1. 引言

变压器是电力系统中的重要设备，其绝缘性能直接影响着变压器的正常运行。由于大部分变压器常年裸露在外，故发生故障的机率一般较高。在变压器的故障类型中，绝缘故障是最为常见的一种情形。变压器一旦发生绝缘故障，会对电力系统的安全性和稳定性构成很大的威胁。有关数据表明，对变压器的运行状态进行监控和预测，不仅每年可降低25%~50%的维护和检测费用，而且变压器的利用率也可增加5%以上，因变压器事故造成的停电时间则可降低75%以上。因此，对变压器的绝缘故障进行有效预测显得非常必要[1]。

一般而言，变压器的绝缘故障通常不会直接表现出来，往往需要通过对相关数据进行分析与判定而得出，故利用数学模型对变压器的绝缘故障进行定量预测已成为一种常用手段。目前，国内外已有许多学者利用不同数学模型对变压器的绝缘故障进行预测，取得了较为丰富的研究成果。例如，文献[1]提出了一种基于遗传算法的变压器故障灰色预测改进模型；文献[2]提出了一种基于深度学习的变压器绝缘故障预测方法；文献[3]提出了一种深度降噪自编码神经网络变压器健康预测法；文献[4]通过对变电站油色谱在线数据的清洗和处理，建立了变压器故障数据识别系统，能够更好地区分变压器故障引起的数据异常变化；文献[5]介绍了变压器内部故障预测的方法，特别是对油中溶解气体浓度预测的性能进行了分析；文献[6]以变压器发生故障时总烃含量的真实数据为原始数列，利用建立的GM(1,1)模型进行仿真测试；文献[7]利用非等间隔GM(1,1)幂模型预测变压器故障气体；文献[8]对原有异常数据提前进行处理优化，再通过运用几种模型分别预测和分析了正常运行的变压器油中的几种气体浓度；文献[9]利用粒子群算法优化和改进了GMM(1,1)模型，设计了具有较高预测精度的GMM(r,1)变压器故障预测算法；文献[10]采用EMD方法处理变压器油中溶解特征气体浓度序列，减小了油中溶解气浓度的非线性和非平稳性对预测结果的影响，提高了预测模型的精度；文献[11]结合了灰色理论模型和BP神经网络，适用于新型的变压器故障预测。将变压器故障预测转化为对油中含量气体变化；文献[12]采用改进的灰色模型对油中气体变化进行预测；等等。

利用不同数学模型对变压器的绝缘故障进行预测各有优势，但有些数学模型的预测精度还可进一步提高。在预测模型中，灰色模型通过少量的、不完全的信息建立数学模型并作出预测，是一种常见的预测方法。若利用传统灰色模型对变压器的绝缘故障进行预测，其预测精度可能并不令人满意。为此，本文将考虑利用一种改进的灰色模型对变压器的绝缘故障进行预测，以期提高预测精度，为变压器的绝缘故障预测提供一种新选择。

2. 预备知识

2.1. 灰色模型的基本原理

灰色模型[5]是一种具有不完全信息和不确定性的非线性系统建模方法，其通过累减序列数据，利用数据的发展趋势和规律性，建立起一个灰色微分方程来描述系统的特性。在灰色模型中，GM(1,1)模型是最为常见的一种模型，基本步骤为：

Step1：设原序列

$X_0=\left(x_0\left(1\right),x_0\left(2\right),\cdots ,x_0\left(n\right)\right)$ (1)

其中，n是变量的样本数。

Step2：进行一阶累加处理，得

$X_1=\left(x_1\left(1\right),x_1\left(2\right),\cdots ,x_1\left(n\right)\right)$ (2)

式中，$x_1\left(k\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^k{x}_0\left(i\right)}$ ，$k=1,2,\cdots ,n$ 。

Step3：设$z_1\left(k\right)$ 是X₁的均值生成，表示背景值，$\mu$ 为权重系数，有

$z_1\left(k\right)=\mu x_1\left(k\right)+\left(1-\mu \right)x_1\left(k-1\right)$ , $k=1,2,\cdots ,n$ (3)

假定权重系数$\mu =0.5$ ，则

$z_1\left(k\right)=\frac{1}{2}\left(x_1\left(k\right)+x_1\left(k-1\right)\right)$ , $k=1,2,\cdots ,n$ (4)

