1. 引言

GeoGebra是数学教授Markus Hohenwarter于2002年创建的动态教学软件，并通过开源的方式不断地更新、完善和推广。GeoGebra功能强大、操作简单、资源丰富，能够进行动态交互，可脱机、可在线，能跨平台使用，且占用空间极小，在欧美等国家已获数十项相关领域的大奖 [1]。GeoGebra在动态显示、直观性、精确性方面表现都非常优秀。GeoGebra 5.0 beta版本新增加的3D功能，可以制作空间立体图形，而且支持几何变换，可以多角度观察立体。将其与高等数学教学相结合，可收到事半功倍的效果。

高等数学作为一门高等学校工科类专业的基础课，对其他专业课的学习起着重要的作用，课程知识点多，难度大，理论抽象。计算旋转体的体积在高等数学课程中具有重要地位，其基本思想是利用微元法将问题转化为定积分的计算。但是由于空间结构复杂，学生很难透彻理解公式背后的意义。在本文中，通过两个具体实例，应用GeoGebra软件，直观、立体地展示旋转体形成过程，让学生充分认识旋转体体积公式的本质。通过动态演示，更深刻地体会“线动成面，面动成体”的微积分思想，有效地理解和记忆公式。旋转体 [2] 就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这条直线叫做旋转轴。

2. 基于“切片法”，利用GeoGebra动态演示旋转体的形成过程

2.1. 实例1的计算方法

实例1：由 $y=\sqrt{4-x}$， $x=0$， $x=4$ 所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。

按照文献 [2] 中280页的描述，按照如下公式计算体积

绕x轴旋转， $V_x={\displaystyle {\int }_0^4\pi y^2\left(x\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^4\pi \left(4-x\right)\text{d}x}=8\pi$ (1)

绕y轴旋转， $V_y={\displaystyle {\int }_0^2\pi x^2\left(y\right)\text{d}y}={\displaystyle {\int }_0^2\pi {\left(4-y^2\right)}^2\text{d}y}=\frac{256}{15}\pi$ (2)

2.2. 关于实例1的GeoGebra软件操作步骤

1) 分别打开绘图区、3D绘图区、代数区。

2) 在绘图区建立滑动条t，类型为角度，范围0度到360度；建立滑动条m，n，类型为数值，范围0到1，增量为0.01。

3) 指令栏分别输入：

f(x) = 如果(0 ≤ x ≤ 4, sqrt(4 - x))，A = (0, 2)，B = (4, 0)，O = (0, 0)，a = 线段(A, O)，b = 线段(O, B)，

c: 0 ≤ x ≤ 4 Ù 0 ≤ y ≤ sqrt(4 - x)。

在对象c的属性中将样式的线径调整为0，以便去掉不需要的线条。

说明：建立平面图形区域。

4) 指令栏分别输入：

d = 曲面(a, t, x轴)，e = 曲面(f, t, x轴)，g = 旋转(f, t, x轴)。

说明：平面图形区域绕x轴旋转。

5) 指令兰分别输入：

C = 描点(b, m)，D = (x(C), sqrt(4 - x(C)))，E = 描点(f, n)，F = (x(E), 0)，h = 线段(C, D)，i = 线段(E, F)，

f_1 = 如果(x(F) ≤ x ≤ x(C), sqrt(4 - x))，j:x(E) ≤ x ≤ x(D) Ù 0 ≤ y ≤ sqrt(4 - x)。

在对象j的属性中将样式的线径调整为0，以便去掉不需要的线条。

说明：建立参数可调节的微元平面图形区域。

6) 指令栏分别输入：

k = 曲面(f_1, t, x轴)，p = 曲面(线段(F, E), t, x轴)，q = 曲面(线段(D, C), t, x轴)。

说明：微元区域平面图形区域绕x轴旋转。

7) 指令栏分别输入：

r = 曲面(b, t, y轴)，s = 曲面(f, t, y轴)。

说明：平面图形区域绕y轴旋转。

8) 在绘图区建立“复选框”，在下拉列表中选取“曲面e”，标题改为“外部曲面”。

在绘图区建立“复选框”，在下拉列表中选取“曲面r”和“曲面s”，标题改为“绕y轴旋转”。

说明：通过复选框可以选择观察旋转体不同部分。

2.3. 操作说明

调整图形中所有对象的颜色、透明度，可以增强整个动态图形的显示效果。通过滑动条t演示旋转体的生成过程，通过鼠标在3D绘图区拖动，可以从各个视角观察图形。通过滑动条m，n演示微元的变化。

