1. 引言

细分方法是构造光滑曲面和曲线的一种非常有效的方法。其基本思想为定义一种细分格式，通过对初始离散点不断进行加细从而生成光滑曲面和曲线。根据顶点的不同分裂方式，可以分为基本型细分和对偶型细分。比如插值型细分和奇数B样条细分等就属于基本型细分。在保持相同再生性的条件下，对偶型细分格式相较于基本型细分格式具有更高的光滑性。对偶型细分的概念首次由Dyn等人[1]在2008年提出，他们提出了一种新型的对偶型拟样条。2011年，Conti等人[2]进一步将结果推广到任意重数的对偶型细分格式。根据初始控制点是否在极限曲线、曲面上，可以分成两种类型：逼近型细分和插值型细分。在1987年Dyn首次提出了插值细分后，各种形式的插值细分也被陆续提出，例如Weissman提出的六点插值细分[3]，该细分为六点二重插值细分，且为$C^2$ 连续。除此之外，还有四点插值细分的推广[4]、三重插值细分[5]等。

经典型的插值型细分是逐步进行插值的，也就是每迭代一次，都保留着上一次迭代的数据。而对偶型细分的每一次迭代都是用新的数据代替原有的数据。因此很长一段时间，没有人试图构建不满足逐步插值性质的插值细分格式。

2018年Deng等人[6]基于生成函数的重复局部运算的方法构建了对偶型$2n$ 点细分格式。对偶插值型细分概念最初是由Romani与Viscardi [7]在2019年提出的。他们提出了一种新的单变量对偶型插值细分格式，而且其掩模为有限个。然后分别进行了当重数为奇数和偶数时的推导，并举出了例子。相较于原始的细分格式，新型的对偶插值细分通过参数的选择可以提高其光滑性，加快细分收敛的速度。在支集较短的情况下就可以体现其插值性。2022年，Gemignani等人[8]提出了一种与对偶型单变量插值细分格式相关的类Bezout多项式方程。从应用的角度来看，这种计算方法可以满足多项式再生、支集大小和光滑性方面的特定要求。2023年，Viscardi [9]在对偶插值型细分的基础上，分别对重数为奇数和偶数进行了分析。

2. 预备知识

给定初始控制点集$P^0=\left\{p_j^0\in {ℝ}^d|j\in \mathbb{Z}\right\}$ ，并定义第$k$ 次细分后形成的控制顶点集为$P^k=\left\{p_j^k\in {ℝ}^d|j\in \mathbb{Z}\right\}$ ，则$m$ 重细分格式可以表示为：

$P_i^{k+1}={\displaystyle \sum }_{j\in \mathbb{Z}}{a}_{i-mj}{P}_j^k,i\in \mathbb{Z},$

其中有限支撑序列$a=\left\{a_i|i\in \mathbb{Z}\right\}$ 称为该细分格式的掩模；多项式$a\left(z\right)={\displaystyle \sum }_{i\in \mathbb{Z}}{a}_i{z}_i$ 称为该细分格式的Laurent多项式。

引理2.1 [10]若细分格式$S_a$ 一致收敛，则其对应掩模$a=\left\{a_i|i\in \mathbb{Z}\right\}$ 必须满足：

${\displaystyle \sum }_{j\in \mathbb{Z}}{a}_{mi+j}=1,j=0,1,\cdots ,m-1,$

若m种细分格式满足引理2.1，则必有细分格式$S_1$ ，满足

$d{p}^k=S_{1}d{p}^{k-1}$

其中，$S_1$ 称为细分$S_a$ 的一阶差分格式。由$P^k=S^k{P}^0,d{P}^k=\left\{{\left(d{p}^k\right)}_i=m^k\left(p_{i+1}^k-p_i^k\right)|i\in \mathbb{Z}\right\}$ 则可推导出$n$ 阶差分格式，记为$S_n$ 。$S_n$ 的Laurent多项式为$a^{\left(n\right)}\left(z\right)$ 。且满足