Step4：GM(1,1)模型的基本形式可表示为

$x_0\left(k\right)+a{z}_1\left(k\right)=b$ (5)

其白化形式的微分方程为

$\frac{\text{d}{x}_1}{\text{d}t}+a{x}_1=b$ (6)

式中，a为发展灰数，反映x₁及原始数列x₀的发展趋势；b称为内生控制灰数，反映了数据间的变化。

Step5：设有参数系列

$\widehat{a}={\left[a,b\right]}^{\text{T}}$, $Y=\left[\begin{array}{c}{x}_0\left(2\right)\\ x_0\left(3\right)\\ ⋮\\ x_0\left(n\right)\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{cc}-z_1\left(2\right)& 1\\ -z_1\left(3\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z_1\left(n\right)& 1\end{array}\right]$ 。

将基本形式离散化后，有

$x_1\left(k\right)-x_1\left(k-1\right)+z_1\left(k\right)=b$ , $k=1,2,\cdots ,n$ (7)

则GM(1,1)的最小二乘估计参数为

$\widehat{a}={\left[a,b\right]}^{\text{T}}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}Y$

求解得到微分方程原微分方程的近似解为

${\widehat{x}}_1\left(k+1\right)=\left({\widehat{x}}_1\left(0\right)-b/a\right){\text{e}}^{-ak}+b/a$, $k=1,2,\cdots ,n,\cdots$ (8)

累减还原得

${\widehat{x}}_1\left(k+1\right)=\left(1-{\text{e}}^{-a}\right)\left({\widehat{x}}_1\left(0\right)-b/a\right){\text{e}}^{-ak}$, $k=1,2,\cdots ,n,\cdots$ (9)

且${\widehat{x}}_1\left(1\right)=x_0\left(1\right)$ 。于是，可得预测值序列为

${\widehat{X}}_0=\left({\widehat{x}}_0\left(1\right),{\widehat{x}}_0\left(2\right),\cdots ,{\widehat{x}}_0\left(n\right)\right)$

2.2. 一种改进的灰色模型

为提高灰色模型的预测精度和应用范围，学者提出了许多改进方法。其中，文献[13]针对传统GM(1,1)模型在背景值和初始值选择上的不足，提出利用自动寻优定权法选择背景值，并基于最小二乘法对初始值进行改进，以提高预测精度，其基本步骤为：

Step1：在式(3)中令$\mu =0$ ，并将其代入式(7)得

$X_1\left(k\right)-X_1\left(k-1\right)+a{X}_1\left(k-1\right)=b$ , $k=2,3,\cdots ,n$ (10)

Step2：利用最小二乘法解得

$\widehat{a}={\left(B_{\mu =0}^{\text{T}}{B}_{\mu =0}\right)}^{-1}{B}_{\mu =0}^{\text{T}}{Y}_n$ (11)

式中

$B_{\mu =0}=\left[\begin{array}{cc}-z_1\left(2\right)& 1\\ -z_1\left(3\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z_1\left(n\right)& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-X_1\left(1\right)& 1\\ -X_1\left(2\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -X_1\left(n-1\right)& 1\end{array}\right]$ (12)

根据小二乘法的原理，初始值的选取应该满足预测值与实际值的离差${\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left(X_0\left(k\right)-{\widehat{X}}_0\left(k\right)\right)}^2}$ 最小，累减得到原始序列的估计方程

${\widehat{X}}_0\left(k+1\right)={\widehat{X}}_1\left(k+1\right)-{\widehat{X}}_1\left(k\right)=c{\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-1}{\text{e}}^{-ak}$, $k=0,1,\cdots ,n-1$ (13)

令$C=c\left(1-{\text{e}}^a\right)$ ，将C分别代入式(9)与式(13)可得

${\widehat{X}}_1\left(k+1\right)=C{\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-1}{\text{e}}^{-ak}+\frac{b}{a}$, $k=0,1,\cdots ,n-1$ (14)

${\widehat{X}}_0\left(k+1\right)={\widehat{X}}_1\left(k+1\right)-{\widehat{X}}_1\left(k\right)=C{\text{e}}^{-ak}$, $k=0,1,\cdots ,n-1$ (15)

Step3：设$S={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left({\widehat{X}}_0\left(k\right)-X_0\left(k\right)\right)}^2}$ ，将其代入式(14)得

