displaystyle \iint {\left(1+k^2+{\eta }^2\right)}^s}}{\left[k^2+{\left(\eta -kt\right)}^2\right]}^{\alpha }\left|\widehat{f}\right|\text{d}\eta \text{d}t.$

所以${\Vert {{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|\ge 1}\Vert }_{H^s}^2$ 是${\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}f\Vert }_{L^2{H}^s}^2$ 的一项，故：

${\Vert {{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|\ge 1}\Vert }_{H^s}^2\le {\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}f\Vert }_{L^2{H}^s}^2\le {\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}^2.$

从而有：

$\begin{array}{c}\left|{\mathcal{T}}_{\ne 0\ne H}\right|=\left|{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|\ge 1}\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_0^T\left|{\displaystyle \int A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|\ge 1}\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v}\right|\text{d}t}\\ \le {{\displaystyle {\int }_0^T\Vert A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|\ge 1}\right)\Vert }}_{L^2\left(z,v\right)}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{L^2\left(z,v\right)}\text{d}t\\ \lesssim {{\displaystyle {\int }_0^T\Vert {\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\Vert }}_{H^s}{\Vert {{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|\ge 1}\Vert }_{H^s}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{L^2\left(z,v\right)}\text{d}t\\ \lesssim {{\displaystyle {\int }_0^T\Vert {\nabla }_L^{\perp }{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\Vert }}_{H^s}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{L^2\left(z,v\right)}\text{d}t\\ \lesssim {\Vert {\nabla }_L^{\perp }{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\Vert }_{L_t^2{H}^s}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}{\Vert Af\Vert }_{L^{\infty }{L}^2\left(z,v\right)}\\ \lesssim {\Vert \sqrt{-\dot{M}M}{\langle |\nabla |\rangle }^{s}f\left(t\right)\Vert }_{L^2{L}^2}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}{\Vert Af\Vert }_{L^{\infty }{L}^2}\\ \lesssim ϵ{\nu }^{-\frac{1}{2}}.\end{array}$ (20)

由于$\left|\eta \right|<1$ ，故${\Vert {A{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|<1}\Vert }_{L^{\infty }{L}^2}\lesssim {\Vert A{f}_0\Vert }_{L^{\infty }{L}^2}$ ，从而有：

$\begin{array}{c}\left|{\mathcal{T}}_{\ne 0\ne L}\right|=\left|{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|<1}\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v\text{d}t}}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_0^T\left|{\displaystyle \int A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|<1}\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v}\right|\text{d}t}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert A\left({\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|<1}\right)\Vert }_{L^2\left(z,v\right)}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{L^2\left(z,v\right)}\text{d}t}\\ \lesssim {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\Vert }_{H^s}{\Vert A{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|<1}\Vert }_{L^2}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}A{f}_{\ne }\Vert }_{L^2}\text{d}t}\\ \lesssim {\Vert {\partial }_z{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}{\Vert A{{\partial }_v{f}_0|}_{\left|\eta \right|<1}\Vert }_{L^{\infty }{L}^2}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}A{f}_{\ne }\Vert }_{L^2{L}^2}\\ \lesssim {\Vert {\nabla }_L^{\perp }{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}{\Vert A{f}_0\Vert }_{L^{\infty }{L}^2}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}\\ \lesssim {\Vert \sqrt{-\dot{M}M}{\langle |\nabla |\rangle }^{s}f\left(t\right)\Vert }_{L^2{L}^2}{\Vert Af\Vert }_{L^{\infty }{L}^2}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}Af\Vert }_{L^2{L}^2}\\ \lesssim ϵ{\nu }^{-\frac{1}{2}}.\end{array}$ (21)

估计零频部分，$f_0$ 与z无关，可以将${\mathcal{T}}_0$ 写成：

${\mathcal{T}}_0={\displaystyle \iint A\left(-{\partial }_v{\partial }_v^{-2}{f}_0{\partial }_{z}f\right)Af\text{d}z\text{d}v\text{d}t}={\displaystyle \iint A\left(-{\partial }_v{\partial }_v^{-2}{f}_0{\partial }_z{f}_{\ne }\right)Af\text{d}z\text{d}v\text{d}t}.$ (22)

根据Plancherel定理，有：

${\displaystyle \int A\left(-{\partial }_v{\partial }_v^{-2}{f}_0{\partial }_z{f}_{\ne }\right)A{f}_0\text{d}v\text{d}z}=0,$

类似于Euler交换子估计[24]，使用抵消后得到：

${\displaystyle \int {\partial }_v{\partial }_v^{-2}f{\partial }_{z}A{f}_{\ne }}A{f}_{\ne }=0.$

因此，得到：

${\mathcal{T}}_0={\displaystyle \iint \left(A\left(-{\partial }_v{\partial }_v^{-2}{f}_0{\partial }_z{f}_{\ne }\right)+{\partial }_v{\partial }_v^{-2}{f}_0{\partial }_{z}A{f}_{\ne }\right)A{f}_{\ne }\text{d}z\text{d}v\text{d}t}.$ (23)

根据Plancherel定理，有：

$-{\mathcal{T}}_0={\displaystyle \sum _{k\ne 0}{\displaystyle \iiint \left(A\left(k,\xi \right)-A\left(k,\xi -\eta \right)\right)}}\frac{\eta }{{\eta }^2}k\widehat{f}\left(0,\eta \right)\widehat{f}\left(k,\xi -\eta \right)A\left(k,\xi \right)\overline{\widehat{f}}\left(k,\xi \right)\text{d}\eta \text{d}\xi \text{d}t.$ (24)