$a^{\left(n\right)}\left(z\right)={\displaystyle \sum }_{i\in \mathbb{Z}}{a}_i^{\left(n\right)}{z}^i={\left(\frac{mz}{1+z+\cdots +z^{m-1}}\right)}^{n}a\left(z\right)$

引理2.2 [10]若$m$ 重细分格式$S_a$ 的掩模$a=\left\{a_i|i\in \mathbb{Z}\right\}$ 及其差分格式$S_k(k=1,2,\cdots ,n+1)$ 的掩模$a^{(j)}={\left\{a_i^{(j)}\right\}}_{i\in \mathbb{Z}}$ 满足${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb{Z}}{a}_{mi+l}}={\displaystyle \sum _{i\in \mathbb{Z}}{a}_{mi+l}^{(j)}=1,j=0,1,\cdots ,n+1}$ ，$l=0,1,\cdots ,m-1$ ，如果存在正整数$L$ 满足${\Vert {\left(\frac{1}{m}{S}_{n+1}\right)}^L\Vert }_{\infty }<1$ ，其中

${\Vert {\left(\frac{1}{m}{S}_{n+1}\right)}^L\Vert }_{\infty }=\max \left\{{\displaystyle \sum }_{j\in \text{Z}}\left|a_{i+m^{L}j}^{\left[n+1,L\right]}\right|,i=0,1,\cdots ,m^L-1\right\}$

则$m$ 重细分格式$S_a$ 是$C^n$ 连续的。

引理2.3 [10]将控制点进行参数化，设$t_i^k=t_0^k+\frac{i}{m^k},t_0^k=t_0^{k-1}-\frac{\tau }{m^k}$ ，其中相对位移$\tau =\frac{a^{\prime }\left(1\right)}{m}$ ，当且仅当细分格式$S_a$ 收敛，且有

$a^{\left(k\right)}\left(1\right)=m{\displaystyle \prod }_{l=0}^{k-1}\left(\tau -\text{l}\right),a^{\left(k\right)}\left({\zeta }_m^j\right)=0,j=1,\cdots ,m-1,k=0,\cdots ,d$

成立，细分格式$S_a$ 再生$d$ 次多项式，其中${\zeta }_m^j={\text{e}}^{\frac{2\pi i}{m}j}$ 。

引理2.4 [9]设$\phi$ 是一个$m$ 重收敛细分格式的基本极限函数，$a={\left\{a_l\right\}}_{l\in Z}$ 为其紧支撑掩模，$A_n\left(z\right),n\in \mathbb{Z}$ 为其多项式分相。如果满足$\tau \in \left[0,1\right)\cap Q$ ，那么对于任意的$T\in N\backslash \left\{0\right\}$ 且$\tau T\in N$ 时，则以下多项式成立

${\displaystyle \sum _{\gamma =0}^{mT-1}{\Phi }_{T,\gamma }\left(z^m\right)}=m{z}^{-\tau T}{\displaystyle \sum _{\beta =0}^{m-1}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}\gamma =0\\ \gamma +\beta T\equiv m^{\tau }{}^T\end{array}}^{mT-1}{A}_{\beta }\left(z^T\right){\Phi }_{T,\gamma }\left(z\right)}}$

其中

${\Phi }_{T,n}\left(z\right)=\frac{1}{T}{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb{Z}}\phi \left(mk+\frac{n}{T}\right)z^{mTk+n},n\in \mathbb{Z}}$

3. 一个带参数的六重五点对偶插值型细分

下面采用引理2.4构造新的细分格式。限定基函数在半整数点处的取值为

$\varphi \left(\frac{k}{2}\right)=\{\begin{array}{l}\frac{3\omega }{256}+{\mu }_1,k=5或-5\hfill \\ \frac{-25\omega }{256}+{\mu }_2,k=3或-3\hfill \\ \frac{75\omega }{128}+{\mu }_3,k=1或-1\hfill \\ 1-\left({\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3\right),k=0\hfill \end{array}$