图1——微元图形区域绕x轴旋转形成的立体；图2——所围平面区域绕x轴旋转的过程；图3——所围平面区域绕y轴旋转形成的立体；图4——代数区和绘图区。

2.4. 切片法的微积分思想

通过动态演示体会“线动成面、面动成体”的微积分思想。理解旋转体体积公式(1)、公式(2)中的被积函数就是由一条直线段绕旋转轴旋转而得到的切片的面积。在积分变量的取值范围内，这个平面切片在垂直于旋转轴方向连续变动就生成了旋转体，这些无限个面累加形成体积的过程就是积分。

3. 基于“扣洞法”，利用GeoGebra动态演示旋转体的形成过程

3.1. 实例2的计算方法

实例2：由 $y=-\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2+2$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕y轴旋转，计算所得旋转体的体积。

按照文献 [2] 中的描述，按照如下公式计算体积

扣洞法： $V_y={\displaystyle {\int }_0^2\pi {\left(4+\sqrt{4-2y}\right)}^2\text{d}y}-{\displaystyle {\int }_0^2\pi {\left(4-\sqrt{4-2y}\right)}^2\text{d}y}=\frac{128}{3}\pi$ (3)

3.2. 关于实例2的GeoGebra软件操作步骤

1) 分别打开绘图区、3D绘图区、代数区。

2) 在绘图区建立滑动条t，类型为角度，范围0度到360度。

3) 指令栏分别输入：

f(x) = 如果(2 ≤ x ≤ 6, −0.5(x − 4)² + 2)，g(x) = 如果(2 ≤ x ≤ 4, −0.5(x − 4)² + 2)，

h(x) = 如果(4 ≤ x ≤ 6, −0.5(x − 4)² + 2)。

说明：建立曲线方程。

4) 指令栏分别输入：

A = (2, 0)，B = (6, 0)，C = (4, 2)，D = (0, 2)，O = (0, 0)，

a = 线段(A, O)，b = 线段(B, O)，c = 线段(C, D)，d = 线段(O, D)，e = 线段(B, A)，

i: 2 ≤ x ≤ 6 Ù 0 ≤ y ≤−0.5(x − 4)² + 2。

在对象i的属性中将样式的线径调整为0，以便去掉不需要的线条。

说明：建立平面图形区域。

5) 指令栏分别输入：

j = 曲面(g, t, y轴)，k = 曲面(h, t, y轴)，l = 曲面(e, t, y轴)，m = 曲面(c, t, y轴)，n = 曲面(a, t, y轴)。

说明：平面图形区域绕y轴旋转。

6) 指令栏分别输入：

p = 曲面(ucos(t), sf(u), -usin(t), u, 2, 4, s, 0, 1)，q = 曲面(ucos(t), sf(u), -usin(t), u, 4, 6, s, 0, 1)。

说明：加强显示效果。

7) 在绘图区建立“复选框”，在下拉列表中选取“曲面k”，标题改为“外部曲面”在绘图区建立“复选框”，在下拉列表中选取“曲面m”，标题改为“内部立体”。

3.3. 操作说明

通过滑动条t演示旋转体的生成过程，通过鼠标在3D绘图区拖动，可以从各个视角观察图形。通过复选框，可以观察外部旋转体和内部旋转体的结构。

图5——内部结构；图6——整体结构；图7——所围平面区域绕y轴旋转形成的立体；图8——所围平面区域绕y轴旋转的过程；图9——代数区和绘图区。

3.4. 旋转体的体积公式(3)的数学本质

通过动态演示，直观体会到公式(3)的两个定积分之差对应空间两部分旋转体的体积之差。

4. 基于“套筒法”，利用GeoGebra动态演示旋转体的形成过程

按照文献 [2] 中288页的描述，按照如下公式计算体积

套筒法： $V_y={\displaystyle {\int }_2^{6}2\pi x\cdot \left[-\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2+2\right]\text{d}x}=\frac{128}{3}\pi$ (4)

