1. 引言

随着航空发动机涡轮部件负荷的不断提高，跨音叶片通道中的激波强度也随之增强。在跨音和超音速涡轮中，激波所带来的损失明显增大[1]研究表明，超音涡轮叶栅尾缘激波所造成的损失达到了整个叶栅的三分之一[2]。因此随着航空发动机涡轮负荷逐渐提高，发展新型有效的激波控制方法对减少涡轮损失、提高推重比等具有重要意义。

为了合理的控制激波强度，研究人员陆续提出了多种主动或被动的控制方法来减少激波对性能的影响。由于主动控制策略需要能量输入来控制流动，因此越来越多的研究者对成本更低的被动激波控制方法产生兴趣[3]。比较典型的被动控制方法主要包含鼓包[4]、微型涡流发生器[5]、后向台阶[6]、边界层抽吸[7]、次流循环[8]和无源凹腔[9]等。其中，在鼓包被动控制方面，Ashill [10]在1992年提出二维鼓包概念，并用于降低由激波产生的气动阻力，随后越来越多的学者开始探究鼓包对激波的控制机理和控制方法。Erich Schülein et al. [11]研究了一种用于二维超声速流动中基于凸点的设计分析方法，研究表明，对于给定的流动偏转角所设计的隆起能够显著减少分离泡的大小并在一定马赫数范围内降低总压损失。章胜华等[12]使用URANS方法模拟了二维激波控制鼓包对OAT15A超临界翼型跨声速抖振性能的影响，并通过改变鼓包相对位置、高度和长度探究了鼓包参数对抖振的影响规律。结果表明，鼓包在减弱激波强度的同时，阻碍了鼓包尾部边界层向上游移动与激波相干扰，从而消除了激波抖振现象。上述研究表明鼓包被动控制方法可以有效减弱激波强度，降低激波/边界层干涉强度，降低流动分离出现的可能性，提高气动效率。Yufei Zhang et al. [13]对某机翼的非稳态流动进行了大涡模拟，结果表明，凹凸引起的适当的“λ”冲击模式对流量控制效果非常明显。所述研究虽然证明了鼓包对激波控制的有效性，但是更侧重于机理研究，对能够适用于不同工况的激波控制方法研究较少，因此Feng Deng et al. [14]以升力系数为反馈信号，以鼓包高度为控制变量提出了一种利用主动冲击控制凸起高度的方法来抑制超临界翼型在跨声速飞行时的振动，有效减小了气动损失。

在三维鼓包方面，杨嗣涵[15]采用数值模拟方法研究了吸力面不同展向位置非连续鼓包对其气动性能的影响，结果表明，随着非连续鼓包逐渐靠近叶顶，鼓包能更有效地对激波前气体进行预压缩，降低逆压梯度，从而减小激波强度。S. P. Colliss et al. [16]采用实验和计算相结合的方法对三种不同的三维激波控制凸点设计进行了测试，并对流动结构进行分析，在观察到的四种关键涡结构当中，剪切流占主导地位，其研究结果还表明凸起上的横向流动是影响涡强度的最重要因素。由所述研究可知，鼓包在叶栅通道中引起的部分波系结构有利于减弱激波处的强逆压梯度，进而达到减弱激波强度的效果。刘光远[17]和Wong Wai Sam [18]采用鼓包高度、流向位置、流向长度和展向间隔等为优化参数，开展了三维鼓包控制参数优化研究，虽然均取得了减阻的作用，但其设计空间相对有限，无法对更广设计空间中可能存在的优化设计进行充分探索。

综上所述，目前研究多集中在外流领域，针对叶轮机械内流激波控制的研究较少，并且现有鼓包激波控制方法采用突起高度、流向位置、流向长度作为设计变量，很大程度上限制了设计的自由度，难以在较宽工况范围内实现对激波的精细化有效控制。因此，为了进一步扩展激波控制方法的适用范围以及探索更多的可能性，以典型跨音速涡轮叶栅为研究对象，针对现有鼓包优化方法设计空间受限、局部精细化控制能力较差以及适用范围较窄等问题，提出了基于RBF曲线的涡轮叶栅激波控制方法，并构建全自动流程结合优化算法进行优化设计。数值结果表明该方法可以实现宽工况范围内激波的有效控制。