$S={\left[C{\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-1}+\frac{b}{a}-X_0\left(1\right)\right]}^2+{\displaystyle \sum _{k=2}^n{\left[C{\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}-X_0\left(k\right)\right]}^2}$ (16)

当$\frac{\text{d}S}{\text{d}C}=0$ 时，S取得最小值，即模型的预测精度最高。于是，解得

$C=\frac{\left[X_0\left(1\right)-\frac{b}{a}\right]{\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-1}+{\displaystyle \sum _{k=2}^n{X}_0\left(k\right){\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}}}{{\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-2}+{\displaystyle \sum _{k=2}^n{\text{e}}^{-2a\left(k-1\right)}}}$ (17)

Step4：将式(17)代入式(14)与(15)得

${\widehat{X}}_0\left(k+1\right)=\frac{\left(X_0-\frac{b}{a}\right){\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-1}+{\displaystyle \sum _{k=2}^n{X}_0\left(k\right){\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}}}{{\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-2}+{\displaystyle \sum _{k=2}^n{\text{e}}^{-2a\left(k-1\right)}}}{\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-1}{\text{e}}^{-ak}+\frac{b}{a}$, $k=0,1,\cdots ,n-1$ (18)

${\widehat{X}}_0\left(k+1\right)=\frac{\left(X_0-\frac{b}{a}\right){\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-1}+{\displaystyle \sum _{k=2}^n{X}_0\left(k\right){\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}}}{{\left(1-{\text{e}}^a\right)}^{-2}+{\displaystyle \sum _{k=2}^n{\text{e}}^{-2a\left(k-1\right)}}}{\text{e}}^{-ak}$, $k=0,1,\cdots ,n-1$ (19)

3. 变压器绝缘故障预测方法

利用灰色模型对变压器的绝缘故障进行预测大致可分为三个步骤：首先，对变压器油中溶解气体进行关联性分析，判别是否适合绝缘故障预测；然后，利用灰色模型对变压器油中溶解气体的浓度进行预测；最后，根据变压器油中溶解气体的浓度判别绝缘故障的类型。

3.1. 变压器油中溶解气体的关联性分析

在变压器发生故障时，变压器油中溶解出来的气体主要有氢气H₂、甲烷CH₄、乙烷C₂H₆、二氯乙烷C₂H₄、乙炔C₂H₂ [3]。由于这五种气体之间存在关系，而且互相有影响，因此需对不同气体浓度进行关联度分析，以判别是否适合绝缘故障的预测[12]。设变压器油中溶解气体含量数据序列为：

$\{\begin{array}{l}{X}_0=\left(x_0\left(1\right),x_0\left(2\right),\cdots ,x_0\left(n\right)\right)\\ X_1=\left(x_1\left(1\right),x_1\left(2\right),\cdots ,x_1\left(n\right)\right)\\ ⋮\\ X_m=\left(x_m\left(1\right),x_m\left(2\right),\cdots ,x_m\left(n\right)\right)\end{array}$ (20)

通过灰关联度分析可以明确各个变量之间的关系，将$X_0,X_1,\cdots ,X_m$ 依次作为关联度分析的母序列$x_0\left(k\right)$ ，母序列即能够反映系统行为特征的数据系列；余下的m−1个序列作为子序列$x_i\left(k\right)$ ，$i=1,2,\cdots ,m-1$ ，$k=1,2,\cdots ,n$ ，n为各序列的数据数。令$x_0{}^{\prime }\left(k\right)=x_0\left(k\right)/x_0\left(1\right)$ ，则序列$x_0$ 与$x_i$ 在k点的灰色关联系数为

${\xi }_i\left(k\right)=\frac{{\min }_i{\min }_k\left|x_0{}^{\prime }\left(k\right)-x_i{}^{\prime }\left(k\right)\right|+\rho {\max }_i{\max }_k\left|x_0{}^{\prime }\left(k\right)-x_i{}^{\prime }\left(k\right)\right|}{\left|x_0{}^{\prime }\left(k\right)-x_i{}^{\prime }\left(k\right)\right|+\rho {\max }_i{\max }_k\left|x_0{}^{\prime }\left(k\right)-x_i{}^{\prime }\left(k\right)\right|}$ (21)

