基于横向运动的频移分析—对一种新检测原理的探讨

Analysis of Frequency Shift Based on Horizontal Movement—Discussion on a Novel Detecting Principle

摘要: 对于相对论Doppler效应，纵向和横向运动都会产生Doppler频移；在非相对论Doppler效应中，运动速度远小于光速，纵向运动会产生Doppler频移，而横向运动不会产生频移。在现实中，宏观物体的运动速度不可能接近光速，故涉及到的都是非相对论的Doppler效应。本文理论分析表明，当横向运动引起等效的纵向位移或引起纵向传播的电磁波的相位变化时，横向运动也有可能产生频移。这能够成为一种新的检测原理，用于检测运动速度和目标外形等。

Abstract: For relativistic Doppler Effect, both vertical and horizontal movements can generate Doppler frequency shift. The moving velocity is much less than the speed of light in the non-relativistic Doppler Effect, the vertical movement can generate Doppler frequency shift, while the horizontal movement cannot generate frequency shift. In reality, the movement velocity of macro-object is not close to the speed of light, so it is related to the Doppler Effect of non-relativity. Theoretical analysis in this paper shows that the horizontal movement will also generate frequency shift when the movement leads to equivalent vertical displacement or phase shift of the electromagnetic wave propagating in the vertical direction. This is able to be a novel detecting principle for detecting velocity, target shape, etc.

1. 引言

在日常生活中，人们都会有这样的体验：当鸣笛的火车迎面开过来时，观察者所听到的笛声音调由低到高；当火车急驰而过向远离观察者的方向运动时，听到的笛声音调则是由高到低。而且火车行驶的速度越快，观察者听到笛声音调的高低变化也就越明显。在物理学中，音调的高低是由声源振动的频率决定的。但在上述情况中，观察者听到的音调变化完全是由声源与观察者之间的相对运动所引起的。这一物理现象就是著名的Doppler效应，它是由奥地利物理学家Christian Johann Doppler于1842年最先发现的。此效应不仅仅适用于声波，也适用于所有类型的波，包括光波和电磁波[1] [2] 。

Doppler效应在现代科学技术领域中有着广泛的应用，如卫星定位、医学诊断、气象探测等等[1] [3] [4] 。特别是基于电磁波Doppler效应研制出的一种机载雷达——多普勒雷达，它可应用于导航、测速、测距、跟踪和引爆等诸多系统中，受到了人们极大的关注。直至今日，Doppler效应及其相关应用依旧是研究的热点问题，人们试图将它运用到更多的领域中，解决一些棘手的问题。目前，发现有不法分子利用鲜活农产品“绿色通道”夹带一些非鲜活农产品，使国家和人民的利益受到损失，而研发有效的监测手段和检测设备已成为了当务之急。由于国内外现有通关监测方法存在着成本、安全和可靠性等方面的问题，故考虑采用多普勒雷达来进行绿色通道车辆异常物品的监测，而其中关键的问题就是检测Doppler效应/频移。

本文基于传统Doppler效应的基本原理，对利用横向移动的检测装置来检测静止的不规则物体时和电磁波入射到横向运动的非均匀介质(周期结构)上出现的频移进行理论分析，并由此得出结论。

2. Doppler效应

若波源和观察者之间存在着相对运动，观察者接收到的频率就不同于波源发射的频率。这种由于相对运动引起的频率变化，就称为Doppler效应，而接收频率与发射频率之间的差频则称为Doppler频移。

2.1. 相对论和非相对论Doppler效应

对于相对论Doppler效应，其公式形式可表述如下：如图1所示，观察者A静止于S系中的O点，波源B静止于S'系的原点O'，且S'系相对于S系以速度v沿xx'正方向运动。设波源发射频率为f₀，观察

Figure 1. Doppler effect

图1. Doppler效应

者接收到的波的频率为f，则有

(1)

其中，当q = 0时， (发生“蓝移”)，q = p时， (发生“红移”)，这两种情况统称为相对论纵向Doppler效应；而当q = p/2时，，这种情况则称为相对论横向Doppler效应。可见，Doppler效应不仅与波源和观察者之间的运动速度有关，还与波源和观察者的相对位置有关；在相对论Doppler效应中，无论是纵向运动还是横向运动，f − f₀ ≠ 0都成立，总有Doppler频移产生。