本文结构如下：第二章详细介绍了参数化造型方法和设计优化流程。第三章分析了基于RBF曲线优化设计的结果以及减损机理。在第四章，将本方法与现有常规鼓包优化设计方法进行对比，验证了本方法的有效性。最后，基于研究内容，总结全文。

2. 局部叶型设计及数值模拟方法

2.1. 局部叶型参数化建模方法

图1给出了现有常规鼓包设计的变量示意图，在现有方法中设计变量一般包括鼓包高度、鼓包长度、鼓包对称轴位置等，因此其几何结构也表现为轴对称形态。另外，现有鼓包优化设计方法所构建的鼓包几何轮廓由基于设计变量所定义的特征点插值而成，所以很难实现对除特征点以外位置的精确控制。现有鼓包设计方法都是在图1所示的基础几何形状上的微调，导致设计空间受到很大限制，难以充分探索各种非常规的鼓包形状对激波的控制效果。由于形式和设计变量的限制导致常规鼓包优化设计方法只能在一个较小的设计域内进行优化设计，也决定了其优化效果也相对有限。因此，针对现有常规造型方法的局限性，本文使用具有更高灵活性和多样性的高斯RBF曲线来代替现有常规造型方法。

Figure 1. Schematic diagram of design variables for the existing bulge design method

图1. 现有鼓包设计方法的设计变量示意图

$f\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\omega }_i}{e}^{\frac{-\Vert x-x^i\Vert }{2{\sigma }^2}}$ (1)

如公式1所示，高斯RBF曲线由多个高斯RBF基函数加权求和得到。其中$\omega$ 表示基函数的权重，$\sigma$ 表示宽度，$x^{\prime }$ 表示为中心点位置，n代表构成RBF曲线的基函数个数。

Figure 2. RBF basis function curve under different control parameters

图2. 不同控制参数下的RBF基函数曲线

图2给出了不同控制参数下的RBF基函数曲线，由该图可知：中心点$x^{\prime }$ 控制基函数的最大值的位置，宽度参数$\sigma$ 控制基函数曲线的尖锐和平滑程度，权重$\omega$ 决定每个基函数在RBF曲线中的贡献程度。较大的宽度会使基函数变得较宽和平滑，较小的宽度则会使得基函数曲线变得窄而尖锐。权重调整了基函数与RBF曲线之间的影响关系，权重越大，相关基函数的影响就越显著。权重的设置使得RBF曲线具有较高的灵活性。由于RBF曲线是由多个基函数加权相加后得到的，因此其具有局部调整的优点，对某一点进行调整并不会显著的影响其他区域，并且这种局部调整能力随着构成RBF曲线基函数个数的增加会相应的增强。高斯基函数曲线本身具有光滑性，所以由高斯基函数构建的RBF曲线也具有光滑的特点，在参数化建模时可以生成满足叶型设计要求的光滑曲线。因此，本文使用高斯RBF曲线对叶型进行局部变形。

Figure 3. Schematic diagram of the design domain and RBF curves within the design domain

图3. 设计域与设计域内RBF曲线示意图

从物理上看，对于超跨音涡轮叶栅，其吸力面侧的激波一般出现在吸力面中部附近，并且随着马赫数的增加，超声区域会逐渐扩大并向下游移动，激波出现的位置也会相应下移。根据在设计工况Ma = 1.05下的计算结果，选择激波/边界层作用区域为叶型变化的区域，如图3所示。在优化过程中，约束的施加可以减少计算量、提高计算效率，并保证优化设计结果符合物理实际。在本研究中，RBF曲线的控制参数范围区间如表1所示。

Table 1. Optimization parameter range

表1. 优化参数范围

2.2. 数值模拟方法验证

数值计算采用自行发展的非结构网格自适应求解器，其采用非结构网格上的迎风格式、并基于MPI进行并行计算[19]。在计算中，采用了SST双方程湍流模型。在已有工作中已对该求解器的精度进行了一系列验证，在此不再赘述[20]。在本文算例中使用的边界条件如下表2所示。