式中一般取$\rho =0.5$ 。于是，油中溶解气体之间的灰色关联度为

$r\left(X_0,X_i\right)=\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\xi }_i\left(k\right)}$ (22)

当$r>0.5$ ，则表示子母序列有一定的关联，可利用油中气体浓度对变压器绝缘故障进行预测；反之则不行。

3.2. 变压器油中溶解气体的预测

关于变压器油中溶解气体的预测，首先需收集一组变压器油中溶解气体的历史数据，且这些数据应具有一定的规律性，然后利用灰色模型对这些数据进行预测。具体而言，利用灰色模型对变压器油中溶解气体进行预测的基本步骤如下：

Step1：数据准备。等时间间隔收集变压器油中溶解气体的n组色谱数据。

Step2：生成数据序列。将收集到的变压器油中溶解气体的色谱数据序列进行累加生成，生成一个新的数据序列。

Step3：建立灰色模型。根据生成的数据序列，建立相应的灰色模型。

Step4：对变压器油中溶解气体进行预测。根据灰色模型输出结果，对未来变压器油中溶解气体含量进行预测。考虑到灰色模型更适合于短期预测，故本文只预测出一组数据。

由于本文将利用前文介绍的两种灰色模型对变压器油中溶解气体进行预测，为了评价这两种灰色模型的预测精度，这里采取均方根误差(RMSE)、平均绝对误差(MAE)、拟合优度(R²)这三个指标作为两种灰色模型预测性能的评价依据。一般而言，RMSE和MAE值越小，则表明预测精度越高；R²值越大，则代表模型的拟合效果更好[12]。三个指标的表达式分别为：

$RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-{\overline{x}}_i\right)}^2}}$ , $MAE=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left|x_i-\overline{x}\right|}$ , $R^2=\frac{{\displaystyle \sum _i{\left({\widehat{x}}_i-x_i\right)}^2}}{{\displaystyle \sum _i{\left({\overline{x}}_i-x_i\right)}^2}}$ ,

其中，$x_i$ 表示真实值即变压器油中溶解气体浓度，${\widehat{x}}_i$ 表示预测值即预测的油中溶解气体浓度，${\overline{x}}_i$ 表示平均值，n表示所选的数据个数。

3.3. 变压器绝缘故障类型的判别

变压器油主要是由碳氢化合物组成，其溶解气体可以反映内部的绝缘故障，不同的故障类型表现出来的气体特点不一。一般而言，热性故障产生的主要气体为甲烷CH₄、二氯乙烷C₂H₄，电性故障产生的主要气体为乙炔C₂H₂、氢气H₂，故可用CH₄/H₂浓度比值来判断是故障类型是热性还是电性故障；二氯乙烷占总烃比例越高，说明其故障点的温度越高，故可用C₂H₄/C₂H₆浓度比值来判断温度的高低；火花放电故障时会产生C₂H₂、C₂H₄，而局部放电一般不会产生C₂H₂，故可用C₂H₂/C₂H₄来判断是火花放电故障还是局部放电。根据这些特点，可采用绝缘故障IEC三比值判别法来判别绝缘故障的具体类别[12]，如表1与表2所示。

Table 1. Encoding rules

表1. 编码规则

Table 2. Fault type discrimination method

表2. 故障类型判别方法

4. 仿真实验

4.1. 第一组实验

国王冀北电力有限公司某550 kV变压器自某年6月7号到8月16号，在等时间内采集了11组变压器中油中溶解气体数据[6]，如表3所示。

Table 3. Dissolved gas data in oil of 550 kV transformer (ml/L)

表3. 550kV变压器中油中溶解气体数据(ml/L)

依据表3中的数据，利用式(22)计算变压器油中溶解气体之间的关联度，结果如表4所示。

Table 4. Grey correlation degree of gas in oil of 550 kV transformer

表4. 550 kV变压器中油中气体灰色关联度

由表4可知，部分气体之间的灰色关联系数小于0.5，这表明部分气体之间的关联密切程度较低，故表3中的变压器油中溶解气体数据不适合于绝缘故障预测。

4.2. 第二组实验

江苏某110 kV变压器从1990年起到1995年为止，在等时间内共采集了6组变压器中油中溶解气体数据[1]，如表5所示，且已知变压器在1995年处于正常运行阶段。

