1. 引言

在过去的数十年间，全球经济的一体化进程明显加快，金融科技的迅猛发展为全球金融市场带来了前所未有的挑战和风险。2008年美国次贷危机引发的全球金融动荡，以及2020年美股市场在极短时间内多次触发熔断机制，这些事件均凸显了金融风险评估的紧迫性和重要性。在众多风险评估工具中，风险值(VaR)因其广泛的应用性和实用性，在学术界和实务界均占有重要地位。VaR旨在评估在给定置信水平下，未来特定时间内可能面临的最大潜在损失，其准确估算和预测对金融市场稳定至关重要。

VaR的估算通常依赖于GARCH类模型的复杂结构，其中波动率的精确估算是关键。自Engle [1]在1982年首次提出ARCH模型，到Bollerslev [2]在1986年发展出GARCH模型，在1991年Nelson [3]提出的EGARCH模型，以及Glosten [4]等人在1993年构建的TGARCH模型，最后到Engle与Ng [5]、Duan [6]分别在1993年和1995年提出的NGARCH模型，这一系列模型的演进反映了金融风险管理理论的不断深化和完善。本文的研究从对时间序列特征的深入分析和严格检验开始，进而构建了GARCH模型。通过模拟数据在正态分布、标准化学生分布、有偏学生分布下的表现，对模型进行了细致的比较与优化。最终，将这些模型应用于实际的金融序列，同时预测VaR，为金融市场的风险管理提供了更为坚实的理论基础和实践指导。

2. 文献综述

在金融风险管理的学术研究领域，GARCH模型及其衍生版本的应用已成为显著的研究焦点，这些模型对于精确测量市场波动性和风险水平具有重要意义。GARCH模型不仅为金融市场的动态变化提供了量化的分析工具，而且其变体的发展极大地丰富了风险评估的维度，使研究者能够更深入地洞察金融市场的复杂性。随着金融市场的持续发展，GARCH模型的应用也在不断地被优化和扩展，以适应新的市场条件和风险管理需求。王苏生与李光路[7]则研究了沪深300股指期货日内一分钟收益率，采用三种GARCH模型进行预测精度的评估，结果显示RealGARCH模型具有最佳的预测效果，而EGARCH模型在预测精度上表现最佳。蔡光辉与项琳[8]对中国铜期货市场的价格波动进行了深入研究，将广义已实现测度应用于Realized GARCH和Realized HAR GARCH模型中，显著提高了模型的拟合精度和预测能力。赵一航[9]利用主成分分析技术对我国8个碳交易试点地区的价格数据进行了综合分析，通过VAR-GARCH-BEKK模型揭示了我国碳市场在试点期间的发展趋势和规律。朱福敏与宋佳音[10]采用20种Levy-GARCH模型对上证综合指数进行了深入的实证分析，并认为非对称、非高斯、非仿射的Levy-GARCH模型在收益率的拟合及尾部风险测度方面表现更为出色。张贺与沈倩[11]采用GARCH-VaR模型对我国金融科技风险进行量化评估，经过对多种模型及序列分布的对比分析，确定在学生t分布下的GARCH(1,1)模型用于计算VaR值，又通实施Kupiec的失败频率测试，进一步增强了研究结果的可靠性。王传美等人[12]选择创业板指数作为研究案例，深入探讨了在多种分布假设条件下GARCH模型的性能，研究明确指出，不同的分布假设及其对应的显著性水平显著影响VaR (风险价值)的计算精度。特别强调的是，广义误差分布(GED)在捕捉市场尾部风险特征方面展现出其独特的优势，这为风险管理提供了更为精确的工具。此外，研究还揭示了在极端市场条件下，GED分布能够更有效地预测潜在的金融风险，这对于投资者和风险管理者来说具有重要的实践意义。