Table 2. Boundary condition and blade parameters

表2. 边界条件和叶片参数

2.3. 优化算法流程

在本研究中，采用粒子群优化算法(PSO)进行设计参数寻优，该算法模拟鸟类觅食行为，通过群体中的个体位置信息共享和随机扰动来确定在搜索空间内的下一步运动。粒子群在优化过程中不需要目标函数的梯度信息，对于CFD这种复杂的非线性优化具有很好的鲁棒性。优化流程从初始化参数开始，然后以三种不同工况下的总压损失系数作为目标函数进行加权计算。接着，更新粒子个体最优解和全局最优解信息。随后，判断相邻两次迭代目标函数值是否达到收敛要求。如果收敛，则保存数据并输出结果，见图4。如果未收敛，则根据更新的个体和全局最优解信息，调整设计变量进入下一次迭代。另外，为避免优化过程中出现的偶然性因素导致迭代优化进程停止，规定迭代次数不得少于500次。

Figure 4. Optimize flowchart

图4. 优化流程图

3. 结果与讨论

3.1. 设计优化结果

使用本文方法通过优化得到了激波调控后的叶型，如图5所示，“Base”表示基准叶型，“Opti”表示设计优化结果。在图5(b)中绘制了两个叶型几何的关键细节，可以发现优化设计结果凸起处迎风坡的坡度相对陡峭，背风坡的坡度相对较小且坡度变化过程相对缓慢。

在叶栅中，通常采用总压损失系数表征流动过程中损失的大小，其定义如下：

$C_p=\frac{p_{\infty ,t}-p_t}{p_t-p_s}$ (2)

其中$p_{\infty ,t}$ 为入口总压，$p_t$ 为出口总压，$p_s$ 为出口静压。图6给出了优化设计前后在不同马赫数下的总压损失系数，相对于基准结果，优化设计结果在较宽的工况范围内均有较好的气动性能，在设计工况Ma = 1.05时相对总压损失系数降低15.3%。

Figure 5. Baseline blade geometry and optimized blade geometry

图5. 基准叶型与优化叶型几何

Figure 6. Total pressure loss coefficient of baseline results and optimized results

图6. 基准叶型与优化叶型的总压损失系数对比

为了定量对比不同造型下激波的变化规律，引入激波函数来量化激波强度，其定义如下：

$S=\frac{\text{v}\cdot \nabla p}{a|\nabla p|}$ (2)

其中$\text{v}$ 为速度矢量，$\nabla p$ 表示压力梯度，a为当地声速。激波函数S是马赫数矢量在压力梯度方向上的投影，表示垂直于激波的法向马赫数。压缩区域S取值为正、膨胀区域S取值为负，其值的大小可以反映出气流压缩或者膨胀的程度，因此可以直观的描述激波、膨胀波等流动特征。图7为优化前后激波函数云图，通过该云图，可以观察到叶栅中存在的各种波系结构如膨胀波、压缩波和激波等，从而以量化的形式来揭示流场中速度场以及压力场的变化原因。

Figure 7. Shock wave function contour plots before and after optimization

图7. 优化前后激波函数云图

Figure 8. Mach number distribution before and after optimization

图8. 优化前后马赫数分布

图8展示了在设计工况下优化前后马赫数分布的云图。从图8(a)中可以看出，基准结果云图中，叶片吸力面中部出现了强烈的激波及其反射波。而在优化结果马赫数分布中，已观察不到明显的反射波，而是出现了图7(b)中展示的吸力面中部由凸起迎风面产生的压缩波，该压缩波在激波前产生增压效果，从而实现了对激波强度的有效控制。在图8(b)所示的优化结果流场中出现了一道位于吸力面中部的高速气流，这是图7(b)中吸力面中部展示的鼓包背风坡膨胀波加速气流形成的一个显著特征。由图5(b)可知，优化设计的背风侧轮廓呈现出缓慢向下游延伸的趋势，这一设计特点使叶栅通道内的气流在向下游发展的过程中受到连续膨胀波的影响，沿着缓长的背风侧轮廓被不断加速。

