1. 概述
现有的流体运动阻力系数图，共有三个，即尼库拉兹(Nikuradse) [1] 人工加糙的管流阻力系数图；穆迪(Moody) [2] 商业管的阻力系数图和蔡克士达(Α.П.ЭЕГЖДА) [3] 人工加糙的矩形明渠均匀流阻力系数图。
尼库拉兹的阻力系数图在水力学中占有重要的地位，他是第一个用图形的方式将管流中的阻力系数，从层流到紊流直到阻力平方区，给出了一个直观的显示。
本文对这三种阻力系数图做了评述，并证明在矩形明渠流中不可能作出像尼库拉兹那样的阻力系数图，只有在二维明渠流中，才能作出像尼库拉兹那样的阻力系数图。
本文是继尼库拉兹对轴对称管流的阻力系数图之后，给出了二维明渠均匀流的阻力系数图。
2. 关于尼库拉兹、穆迪和蔡克士达阻力系数图的评述
2.1. 关于尼库拉兹粗糙管中水流阻力系数图的评述
尼库拉兹于1933年发表了粗糙管中水流的阻力系数图，见图1，此图使我们对水流从层流到紊流直到阻力平方区，有了更清楚、更直观的概念。
图中纵坐标为阻力系数“
”，其定义为
(1)
式中：
为水管直径(m)；
为管内水流平均速度(m/s)；
为
(m)距离内的水头损失(m)；
为重力加速度(m/s2)。
图1中横坐标为雷诺数
，
为水的运动粘滞系数(m2/s)。
2.1.1. 水力光滑曲线
图1中的cd曲线称为水力光滑曲线，其公式为：
(2)
关于式(2)，文献 [4] 中认为“由此式可以看出，光滑区的沿程水头损失系数‘
’只与水流的雷诺数有关，粗糙度不起作用”；文献 [5] 中认为“紊流光滑区不同相对粗糙度
的试验点都落在直线cd上，说明与
无关”。
二者都认为式(2)中的阻力系数
，只同Re有关，与
无关，这种看法是不正确的。
粘性底层的厚度
大于粗糙高度
(即 [5] 中的
)时，为水力光滑，否则将离开cd线进入完全粗糙的过渡区。其临界点为
(3)
式(3)中，
为水管半径，由式(2) (3)可得表1。
表1中的数据，除
的特殊情况外，都同图1一致。一定的
值，如
，当
，即
时，将离开cd线进入过渡区。
时，才为水力光滑，受式(2)的约束。所以水力光滑线cd不是与
无关。
2.1.2. 层流到紊流的过渡区
从尼库拉兹的试验资料可得，其试验雷诺数的范围见表2。
分析表2可知，在
的过渡区并无试验资料；
时，最小
。美国罗士(Hunter Rouse)教授1981年来华讲演中，也曾指出，过渡区的这些试验点是人为给出的，不是试验结果。
从层流
转变为紊流，其起点与扰动及管壁的粗糙有关，所以在文献 [6] 中，从层流到紊流的过渡给出了多条曲线。
2.2. 关于穆迪阻力系数图的评述
与前述阻力系数图不同，穆迪阻力系数图(见图2)不是人工加糙的，而是用于商业管道。商业管道的
Figure 1. Nikuradse resistance coefficient diagram
图1. 尼库拉兹阻力系数图
表1. 计算结果
表2. 雷诺数范围
Figure 2. Moody resistance coefficient diagram
图2. 穆迪阻力系数图
糙度是非均匀的，各种各样的，如何来定义它们呢？仍然需要回到均匀加糙，把商业糙度化为当量的均匀糙度，用尼库拉兹糙率来表示。
水力光滑管的公式仍为式(2)。阻力平方区的公式也和尼库拉兹一样为：
(4)
式中
为当量糙度。
从光滑到完全粗糙的过渡区，如图2所示，和尼库拉兹的图1不同，考里补克(Colebook)用下式表示：
(5)
式(5)和商业管道的阻力试验结果的比较见图3 [7] 。
式(2)可以改写为：
(6)
式(5)为式(4)和式(6)之和。
大时式(5)趋近式(4)；
小时，趋近式(6)。
普遍的看法认为，造成这种差别的原因是，商业管道的糙率是不均匀的。笔者提出下面的看法：
在水力光滑区和完全粗糙区，穆迪图和尼库拉兹图一样，只在过渡区不同，令人费解。
1) 式(5)和式(6)没有交点，这不合理，理由在2.1.1节中已经讲过。
2) 式(5)在
小时，趋近式(6)，说明式(5)在
小时才合理。文献 [2] 中所给的试验值也主要为小的
，最小
。从图1可见，
小时，过渡区与式(5)更接近。
3) 式(5)所给的过渡区终点
(
为边界层名义厚度)；尼库拉兹试验
；依本(Ippen)在 [2] 的讨论中所举商业管试验
最大为2.5，均和6差别很大。
4) 单个物体的阻力试验见图4，除具有固定分离点的圆盘外，其他物体的阻力系数
(和
类似)，在达到阻力平方区的分布都和尼库拉兹试验相似。因为在达到阻力平方区以前，阻力系数都要除以