我们给出一个六重五点细分加细规则如下：

$\{\begin{array}{l}{P}_{6i}^{k+1}=a_{-12}{p}_{i+2}^k+a_{-6}{p}_{i+1}^k+a_0{p}_i^k+a_6{p}_{i-1}^k+a_{12}{p}_{i-2}^k,\\ P_{6i+1}^{k+1}=a_{-11}{p}_{i+2}^k+a_{-5}{p}_{i+1}^k+a_1{p}_i^k+a_7{p}_{i-1}^k+a_{13}{p}_{i-2}^k,\\ P_{6i+2}^{k+1}=a_{-10}{p}_{i+2}^k+a_{-4}{p}_{i+1}^k+a_2{p}_i^k+a_8{p}_{i-1}^k+a_{14}{p}_{i-2}^k,\\ P_{6i+3}^{k+1}=a_{-9}{p}_{i+2}^k+a_{-3}{p}_{i+1}^k+a_3{p}_i^k+a_9{p}_{i-1}^k,\\ P_{6i+4}^{k+1}=a_{-8}{p}_{i+2}^k+a_{-2}{p}_{i+1}^k+a_4{p}_i^k+a_{10}{p}_{i-1}^k,\\ P_{6i+5}^k=a_{-13}{p}_{i+3}^k+a_{-7}{p}_{i+2}^k+a_{-1}{p}_{i+1}^k+a_5{p}_i^k+a_{11}{p}_{i-1}^k\end{array}$ (3.1)

根据我们定义的基函数并结合引理2.4可得等式左边为

$\begin{array}{l}\frac{1}{512}{z}^{-30}(\omega (3-25z^{12}+150z^{24}+150z^{36}-25z^{48}+3z^{60})\\ +256({\mu }_1+z^{60}{\mu }_1+z^{12}{\mu }_2+z^{48}{\mu }_2+z^{24}{\mu }_3+z^{36}{\mu }_3-z^{30}(-1+{\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3)))\end{array}$

建立方程组进行求解，共有以下四组解：

1) ${\mu }_3=\frac{75}{64}$ ，$\omega =2,{\mu }_1=\frac{3}{128}$ ，${\mu }_2=-\frac{25}{128}$

2) $\omega =2,{\mu }_1=\frac{1}{16}(-9+8{\mu }_3),{\mu }_2=\frac{1}{16}(25-24{\mu }_3),-75+64{\mu }_3\ne 0,$ $b_1=216-b_0,b_2=-\frac{431}{2}$

3) $\begin{array}{l}\omega =-\frac{16}{51}\left(-3+8{\mu }_3\right),{\mu }_1=\frac{1}{272}\left(-3+8{\mu }_3\right),{\mu }_2=\frac{75-472{\mu }_3}{2448},b_0=0,b_1=\frac{49}{48},b_2=-\frac{145}{24},\\ -75+64{\mu }_3\ne 0\end{array}$

4) $-48+51\omega +128{\mu }_3\ne 0$ 。

$\begin{array}{c}{b}_0=(-610560+75594240\omega -79629615{\omega }^2+130056192{\mu }_3-342474752{\mu }_3{}^2-336309504\omega {\mu }_3)/\\ 16(-19200-16800\omega +47025{\omega }^2+4096{\mu }_3+147456{\mu }_3{}^2+174848\omega {\mu }_3)\end{array}$ $\begin{array}{c}{b}_1=(-196826880-450725280\omega +701462205{\omega }^2-433319936{\mu }_3+2556248064{\mu }_3{}^2+2778943232\omega {\mu }_3)/\\ 48(-19200-16800\omega +47025{\omega }^2+4096{\mu }_3+147456{\mu }_3{}^2+174848\omega {\mu }_3)\end{array}$ $\begin{array}{c}{b}_2=\left(75527040-764760\omega -84722265{\omega }^2-130204672{\mu }_3-288532736\omega {\mu }_3-190660608{\mu }_3{}^2\right)/\\ \left(6\left(-19200-16800\omega +47025{\omega }^2+4096{\mu }_3+174848\omega {\mu }_3+147456{\mu }_3^2\right)\right)\end{array}$