Figure 9. Mach number distribution on the suction surface before optimization and at the trailing edge after optimization

图9. 优化前吸力面及优化后尾缘处马赫数分布

在图9(a)中所展示基准结果在尾缘处的马赫数分布所示，在尾缘处，当来自吸力面和压力面的气流在尾缘基底区末端点交汇时会形成了以该汇集点为“振源”的两道向下游延伸的燕尾波，其压力面侧分支与相邻叶片的吸力面边界层相互作用并形成反射激波，其吸力面侧分支向下游流场延伸并与相邻叶片的尾迹相互作用，由此导致了该区域复杂的流动结构和明显的气动损失。结合图7(a)基准结果在尾缘处的激波函数值可以发现，尾缘处的激波处于强烈的压缩波与膨胀波之间，气流在流经该处时由于剧烈的压缩作用使得尾迹区出现了内凹，而在优化结果中该处被一系列的连续较为缓慢变化的膨胀波和压缩波取代，没有观察到明显的尾迹区内凹现象。

3.2. 减损机理分析

当前研究的鼓包减损机制主要依赖于鼓包产生的“压缩波–激波–膨胀波–压缩波”干扰模式，这种模式通过引入三个较弱的逆压力梯度来取代原有的一个强逆压梯度。尽管基于RBF曲线的优化设计方法已经通过前期分析证明了其有效性，然而，这种优化设计的具体减损机理，尤其是它与常规设计方法相比存在的差异，仍有待进一步明确。

图10展示了优化前后等熵马赫数沿着轴向弦长的分布，在基准结果中叶片吸力面中部等熵马赫数急剧下降形成了较大的局部逆压梯度，而观察优化结果，该处强逆压力梯度明显减弱。首先通过凸起迎风侧压缩波增压然后再经过此处弱激波的再压缩，由两段较弱的逆压梯度代替了原有的强逆压梯度，有效控制了激波强度以及激波/边界层的干涉强度，减少了气动损失。

Figure 10. Isentropic mach number distribution along the axial chord length before and after optimization

图10. 优化前后等熵马赫数沿轴向弦长分布

Figure 11. Streamlines at the shock wave on the suction surface

图11. 吸力面激波处流线

为了观察边界层分离的状况，图11展示了在设计工况下吸力面激波区域的流线图。在未经优化设计的情况下，流动分离现象起始于激波的入射点并观察到明显的流线抬起现象，随着逆压梯度的减弱，气流逐步重新贴合叶片表面。与此相反，在优化设计流场中由于凸起所形成的压缩波和较弱再压缩波增压作用，避免了强烈的逆压梯度的形成，从而没有在该区域引发明显的边界层分离，气流保持平稳流动，激波与边界层的干扰作用得到了有效地抑制，同时也减小了下游叶栅中流场压力的不均匀程度。

Figure 12. The circumferential isentropic Mach number distribution at the blade trailing edge

图12. 叶片尾缘部分沿周向等熵马赫数分布

在叶片尾缘，气流从叶片表面脱离，并向下游方向发展。受到叶片阻碍的影响，在尾缘基底区形成了一个低压区域。图12绘制了一段尾缘处叶片表面沿周向等熵马赫数的分布情况，从图中可以看到，基准结果尾缘处流场受到燕尾波影响，等熵马赫数沿周向分布出现剧烈变化，并伴随着强烈的逆压梯度产生。在图7(b)优化结果激波函数云图中，位于吸力面鼓包迎风坡处产生了一道明显的压缩波并逐渐向相邻上一叶片的尾缘区域扩散，这一现象升高了相邻叶片尾缘处的压力，减弱了尾缘处压力面激波与相邻叶片吸力面激波的相互作用，提升了叶栅的气动效率。

4. 现有鼓包造型方法与本方法的对比

Figure 13. Conventional bump optimized airfoil and geometry of optimized airfoil based on RBF curve method