然而，对于非相对论Doppler效应，考虑，那么忽略表达式(1)中的v²/c²项，即得

(2)

其中，当q = 0时，，q = p时，；而当q = p/2时，f = f₀。可见，在非相对论Doppler效应中，纵向运动会产生Doppler频移，但是横向运动则不会产生Doppler频移[4] -[6] 。

由于静止质量不为零的宏观物体其运动速度v不可能很接近光速c，一般都是。因而，在实际应用中，通常考虑的都是非相对论的Doppler效应。作为其中的一种典型情况，当只存在纵向运动时，Doppler效应具有下列计算公式：设某一波源发射的波的频率为f，波长为l，它们与波的传播速度v的关系是f = v/l。

若观察者静止，当波源以速度w向观察者运动时，观察者所接收到的频率为

(3)

而当波源以速度w背向观察者运动时，观察者所接收到的频率则为

(4)

同理，若波源不动，当观察者以速度w向波源运动时，观察者所接收到的频率为

(5)

而当观察者以速度w背向波源运动时，观察者所接收到的频率则为

(6)

从中可以发现：波源和观察者之间的距离缩短(相向运动)时，接收频率高于发射频率；而两者之间的距离增大(反向运动)时，接收频率则低于发射频率 [1] [2] 。

2.2. 纵向运动产生的Doppler频移

假设在天线的有效范围内，有一运动目标，如图2所示：天线1发射电磁波到运动目标上，天线2接收被其反射回来的电磁波。令发射频率为f₀，电磁波的传播速度为光速c，目标的运动速度为v。由Doppler效应的计算公式(即式(6))，可知运动目标接收到的频率为

(7)

而再根据式(4)，可得天线2接收到的频率则为

(8)

那么天线2接收到的频率与天线1发射的频率之间的关系即为

(9)

结果表明：天线1发射频率为f₀的电磁波，目标以纵向速度v背离天线运动，天线2接收运动目标反射回来的电磁波，由于Doppler效应，那么天线2接收到的频率将是发生两次Doppler效应后的频率，即f₂。用Df表示Doppler频移，则为

(10)

由上式可知，Doppler频移与相对于天线的纵向速度v成正比。因为发射频率f₀、光速c都是已知的参量，所以只要能测出Doppler频移Df，就可以求出运动目标的速度v，即v = Dfc/( 2 f )。这就是多普勒雷达测速的基本原理 [1] [2] 。

3. 横向运动引起的频移

当波源和观察者之间存在纵向运动，引起纵向位移，就一定会产生Doppler频移；而横向运动在一般情况下不可能引起纵向位移，也就不会产生Doppler频移。然而，在一些特殊情况下，横向运动还是有可能产生频移。

3.1. 横向运动引起的Doppler频移

假若将一静止的不规则物体作为目标，通过移动检测装置对其进行检测，如图3所示：在t₀时刻位于A处的检测装置向此不规则物体发射频率为f₀的电磁波，t₁时刻到达此物体表面并发生反射，这段时间(t₁ − t₀)里检测装置移至B处；而被反射回来的电磁波，在t₂时刻又被移动到C处的检测装置接收。由于目标表面不规则，那么不同时刻目标和检测装置之间对应的纵向距离是不等的，即存在纵向位移。也就是说，检测装置相对于目标的横向运动可以等效为目标和检测装置之间的纵向运动。

考虑到电磁波在空气中传播的速度(光速c)远大于宏观物体的运动速度，因而当不规则物体和检测装置之间的距离一定时，可以认为入射波和反射波传播的时间近似相等，即t₁ − t₀ » t₂ − t₁。令在t₀、t₁和t₂时刻检测装置和不规则物体之间的纵向距离分别为L₀、L₁和L₂，其中L₀ = c(t₁ − t₀)；再设检测装置以速度匀速移动，则AB = v_D(t₁ − t₀)，BC = v_D(t₂ − t₁)，且AB = BC。在不规则物体表面的入射点处做切线，根据三角形相似原理，可得：L₁ − L₀ = L₂ − L₁。若将不规则物体和检测装置之间的等效纵向速度记为v，那么

也可表示为

(11)

由Doppler效应的计算公式(即式(4))，可知t₁时刻，在不规则物体上检测到的电磁波频率为

(12)