3.1. 光滑性分析

带入第四组解，该细分格式(3.1)的生成多项式为

$\begin{array}{c}a\left(z\right)=-\frac{1}{10368z^{13}\left(48+99\omega +128{\mu }_3\right)}{\left(1+z\right)}^5{\left(1-z+z^2\right)}^4{\left(1+z+z^2\right)}^4\\ (1831680-390168576{\mu }_3-226782720\omega +1008928512\omega {\mu }_3+238888845{\omega }^2+1027424256{\mu }_3^2\\ +(823488512{\mu }_3+194995200-3787871744\omega {\mu }_3-3583672320{\mu }_3^2-940351050{\omega }^2\\ +677508000\omega )z+(218148864{\mu }_3-799211520-671389920\omega +1618129170{\omega }^2\\ +5108957184{\mu }_3^2+6096133632\omega {\mu }_3)z^2+(1205230080+441732480\omega -1834462530{\omega }^2\\ -1303035904{\mu }_3-5108957184{\mu }_3^2-6638577152\omega {\mu }_3)z^3+(218148864{\mu }_3-799211520\\ -671389920\omega +1618129170{\omega }^2+5108957184{\mu }_3^2+6096133632\omega {\mu }_3)z^4\end{array}$

$\begin{array}{c}+(823488512{\mu }_3+194995200-3787871744\omega {\mu }_3-3583672320{\mu }_3{}^2-940351050{\omega }^2\\ +677508000\omega )z^5+(1831680-390168576{\mu }_3-226782720\omega +238888845{\omega }^2\\ +1027424256{\mu }_3^2+1008928512\omega {\mu }_3)z^6).\end{array}$

定理3.1 对于细分格式(3.1)

当$\omega$ 满足$\omega <-2$ 且

$\begin{array}{l}\left(954048-48\sqrt{28263841}-571551\omega -24\sqrt{28263841}\omega \right)/1789568<{\mu }_3\\ <\left(753592+8\sqrt{14082102241}-2331529\omega +4\sqrt{14082102241}\omega \right)/4622208,\end{array}$

或$\omega >-2$

$\begin{array}{l}\left(753592+8\sqrt{14082102241}-2331529\omega +4\sqrt{14082102241}\omega \right)/4622208<{\mu }_3\\ <\left(954048-48\sqrt{28263841}-571551\omega -24\sqrt{28263841}\omega \right)/1789568\end{array}$

此时$C^0$ 是连续的；

当$\omega$ 满足$\omega <-2$

$\begin{array}{l}\left(958656-48\sqrt{72756769}-374847\omega -24\sqrt{72756769}\omega \right)/1457792<{\mu }_3\\ <\left(-1361872+128\sqrt{547157221}-3243461\omega +64\sqrt{547157221}\omega \right)/4622208\end{array}$ ，

或$\omega >-2$

$\begin{array}{l}\left(-1361872+128\sqrt{547157221}-3243461\omega +64\sqrt{547157221}\omega \right)/4622208<{\mu }_3\\ <\left(958656-48\sqrt{72756769}-374847\omega -24\sqrt{72756769}\omega \right)/1457792\end{array}$

此时是$C^1$ 连续的

当$\omega$ 满足$\omega <-2$

$\begin{array}{l}\left(529442-2\sqrt{68035735681}+252571\omega -\sqrt{68035735681}\omega \right)/20736<{\mu }_3\\ <\left(20830+2\sqrt{74207136145}-874510\omega +\sqrt{74207136145}\omega \right)/151072,\end{array}$