图13. 常规鼓包优化叶型及基于RBF曲线方法的优化叶型几何

本研究旨在探讨基于RBF曲线的激波控制与优化方法，以及与现有常规鼓包优化设计方法在激波控制性能上的差异，并分析这些优化手段对气动性能的具体影响。本研究使用现有鼓包优化设计技术对同一研究对象在相同的设计域内进行了优化计算，最终得到最优叶型几何如图13中的“Bump”所示。其设计变量如图1所示，包含鼓包高度、鼓包长度、鼓包对称轴位置等。在图13(b)中展示的叶型几何细节可以看到，与常规鼓包设计方法设计出的对称鼓包结构相比，RBF曲线优化产生的鼓包形状在迎风侧呈现出更为陡峭的特征，在背风侧则显得更加平缓。

Figure 14. Comparison of total pressure loss coefficients under different operating conditions

图14. 不同工况条件下的总压损失系数对比

Figure 15. Streamlines and isentropic Mach number distribution at the bump under different control optimization methods

图15. 不同控制优化方法的鼓包处流线及等熵马赫数分布

图14绘制了两种不同设计优化方法所得出的叶型在不同工况条件下的总压损失系数，随着马赫数的不断增大，总压损失系数曲线的整体趋势也逐渐增大。由图中可以看出，本文方法得到的结果具有更出色的气动效率，在设计工况条件下，相较于常规鼓包优化结果，相对总压损失系数减少了8.8%；而常规鼓包优化结果相对于基准结果，相对总压损失系数减少了7.1%。观察图15中两种不同优化方法得出的最优结果流线分布，现有常规鼓包方法定义的迎风坡和背风坡具有相同的坡度，气流在经过迎风坡后由于逆压梯度的存在以及迎风坡的抬升作用使得气流在背风坡的尾部出现了流动分离情况。在图15(b)中所展示的基于RBF曲线的优化设计结果中并没有观察到明显的流动分离现象，这是由于背风坡是缓慢向下游发展的，有利于气流更好地贴附在叶片表面，减弱了流动阻力和摩擦阻力，提高了气动效率。另外，坡度相对较大的迎风坡会产生有利的压缩波，更有利于在激波前的增压过程，减弱激波强度。

5. 结论

本文根据跨声速叶栅鼓包控制激波损失机理，提出了基于RBF曲线造型的激波控制方法，并发展了相应的优化设计方法。在对使用该方法得到的优化结果进行详细的波系结构和减损机理分析后，与现有常规鼓包优化设计方法进行对比，得出了主要结论如下：

(1) 在Ma = 1.05的设计工况下，基于RBF曲线的激波控制方法在迎风面首先进行了预增压，减弱了激波处的强逆压梯度，抑制了流动分离现象，优化结果和常规鼓包优化设计结果相对于基准结果总压损失系数分别相对减少15.3%，7.1%。

(2) 吸力侧的背风坡产生的膨胀波能够影响相邻上一叶片的压力梯度，使尾缘处变化剧烈的压力梯度变得逐渐平缓，降低了尾缘处及下游叶栅中的压差不均匀程度。

(3) 在激波的作用范围内，坡度较大的迎风坡有利于在激波出现前实现快速增压，减弱激波/边界层干涉，坡度较小的背风坡有利于气流更好地贴附在叶片表面，避免流动分离的出现，减小流动阻力和摩擦阻力。

以上的结论是通过数值模拟得到的，后续工作中还需要对带有鼓包的叶栅进行实验或使用更高精度的高保真数值模拟方法进行仿真计算。另外，本文采用了RBF曲线来对在吸力侧取出的一段设计域内的叶型进行了设计，RBF曲线具有较高的灵活性和全局拟合能力，可以考虑将整个吸力侧或是尾缘作为设计域推测可能会获得更优的气动效率的叶型设计。本文的工作为激波损失控制方法探索更多的可行性提供了一些参考。

基金项目

国家自然科学基金面上项目(No. 52276031)，国家科技重大专项(No. J2019-II-0008-0028)。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献