Table 5. Dissolved gas data in 110 kV transformer oil (ml/L)

表5. 110 kV变压器油中溶解气体数据(ml/L)

依据表5中的数据，利用式(22)计算变压器油中溶解气体之间的关联度，结果如表6所示。

Table 6. Grey correlation degree of gas in oil of 110 kV transformer

表6. 110 kV变压器中油中气体灰色关联度

由表6可知，任意两种气体之间的灰色关联系数都大于0.5，这表明五种气体之间存在密切的关联程度，适合于绝缘故障的预测。将1990年到1994年的数据作为输入值，分别利用前文所述的灰色模型和改进灰色模型对1995年的数据进行预测，结果如表7所示。

Table 7. Prediction of dissolved concentration in oil of 110 kV transformer

表7. 110 kv变压器中油中溶解浓度预测

分别计算灰色模型与改进灰色模型预测结果的RMSE、MAE、R²值，结果如表8所示。

Table 8. Comparison of errors between two models in the second set of experiments

表8. 第二组实验两种模型的误差对比

由表8可知，改进灰色模型的RMS值和MAE值都要小于灰色模型，且R²值大于灰色模型。由此可见，改进灰色模型在预测精度和稳定性方面要优于灰色模型。进一步地，利用改进灰色模型的预测结果计算出1995年各溶解气体预测值的三对比值为分别为：C₂H₂/C₂H₄ = 0.0025，CH₄/H₂ = 0.9303，C₂H₄/C₂H₆ = 0.7633。由表1可知，1995年各溶解气体预测值的三对比值编码组合为0，0，0。由表2可知，预测1995年该变压器不会发生绝缘故障，这与实际情况相符。

4.3. 第三组实验

上海吴泾热电厂(220kV)从1992年10月31日起到1992年11月15日，在等时间段内共采集了6组变压器中油中溶解气体数据[1]，如表9所示，且运行部内确认的实际故障为局部过热。

Table 9. Dissolved gas data in 220 kV transformer oil

表9. 220 kV变压器油中溶解气体数据

依据表9中的数据，利用式(22)计算变压器油中溶解气体之间的关联度，结果如表10所示。

由表10可知，任意两种气体之间的灰色关联系数都大于0.5，这表明五种气体之间存在密切的关联程度，适合于绝缘故障的预测。将1992年10月31日至11月12日的数据作为输入值，分别利用前文所述的灰色模型和改进灰色模型对11月15日的数据进行预测，结果如表11所示。

Table 10. Grey correlation degree of gas in oil of 220 kV transformer

表10. 220 kV变压器中油中气体灰色关联度

Table 11. Prediction of dissolved concentration in oil of 220 kV transformer

表11. 220 kV变压器中油中溶解浓度预测

分别计算灰色模型与改进灰色模型预测结果的RMSE、MAE、R²值，结果如表12所示。

Table 12. Comparison of errors between two models in the third group of experiments

表12. 第三组实验两种模型的误差对比

由表12可知，改进灰色模型的RMS值和MAE值都要小于灰色模型，且R²值大于灰色模型。由此可见，改进灰色模型在预测精度和稳定性方面要优于灰色模型。进一步地，利用改进灰色模型的预测结果计算出11月15日各溶解气体预测值的三对比值为分别为：C₂H₂/C₂H₄ = 0，CH₄/H₂ = 6.1389，C₂H₄/C₂H₆ = 5.0435。由表1可知，11月15日各溶解气体预测值的三对比值编码组合为2，2，2。由表2可知，预测11月15日该变压器会发生低能放热兼过热的故障，这与实际情况基本一致。

5. 结语

变压器绝缘故障会直接影响到电力系统的安全稳定运行，因此对变压器的绝缘故障进行有效预测具有重要应用价值。为提高预测的精度，本文提出了一种基于改进灰色模型的变压器绝缘预测方法，该方法主要通过对变压器油中溶解气体的浓度进行预测，并根据变压器油中溶解气体的浓度判别绝缘故障类型。相对于传统灰色模型，所采用的改进灰色模型在预测变压器油中溶解气体的浓度时具有更高精度，从而使其在变压器绝缘故障预测方面更有优势，为变压器绝缘故障预测提供一种新选择。

基金项目

曲阜特霓电子科技有限公司横向课题“电子设备数据的分析与可视化”资助。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献