或$\omega >-2$

$\begin{array}{l}\left(20830+2\sqrt{74207136145}-874510\omega +\sqrt{74207136145}\omega \right)/151072<{\mu }_3\\ <\left(529442-2\sqrt{68035735681}+252571\omega -\sqrt{68035735681}\omega \right)/20736\end{array}$

此时是$C^2$ 连续的

证明：根据引理2.2，计算细分格式(3.1)的一阶差分序列并进行分组求和

$\begin{array}{l}{\Vert \frac{1}{6}{S}_1\Vert }_{\infty }=\max \{\frac{1}{10368}(3|(342474752{\mu }_3^2+768{\mu }_3(-169344+437903\omega )\\ +45(13568+1769547{\omega }^2-1679872\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|\\ +|(999407616{\mu }_3^2+256{\mu }_3(-1527136+3811357\omega )+15(365312+15330273{\omega }^2\\ -14906048\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+|(2813902848{\mu }_3^2\end{array}$

$\begin{array}{l}+256{\mu }_3(-4601408+10580321\omega )+15(2695936+42072096{\omega }^2-43318144\omega ))/\\ (48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+|(3096723456{\mu }_3^2+1280{\mu }_3(-914144\\ +2378063\omega )+15(240896+48084999{\omega }^2-45466304\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )\\ \left(-400+1152{\mu }_3+475\omega \right)|),\frac{1}{5184}(2|(121847808{\mu }_3^2+256{\mu }_3(-720956+197297\omega )\\ +15(3455872+48063{\omega }^2-3753688\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|\\ +4|(203046912{\mu }_3^2+512{\mu }_3(-539617+194929\omega )+15(5007808+503157{\omega }^2\\ -5784532\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+|(263012352{\mu }_3^2\\ +256{\mu }_3(-1439816+484067\omega )+15(6744064+506811{\omega }^2-7654096\omega ))/\\ (48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+|(-665468928{\mu }_3^2\\ -256{\mu }_3(-4332856+879847\omega )+15(-21304832+1106697{\omega }^2+22023728\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )\\ \left(-400+1152{\mu }_3+475\omega \right)|),\frac{575}{2592},\frac{251}{1296}\}.\end{array}$

求解不等式${\Vert \frac{1}{6}{S}_1\Vert }_{\infty }<1$ ，

解得当$\omega <-2$ 时，

$\begin{array}{l}\left(954048-48\sqrt{28263841}-571551\omega -24\sqrt{28263841}\omega \right)/1789568<{\mu }_3\\ <\left(753592+8\sqrt{14082102241}-2331529\omega +4\sqrt{14082102241}\omega \right)/4622208\end{array}$

当$\omega >-2$ 时，

$\begin{array}{l}\left(753592+8\sqrt{14082102241}-2331529\omega +4\sqrt{14082102241}\omega \right)/4622208<{\mu }_3\\ <\left(954048-48\sqrt{28263841}-571551\omega -24\sqrt{28263841}\omega \right)/1789568\end{array}$

由引理2.2可知，当参数满足以上条件时，细分格式为$C^0$ 连续。

计算

$\begin{array}{l}{\Vert \frac{1}{6}{S}_2\Vert }_{\infty }=\max \{\frac{1}{576}(|(342474752{\mu }_3^2+768{\mu }_3(-169344+437903\omega )+45(13568+1769547{\omega }^2\\ -1679872\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+|(336576512{\mu }_3^2\\ +256{\mu }_3(-508672+1286389\omega )+15(91904+5183241{\omega }^2-4994816\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )\\ (-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+2|(346603520{\mu }_3^2+256{\mu }_3(-507584+1332833\omega )\\ +15(4846+5396421{\omega }^2-5070976\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|),\\ \frac{1}{1728}(|(501399552{\mu }_3^2-200490240+347017216{\mu }_3+2840160\omega +223684515{\omega }^2\\ +761086208{\mu }_3\omega )/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+|(512016384{\mu }_3^2\\ -201872640+347312128{\mu }_3+1630560\omega +773675264{\mu }_3\omega +227070315{\omega }^2)/\\ (48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+2|(485474304{\mu }_3^2+256{\mu }_3(1353808\end{array}$