这些研究成果不仅展示了GARCH系列模型及其与分位数回归技术的融合在金融时间序列分析中的关键作用，而且通过持续改进模型的选择和分布假设，研究人员能够更为精确地预见市场风险，为金融机构的风险控制和投资策略提供坚实的理论支撑。展望未来，学术界将持续深入研究这些模型在多元化的金融市场中的应用潜力，并考虑整合宏观经济变量，以期进一步提升风险预测的精确度和实际应用价值。

3. 相关理论和模型介绍

ARCH(m)模型，作为一种精密的统计工具，专门设计用于深入探究金融时间序列中的波动性特征，尤其是在资产收益率的细致分析中展现出其独特的价值。这一模型由两个核心部分构成：均值方程和方差方程，它们分别负责描绘资产收益率的预期水平及其波动性的动态变化。均值方程的具体表达式为：

$r_t={\mu }_t+a_t,a_t={\sigma }_t{\epsilon }_t$

其中，r_t表示资产在时间t的对数收益率，µ_t是条件均值，a_t是收益率的扰动序列。方差方程表达式为：

${\sigma }_t^2={\sigma }_0+{\sigma }_1{a}_{t-1}^2+{\sigma }_2{a}_{t-2}^2+\mathrm{...}+{\sigma }_m{a}_{t-m}^2$

该方程精确地描述了条件方差${\sigma }_t^2$ 的构成，这一构成包括一个关键的正数常数项σ₀以及一系列历史扰动的平方项的加权和。这些平方项的权重由系数${\sigma }_m$ 确定，且${\sigma }_m$ 必须是非负的。在金融领域，ARCH模型因其独特的能力而受到青睐：它能够有效地捕捉资产收益率序列a_t的厚尾分布特性以及波动性的聚集现象，即市场波动在某些时期内表现出持续的高波动或低波动状态。尽管ARCH模型在理论和实际应用中显示了其价值，但其应用也存在一些挑战和限制。因此，在应用ARCH模型时，分析师和决策者需要充分理解这些局限性，并根据具体的市场情况和数据特性进行适当的调整和优化，以确保模型的预测和分析结果更为精确和可靠。

GARCH(m,s)模型是为解析金融资产收益率的波动性而设计。此模型通过整合历史波动率的效应，显著提升了对市场波动性变化的预测精度。此外，GARCH模型在金融风险管理和资产定价中扮演着至关重要的角色，它不仅能够帮助投资者更好地理解市场的不确定性，还能为决策提供更为坚实的数据支持。均值方程表达式为：

$r{}_t={\mu }_t+a_t,a_t={\sigma }_t{\epsilon }_t$

在本模型框架中，我们采用了类似于ARCH模型的符号系统。其中，r_t表示在时间t的资产对数收益率，而µ_t则表示这一收益率的条件均值。同时，$a_t$ 被定义为收益率的扰动序列，该序列体现了收益率波动的不确定性。即方差方程表达式为：

${\sigma }_t^2={\alpha }_0+{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\alpha }_i}{a}_{t-i}^2+{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\beta }_j}{\sigma }_{t-j}^2$

该方程式不仅考虑了历史扰动平方的作用，还融入了历史波动率平方的加权总和。在此模型中，α₀ > 0 是属于常数，而α_i、β_j > 0，是权重系数。具体而言，当i超过m时，α_i = 0；同样，当j超过n时，β_j = 0的值也为零。

由此可见，GARCH模型在适用性上优于ARCH模型，因为它能更有效地体现市场波动性的长期记忆特征。尽管如此，GARCH模型仍假定正负扰动对波动率的影响是对称的，这一假设可能并不完全符合实际市场情况。此外，与ARCH模型相比，GARCH模型在捕捉厚尾现象方面表现较弱。在实际操作中，GARCH模型为金融分析师提供了强大的工具，用于预测和解析资产收益率的波动性。尽管有其局限性，但通过合理的参数设置和模型优化，GARCH模型在金融风险控制和资产定价中仍然扮演着关键角色。在金融市场的常规波动中，VaR (Value at Risk)作为一种风险评估手段，旨在量化在既定的置信水平α和持有期限Δt内，投资组合P可能遭遇的最大潜在损失。其数学表达式为：