，所以
先减小是合理的。
5) 商业管道的相对粗糙
都很小，又无系统试验，加上其试验误差(5%~10%)，二者又不在同一个试验范围，可能是造成差别的原因。
6) 可以认为，图3为图1在
小时的近似。
Figure 4. Resistance test diagram of single object
图4. 单个物体的阻力试验图
2.3. 关于蔡克士达阻力系数图的评述
蔡克士达在矩形明流水槽中进行了类似于尼库拉兹在圆管中进行的水流阻力试验 [3] 见图5，得出
(7)
式中：
为水力坡度；
为水力半径(m)，
，其余符号同前。
在
大时，式(7)变为：
(8)
即阻力系数只是
的函数。
我们对上述问题作参数分析如下：
(9)
式中：
为槽宽(m)，
为水深(m)。
Figure 5. Segsda resistance coefficient diagram
图5. 蔡克士达阻力系数图
在槽宽
很大，水深
很浅时，
，则式(9)变为
(10)
式(7) » 式(10)，所以(7) (8)只能近似地用在宽浅的矩形渠道，而非对所有矩形渠道都正确，因为
在管道中
时，1、2、3几何相似
在矩形槽中
时，1、2、3不一定几何相似
例如：图6中，二图水力半径
相等(
)，但二图几何不相似。所以，在阻力平方区，管流中
相等时，阻力系数相等；矩形明渠流中，
相等，阻力系数不一定相等。
在二维明渠均匀流中
时，1、2、3几何相似，所以只有在二维明渠均匀流中，才存在着和尼库拉兹管流相似的阻力系数图。
3. 二维明渠均匀流的阻力系数图
前面已经指出，在矩形槽的明渠流中，不存在如管流中的阻力系数图，只有在二维明渠均匀流中，存在着和管流中类似的阻力系数图。
3.1. 层流区
图7所示为二维明渠均匀流，底坡
，水深
(m)，平均流速
(m/s)，雷诺数
，
时流动为层流，其阻力系数已知为：
(11)
阻力系数定义同前。
3.2. 水力光滑区
平板上的紊流边界层的流速分布为 [4] [7]
Figure 7. Two-dimensional open channel uniform flow
图7. 二维明渠均匀流
其平均流速为：
(12)
因为
所以
。
代入式(12)得：
(13)
3.3. 粗糙区
粗糙平板上的紊流流速分布公式为 [4] [7] ：
水深
内的平均流速为：
(14)
如前
代入式(14)，得
(15)
计算结果见表3。
3.4. 水力光滑到完全粗糙的过渡区
3.4.1. 起点
粘性底层的实际厚度
经计算验证，可用
，
，
令
则得
(16)
式(16)代入式(13)可得：
(17)
由式(16)和式(17)可得表4。
3.4.2. 终点
过渡区的终点，即完全粗糙起点为
，
，
，
，则可得：
(18)
由式(15)和式(18)可得表5。
3.5. 阻力系数图
用以上结果(式(11) (13) (15) (17) (18))可得二维明渠均匀流的阻力系数图，见图8。尼库拉兹阻力系数图为轴对称流；本文图为二维流。
表3. 计算结果
表4. 计算结果
表5. 计算结果
Figure 8. Resistance coefficient diagram of two-dimensional open channel uniform flow
图8. 二维明渠均匀流阻力系数图
4. 流速计算
利用上述阻力系数可以进行二维明渠均匀流的流速计算。明渠均匀流水头损失
的公式为：
表6. 比较结果
可得
(19)
式中
为渠道底坡或水面坡度。
4.1. 层流
把式(11)代入式(19)，可得二维明渠均匀流中，层流的流速计算公式为：
(20)
式中符号同上。
4.2. 粗糙区
将式(15)代入式(19)，可得完全粗糙区的二维明渠均匀流的流速计算公式为：
(21)
我们把式(21)和文献 [3] 中宽浅矩形渠道的试验结果比较如表6。
表6中
为渠宽，
为水深，
为试验平均流速，
为式(21)的计算值，二者很吻合。二维流因无边墙，所以计算值稍大。
5. 结语
本文对尼库拉兹、穆迪和蔡克士达三个阻力系数图进行了评述。认为蔡克士达在矩形明渠流中不可能作出类似于尼库拉兹那样的阻力系数图。只有在二维明渠均匀流中才存在和尼库拉兹图类似的阻力系数图。本文利用在蔡氏论文发表前已有的几种流速分布公式，作出了二维明渠均匀流的阻力系数图。利用上述二维阻力系数图，进行了二维粗糙底面上的均匀流流速计算，计算结果和蔡氏试验中的宽浅矩形水槽试验结果相比较，二者很吻合。