$\begin{array}{l}+2899299\omega )+15(-13227776+14573721{\omega }^2+310304\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )\\ (-400+1152{\mu }_3+475\omega )|),\text{}\frac{1}{576}(2|(161824768{\mu }_3^2+768{\mu }_3(-320448+86701\omega )\\ +45(1537792+16833{\omega }^2-1666688\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|\\ +|(168312832{\mu }_3^2+1280{\mu }_3(-192128+58031\omega )+15(4557056+188439{\omega }^2\\ -5049344\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+|(169492480{\mu }_3^2+256{\mu }_3\\ (-960512+295619\omega )+15(4546816+213519{\omega }^2-5058304\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )\\ (-400+1152{\mu }_3+475\omega )|).\end{array}$

求解不等式${\Vert \frac{1}{6}{S}_2\Vert }_{\infty }<1$ ，

解得，当$\omega <-2$ 时，

$\begin{array}{l}\left(958656-48\sqrt{72756769}-374847\omega -24\sqrt{72756769}\omega \right)/1457792<{\mu }_3\\ <\left(-1361872+128\sqrt{547157221}-3243461\omega +64\sqrt{547157221}\omega \right)/4622208,\end{array}$

当$\omega >-2$ 时，

$\begin{array}{l}\left(-1361872+128\sqrt{547157221}-3243461\omega +64\sqrt{547157221}\omega \right)/4622208<{\mu }_3\\ <\left(958656-48\sqrt{72756769}-374847\omega -24\sqrt{72756769}\omega \right)/1457792.\end{array}$

由引理2.2可知，当参数满足以上条件时，细分格式为$C^1$ 连续。

计算

$\begin{array}{l}{\Vert \frac{1}{6}{S}_3\Vert }_{\infty }=\max \{\frac{1}{48}(|(342474752{\mu }_3^2+768{\mu }_3\left(-169344+437903\omega +1769547{\omega }^2\right)\\ +45(13568-1679872\omega +1769547{\omega }^2))/(48+128{\mu }_3+99\omega )\left(-400+1152{\mu }_3+475\omega \right)|\\ +|(343654400{\mu }_3^2+256{\mu }_3(-507904+1319173\omega )+15(30464-5048576\omega \\ +5333721{\omega }^2))/(48+128{\mu }_3+99\omega )\left(-400+1152{\mu }_3+475\omega \right)|),\frac{1}{18}(2|(-47554560{\mu }_3^2\\ -64{\mu }_3(-21166+860167\omega )+15(411952+464867\omega -958992{\omega }^2)/(48+128{\mu }_3+99\omega )\\ \left(-400+1152{\mu }_3+475\omega \right)|+|(95551488{\mu }_3^2+640{\mu }_3(-4214+172853\omega )+15(-827744\\ -933094\omega +1927389{\omega }^2))/(48+128{\mu }_3+99\omega )\left(-400+1152{\mu }_3+475\omega \right)|),\\ \frac{1}{36}(|(442368{\mu }_3^2-512{\mu }_3(264841+131408\omega )-15(-3379648+1793373{\omega }^2\\ +1917172\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega )|+|(442368{\mu }_3^2+512{\mu }_3\\ (264889+133457\omega )+15(-3387328+1812183{\omega }^2+1910452\omega ))/(48+128{\mu }_3+99\omega )\\ \left(-400+1152{\mu }_3+475\omega \right)|),\frac{1}{6}\}.\end{array}$

求解不等式${\Vert \frac{1}{6}{S}_3\Vert }_{\infty }<1$ ，

解得，当$\omega <-2$ 时，

$\begin{array}{l}\left(529442-2\sqrt{68035735681}+252571\omega -\sqrt{68035735681}\omega \right)/20736<{\mu }_3\\ <\left(20830+2\sqrt{74207136145}-874510\omega +\sqrt{74207136145}\omega \right)/151072,\end{array}$