$\text{Prob}\left(\Delta P>-VaR\right)=1-\alpha$

在此，ΔP表示投资组合P在时间Δt内的潜在损失，而−VaR则是在置信度α下，该投资组合预期可能遭遇的最大损失限额。

VaR的应用不仅全面评估了证券市场的风险，还具备对风险进行预测的能力，并为具体投资组合的风险水平提供了量化的评估方法。

4. 实证部分

本文选取了自2007年1月15日起至2024年6月14日的中证800指数日行情数据进行深入分析。此数据集共计包含4229个观测值。经过对每日收盘价的详细整理，计算出了4228个日收益率。

中证800指数的收盘时序列图以及日对数收益率时序图如图1所示。通过仔细观察图1，可以明确地看到，日对数收益率的波动具有显著的群聚性。总体来看，该序列图表现出一种平衡的对称美，其波动路径遵循随机漫步的模式，围绕着零均值上下波动，并伴随着波动的群聚效应，展示了一种突然的波动特性。中证800指数的收益率序列经历了显/著的波动，高波动周期的持*续时间较短，这暗示在这有三个时期，中国股市可能面临较高的风险。图1所展示的波动过程是一个随机游走，中国股市的收益率波动显示出明显的群聚现象。无论是低波动还是高波动周期，其收益率序列都在平均收益的上下两侧波动，且方差值随时间变化而变。

见表1，日对数收益率序列的平均值约为0.000123，这一数值微小且为正，表明收益率序列的波动趋势一致，映射出中国股市内部的高度相关性。这进一步佐证了在这段时期，中国股市正处于一个波动上扬的阶段。该序列的最小值触及−0.096169，而最大值则达到0.090299，其标准差约为0.016605。值得注意的是，序列的偏度为负，揭示了其左偏分布的特性，即收益率序列拥有一条延伸的左尾，显示出收益率序列的左偏现象。这一发现无疑表明该序列在分布上是非对称的。此外，序列的峰度超过3，表明其具有尖峰的特征。而Jarque-Bera检验统计量高达3105，远超零值，其对应的显著性水平几乎为零，这明确指出日对数收益率序列未能符合正态分布的假设。进一步观察，如图2中的QQ图所示，可以看到图像的两端明显偏离了直线，呈现出分散的状态，这进一步证实了收益率序列并不遵循正态分布，其尾部特征表现为厚尾性。

如图3所示，详细展示了中证800指数日对数收益率样本的自相关函数(ACF)与偏自相关函数(PACF)，这两个图表在时间序列分析中扮演着至关重要的角色。它们是分析时间序列数据在不同时间滞后期之间相互依赖性的关键工具。自相关函数揭示了时间序列与其自身在不同滞后期之间的内在联系，而ACF图则直观地展示了这种联系如何随滞后期的增加而演变。在ACF图中，横轴代表滞后期，即两个观测值之间的时间间隔，纵轴则表示自相关系数，该系数量化了在特定滞后期下时间序列与其自身的相关性强度。

Figure 1. The time-series graph of the closing price and the daily logarithmic return time-series graph of CSI 800

图1. 中证800的收盘价时序图和日对数收益率时序图

Table 1. Descriptive statistics of the daily logarithmic returns of CSI 800

表1. 中证800日对数收益率的描述性统计

Figure 2. Q-Q plot of the daily logarithmic return series of CSI 800

图2. 中证800日对数收益率序列的QQ图

Figure 3. The sample autocorrelation function (ACF) and partial autocorrelation function (PACF) of the logarithmic return