将差值$A\left(k,\xi \right)-A\left(k,\xi -\eta \right)$ 分为两个交换子，一个由M引起，另一个由${\langle |\nabla |\rangle }^s$ 引起，则：

对于$ℐ$ ，根据中值定理，对某些$\theta \in \left[0,1\right]$ ，存在：

$\begin{array}{c}\left|ℐ\right|=\left|M\left(k,\xi \right)\frac{s}{2}{\left(1+k^2+{\left(\xi -\theta \eta \right)}^2\right)}^{\frac{s}{2}-1}2\left(\xi -\theta \eta \right)\eta \right|\\ \lesssim \left({\left(1+k^2+{\left(\xi -\eta \right)}^2\right)}^{\frac{s-1}{2}}+{\left(1+k^2+{\xi }^2\right)}^{\frac{s-1}{2}}\right)\left|\eta \right|.\end{array}$ (25)

对于$ℐℐ$ 部分，因为M满足(14d)，通过(14d)和中值定理，得到：

$\left|ℐℐ\right|\lesssim \frac{\left|\eta \right|}{\left|k\right|}{\left(1+k^2+{\left(\xi -\eta \right)}^2\right)}^{\frac{s}{2}}.$ (26)

将(24)、(25)和(26)相结合，得到：

对于项，有：

对于项$\mathcal{Q}$ ，有：

其中，

$\begin{array}{c}ℛ\lesssim {\displaystyle \sum _{k\ne 0}{\displaystyle \iiint {\left(1+k^2\right)}^{\frac{s}{2}}}}\left|\widehat{f}\left(0,\eta \right)\widehat{f}\left(k,\xi -\eta \right)\right|\left|A\overline{\widehat{f}}\left(k,\xi \right)\right|\text{d}\xi \text{d}\eta \text{d}t\\ +{\displaystyle \sum _{k\ne 0}{\displaystyle \iiint {\eta }^s}}\left|\widehat{f}\left(0,\eta \right)\widehat{f}\left(k,\xi -\eta \right)\right|\left|A\overline{\widehat{f}}\left(k,\xi \right)\right|\text{d}\xi \text{d}\eta \text{d}t\\ \lesssim {\displaystyle {\int }_0^T{\left({\displaystyle \sum _{k\ne 0}{\displaystyle \int {\left|\widehat{f}\left(k,\xi -\eta \right)\right|}^2{\left(1+k^2\right)}^{s}d\left(\xi -\eta \right){\displaystyle \int {\left|\widehat{f}\left(0,\eta \right)\right|}^2\text{d}\eta }}}\right)}^{\frac{1}{2}}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{H^s}}\text{d}t\\ +{\displaystyle {\int }_0^T{\left({\displaystyle \sum _{k\ne 0}{\displaystyle \int {\left|\widehat{f}\left(k,\xi -\eta \right)\right|}^{2}d\left(\xi -\eta \right){\displaystyle \int {\left|\eta \right|}^{2s}{\left|\widehat{f}\left(0,\eta \right)\right|}^2\text{d}\eta }}}\right)}^{\frac{1}{2}}}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{H^s}\text{d}t\\ ={{\displaystyle {\int }_0^T\Vert f_{\ne }\Vert }}_{H^s}{\Vert f_0\Vert }_{L^2}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{H^s}\text{d}t+{{\displaystyle {\int }_0^T\Vert f_{\ne }\Vert }}_{L^2}{\Vert f_0\Vert }_{H^s}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{H^s}\text{d}t\\ ={\Vert f_0\Vert }_{L^{\infty }{L}^2}{\Vert f_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}+{\Vert f_0\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}{\Vert f_{\ne }\Vert }_{L^2{L}^2}{\Vert A{f}_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}.\end{array}$

综上，故：

$\left|{\mathcal{T}}_0\right|\lesssim {\Vert f_0\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}{\Vert f_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}^2.$ (27)

对式(27)，通过(14e)和式(15)，可以得到：

$\begin{array}{c}\left|{\mathcal{T}}_0\right|\lesssim {\Vert f_0\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}{\Vert {\nu }^{-\frac{1}{2\left(2\alpha +1\right)}}\left(\sqrt{-\dot{M}M\left(t,k,\eta \right)}+{\nu }^{\frac{1}{2}}{\left[{\left|k,\eta -kt\right|}^2\right]}^{\frac{\alpha }{2}}\right)f_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}^2\\ \lesssim {\Vert f_0\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}{\nu }^{-\frac{1}{2\alpha +1}}{\left({\Vert \sqrt{-\dot{M}M}{\langle |\nabla |\rangle }^s{f}_{\ne }\Vert }_{L^2{L}^2}+{\nu }^{\frac{1}{2}}{\Vert {\left(-{\Delta }_L\right)}^{\frac{\alpha }{2}}A{f}_{\ne }\Vert }_{L^2{L}^2}\right)}^2\\ \lesssim {ϵ}^3{\nu }^{-\frac{1}{2\alpha +1}}.\end{array}$ (28)

由式(16)、(17)、(18)、(20)、(21)和(28)，命题3.1成立。因此，定理2.1成立。