而再根据式(6)，可得t₂时刻，检测装置接收到的电磁波频率则为

Figure 2. Doppler frequency shift caused by vertical movement of objective

图2. 目标纵向运动产生的Doppler频移

Figure 3. Doppler frequency shift caused by horizontal move- ment of detecting device

图3. 检测装置横向运动引起的Doppler频移

(13)

那么发生两次Doppler效应后的Doppler频移即为

(14)

将等效纵向速度的表达式(即式(11))代入上式，进而得到

(15)

由此可知，只要横向运动时检测装置与目标之间的相对纵向距离发生改变(即L₂ ≠ L₀)，就会有Doppler频移产生。另外，如果已知随时间变化的Doppler频率，那么就可以得到检测装置与无规则物体之间纵向距离的时间函数，即不规则物体的外形。

3.2. 非均匀介质横向运动引起的频移

作为一种特殊的非均匀介质，周期结构也是不规则物体。通过对一系列运动周期结构的电磁散射问题进行研究 [7] - [9] ，结果发现：当周期结构横向运动时，得到散射场的频率不同于入射场的频率，并且此时的频移与运动速度有关。如图4所示，在自由空间(区域I)与相对介电常数为e的电介质(区域II)的分界面上，有一周期薄层以速度v沿平行于分界面方向匀速运动，假设其相对介电常数在运动坐标系(相对

于静止坐标系以速度运动)中可表示为

(16)

其中，e_a是平均相对介电常数，d是调制系数，a是周期。针对宏观物体的运动速度v远小于光速c的情况()，根据Galilean变换可知：在静止坐标系中周期薄层的相对介电常数为

(17)

可见，它具有时空周期介电常数分布。

以TE波为例，假设频率为w 的入射波的电场表达式为

(18)

根据狭义相对性原理，物理定理对于做匀速运动的坐标系而言形式不变。那么在运动坐标系中反射电场和透射电场可表示为

(19)

(20)

Figure 4. Structure of moving periodic thin-film

图4. 运动周期薄层结构

这里，是Floquet模式函数，表示由于周期结构的存在而出现的一系列谐波分量。其中，w' 是运动坐标系中的频率；，k_x表示x方向的传播常数，为模式阶数。由Galilean变换可得

(21)

可见在静止坐标系中反射波和透射波的频率为

(22)

那么产生的频移，即散射波与入射波的频率之差为

(23)

可知，除了基次模(m = 0)外，其他所有高次模对应的频移都与周期薄层的横向运动速度v成正比。通过选择适当的周期a和阶数m，运动周期结构可以用于速度检测。换句话说，这种特殊的结构可以作为一种速度-频率转换器而得到广泛应用。

4. 讨论和结论

对于相对论Doppler效应，无论是纵向运动还是横向运动，都会有Doppler频移产生。而在非相对论Doppler效应中，运动速度远小于光速，纵向运动会产生Doppler频移，但横向运动则不会产生Doppler频移。由于宏观物体的运动速度不可能很接近光速，因而在实际应用中，人们通常关注的都是非相对论的Doppler效应。众所周知，纵向运动一定会产生Doppler频移，而横向运动一般不会产生Doppler频移。然而，上述分析表明，在一些特殊的情况下横向运动也能引起频移，即：横向运动引起等效的纵向位移，或者横向运动引起纵向传播的电磁波的相位变化。

如果目标为外形不规则的物体，当横向移动检测装置时，会发现不同时刻目标和检测装置之间的纵向位移发生变化，这可以等效为在二者之间存在着纵向速度，从而有Doppler频移产生。反之，当检测装置静止，而不规则物体横向运动时，同样会产生Doppler频移。倘若平面波入射到横向运动的非均匀介质(如周期结构)表面上，散射波的频率将不同于入射波，且频移与速度成正比。

多普勒雷达是基于Doppler效应的典型应用，根据纵向运动产生Doppler频移的原理，人们通常利用它来检测目标与其之间的相对运动速度。对于不规则物体或非均匀介质，同样可以采用多普勒雷达来进行检测，包括其相对运动速度、实物外形等等。

本文仅仅对横向运动是否可以引起频移进行了探讨，并只使用简单和有限的数学语言描述了基本的检测原理。基于Doppler效应的理论分析表明，当横向运动引起等效的纵向位移或引起纵向传播的电磁波的相位变化时，横向运动就会产生频移。