图3. 对数收益率的样本自相关函数ACF和偏自相关函数PACF

从图3的分析中可以明显看出，在高阶滞后期，ACF和PACF的值显著不为零，这一现象表明时间序列数据之间存在显著的相关性。为了进一步分析时间序列的平稳性，采用了ADF检验来检测是否存在单位根。检验结果显示P值为2.7981e−28，这一极低的P值支持了时间序列不存在单位根过程的结论，从而可以推断该序列是弱平稳的。结合图1的时间序列图，可以初步推测该序列可能表现出ARCH效应。为了验证这一推测，进行了滞后3阶的Ljung-Box检验，其对应的P值约为7.73e−103，这一极低的P值进一步证实了日对数收益率序列中存在强烈的ARCH效应。由于条件方差明显依赖于滞后值，图3所示的高阶滞后期PACF的显著性表明，若采用ARCH模型进行拟合，则需要一个高阶的ARCH模型，即GARCH模型。

对中证800的日对数收益率分别应用了GARCH(1,1)模型、GARCH(1,2)模型、GARCH(2,1)模型和GARCH(2,2)模型进行模拟。表2提供了这四个模型的详细比较结果。根据AIC、BIC和Log likelihood准则的综合评估，最终选择了GARCH(1,2)模型作为最优模型，这一选择基于其在多个评估指标上的优越表现。

Table 2. Selection information for the GARCH model of the daily logarithmic return of the index

表2. 指数日对数收益率GARCH模型的选择信息

Figure 4. The standardized residuals after fitting the GARCH(1,2)-t model and the sample ACF and PACF of their squared sequences

图4. 拟合GARCH(1,2)-t模型后的标准化残差以及它们的平方序列的样本ACF和PACF

在深入分析金融时间序列数据时，发现基于高斯新息的GARCH(1,2)模型产生的标准化残差未能满足正态分布的基本假设。为了克服这一统计上的局限性，研究中提出了两种创新的模型改进方法：一是采用新息服从标准化学生t分布的GARCH(1,2)模型，二是采用新息服从标准化有偏学生分布的GARCH(1,2)模型。这两种模型的性能在表3中得到了详细的对比分析。通过综合考量AIC、BIC、和Log likelihood等评价准则，研究最终推荐了服从标准化学生t分布的GARCH(1,2)模型，即GARCH(1,2)-t模型，作为最佳模型选择。此外，对标准化残差平方序列的ACF和PACF图(如图4所示)的分析表明，这些序列并未显示出显著的拖尾或截尾特征，所有相关函数值均稳定地位于置信区间内。为了进一步确认这一结论，研究还进行了Ljung-Box检验，其结果在0.05的显著性水平下均支持标准化残差平方序列不存在自相关性的假设。这一系列严谨的统计分析为模型的有效性和适用性提供了坚实的证据。

见表3，详细列出了中证800指数日对数收益率在不同置信水平下的VaR (Value at Risk)和ES (Expected Shortfall)值。具体而言，这些置信水平设定为95%、97.5%和99%。通过分析表中的数据，我们可以明确观察到一个趋势：随着置信水平的提升，相应的VaR值呈现出递增的趋势。此外，这一变化模式同样适用于ES值，即置信水平的提高导致ES值的相应增加。这一发现进一步强调了在风险管理中，置信水平的选择对评估潜在损失的重要性。

Table 3. VaR values and ES values at various confidence levels

表3. 各置信水平上的VaR值和ES值

5. 结论

本研究深入探讨了中证800指数在这十年的动态变化，通过计算每日收盘价的对数收益率，构建了一个相对稳定的时间序列。在此基础上，研究对序列进行了详尽的自相关性、平稳性以及条件异方差性分析，以确定最合适的模型拟合方法。经过一系列的模型比较和验证，GARCH模型被认定为最优选择，特别是GARCH(1,2)-t模型，其对中证800指数的日对数收益率拟合效果显著。为了进一步验证该模型的稳健性，基于GARCH(1,2)-t模型的分析，研究还计算了在不同置信水平下的VaR (风险价值)和ES (预期不足)值。在95%、97.5%和99%的置信水平下，每单位头寸可能面临的最大损失分别计算为0.000423、0.000540和0.000641，而相应的期望损失则为0.000568、0.000644和0.000734。这些精确的数值不仅证明了GARCH(1,2)-t模型在风险评估方面的有效性，而且为其在金融风险管理实践中的应用提供了坚实的理论支持。

参考文献