4.1. 关于实例2的GeoGebra软件操作步骤

1) 分别打开绘图区、3D绘图区、代数区。

2) 在绘图区建立滑动条t，类型为角度，范围0度到360度；滑动条m，n，类型为数值，范围0到1，增量为0.01。

3) 指令栏分别输入：

f(x) = 如果(2 ≤ x ≤ 6, −0.5(x − 4)² + 2)，A = (2, 0)，B = (6, 0)，a = 线段(A, B)，b = 线段(A, B)，

s: 2 ≤ x ≤ 6 Ù 0 ≤ y ≤ −0.5(x − 4)² + 2。

在对象s的属性中将样式的线径调整为0，以便去掉不需要的线条。

说明：建立平面图形区域。

4) 指令栏分别输入：

c = 曲面(f, t, y轴)，d = 曲面(a, t, y轴)。

说明：平面图形区域绕y轴旋转。

5) 指令栏分别输入：

C = 描点(a, m)，D = 描点(b, n)，E = (x(C), f(x(C)))，F = (x(D), f(x(D)))，e = 线段(C, E)，g = 线段(D, F)，h = 线段(C, D)，i = 如果(x(C) ≤ x ≤ x(D), −0.5(x − 4)² + 2), j:x(C) ≤ x ≤ x(D) Ù 0 ≤ y ≤ −0.5(x − 4)² + 2。

将对象j的属性中将样式的线径调整为0，以便去掉不需要的线条。

说明：建立参数可调节的微元平面图形区域。

6) 指令栏分别输入：

k = 曲面(e, t, y轴)，p = 曲面(g, t, y轴)，q = 曲面(h, t, y轴)，r = 曲面(i, t, y轴)。

说明：微元区域平面图形区域绕y轴旋转。

7) 指令栏分别输入：

v = 曲面(ucos(t), sf(u), -usin(t), u, 2, 6, s, 0, 1)，w = 曲面(ucos(t), sf(u), -usin(t), u, x(C), x(D), s, 0, 1)。

说明：加强显示效果。

4.2. 操作说明

通过滑动条t演示旋转体的生成过程，通过鼠标在3D绘图区拖动，可以从各个视角观察图形。通过滑动条m、n演示微元的变化。可以在绘图区添加文本框来完善显示效果。

图10——微元图形区域绕y轴旋转形成的立体；图11——所围平面区域绕y轴旋转的过程；图12——代数区和绘图区。

4.3. 套筒法的微积分思想

通过动态演示体会“线动成面、面动成体”的微积分思想，认识公式(4)中的被积函数就是由一条线绕旋转轴旋转而得到的一圈曲面的面积。在积分变量的取值范围内，这圈曲面以旋转轴为中心内外连续变动就生成了旋转体，这些无限个面累加形成体积的过程就是积分。

5. 结束语

GeoGebra动态数学软件将代数窗口与图形绘制窗口完美结合，在高等数学课程的教学过程中表现卓越，大大提高了学生的学习兴趣与热情，丰富了课堂内容。利用GeoGebra数学软件进行辅助教学，将高等数学概念的形成过程进行思维可视化，使学生透过抽象的公式，看到它所代表的图形以及深刻的微积分思想，不但对数学表达式理解更透测，而且能够感受到数学语言的魅力。教师在高等数学课程的教学过程中利用GeoGebra软件设计教学方案，创建用作演示的交互式应用程序，将传统的教学观念与模式进行改革创新，进而提高课程的教学质量。

目前，GeoGebra 软件与高等数学课程的结合还处于起步阶段，在文献 [3] [4] [5] 中，关于GeoGebra在高等数学中的应用做了初步的探讨。GeoGebra与高等数学的深入融合还有很大的发展空间，将 GeoGebra软件融入高等数学课堂，优化课堂教学结构已成为必然趋势，这还需要进一步的探索和研究，且是任重道远的。

参考文献