当$\omega >-2$ 时，

$\begin{array}{l}\left(20830+2\sqrt{74207136145}-874510\omega +\sqrt{74207136145}\omega \right)/151072<{\mu }_3\\ <\left(529442-2\sqrt{68035735681}+252571\omega -\sqrt{68035735681}\omega \right)/20736.\end{array}$

由引理2.2可知，当参数满足以上条件时，细分格式为$C^2$ 连续。

3.2. 多项式再生性分析

定理3.2 细分格式(3.1)对于所有参数再生3次多项式。

证明：根据引理2.3，对该细分生成多项式$a\left(z\right)$ 进行一阶求导。带入$z=1$ 结果为$a^{\prime }\left(1\right)=3$ ，则$\tau =\frac{a^{\prime }\left(1\right)}{6}=\frac{1}{2}$ 。计算易得

$a\left(1\right)=6$ ，$\frac{a^{\prime }\left(1\right)}{6}=\frac{1}{2}$ $\text{=}\tau$ ，$\frac{a^{″}\left(1\right)}{6}=-\frac{1}{4}=\tau \left(\tau -1\right)$ ，$\frac{a^{\left(3\right)}\left(1\right)}{6}=\frac{3}{8}=\tau \left(\tau -1\right)\left(\tau -2\right)$

$\begin{array}{c}\frac{a^{\left(4\right)}\left(1\right)}{6}=-\frac{15}{16}=(-(15911829504{\mu }_3^2+256{\mu }_3\left(-35520656+55078247\omega \right)\\ +15(78691072+206262363{\omega }^2-276515488\omega ))/6(48+128{\mu }_3+99\omega )(-400+1152{\mu }_3+475\omega ).\end{array}$

对于再生4次时，发现方程无解，因此不能再生4次。

3.3. 数值算例

如图1所示，在初始控制多边形给定的情况下，基于本文的细分格式，可以生成$C^0~C^2$ 不同连续性的曲线(从左到右)。其中初始控制网格为蓝色线条，细分之后的为红色线条。通过定理3.1可知，在参数$\omega =0.003$ 固定的情况下，当${\mu }_3$ 的取值为$0.3672<{\mu }_3<0.3893$ 时，为$C^0$ 连续，${\mu }_3$ 的取值为$0.372<{\mu }_3<0.3756$ 时，为$C^1$ 连续，${\mu }_3$ 的取值为$0.3733<{\mu }_3<0.3735$ 时，为$C^2$ 连续。由此可知在$\omega =0.003$ 固定的情况下，${\mu }_3$ 越接近0.3734，光滑性越高。因此任意给出参数$\omega$ 的值，都可通过定理3.1求得使得细分光滑性最高的${\mu }_3$ 取值范围。

Figure 1. Subdivide the polygons separately, the continuity from left to right is $C^0~C^2$

图1. 对控制多边形分别进行加细，从左到右的连续性为$C^0~C^2$

(a) 四点插值细分迭代一次后的极限曲线

(b) 四重无参数对偶插值型细分迭代一次后的极限曲线

(c) 本文提出的细分格式迭代一次后的极限曲线

Figure 2. Limit curve generated after one iteration of different subdivision schemes

图2. 不同的细分格式迭代一次后生成的极限曲线

如图2所示，其中蓝色为初始控制网格，红色为迭代后的线条。图2(a)为传统的四点插值细分迭代一次后的极限曲线。图2(b)为一个四重无参数的对偶插值型细分迭代一次后的极限曲线。图2(c)为本文提出的细分格式，选取参数为$\omega =0.003,{\mu }_3=0.3734$ 时迭代一次后的极限曲线。可以看出，本文提出的细分格式通过对参数的选取，可以在迭代次数较少时就保持较高的光滑度。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献