摘要: 本文研究了微分方程对称方法在非线性偏微分方程边值问题中的应用。首先，基于微分特征列集算法确定了给定非线性偏微分方程边值问题的多参数对称；其次，利用对称将非线性偏微分方程边值问题化为常微分方程初值问题；最后，利用龙格-库塔法求解了常微分方程初值问题的数值解。
Abstract:
We study the applications of the symmetry method on the boundary value problem for nonlinear partial differential equation. Firstly, the multi-parameter symmetry of a given boundary value problem for nonlinear partial differential equation is determined based on differential characte-ristic set algorithm. Secondly, by using the symmetry, the boundary value problem for nonlinear partial differential equation is reduced to an initial value problem of the original differential equ-ation. Finally, we numerically solve the initial value problem of the original differential equations by using Runge-Kutta method.
1. 引言
Lie对称是公认的普适性方法之一，它以诸多传统方法为其特例，如：分离变量法、行波变换、相似变换等 [1] 。对称理论在现代数学、物理和力学等科学中有重要的理论和实际意义，并且已有了广泛的应用 [2] [3] 。但是除了在文 [1] [4] [5] 中研究者做了一些对称群在边值问题的应用外，这方面的研究还很少，所以利用对称群研究偏微分方程(简记为PDEs)边值问题是对称理论应用新的研究领域。在诸多求解非线性的问题中，常常利用相似变换对PDEs进行约化或降阶。我们知道PDEs的Lie变换群可以产生更一般形式的相似变换，并且这些变换有更多的数学和物理意义，所以利用对称方法研究非线性PDEs边值问题比直接用相似变换更有其优越性。
最近我们基于微分特征列集算法 [6] [7] 研究了对称方法在非线性PDEs边值问题中的应用，并且将对称方法、对称分类与数值方法、同伦分析方法进行结合解决了非线性PDEs边值问题 [8] - [11] 。也有研究者基于微分特征列集算法，将对称方法与变分迭代法、同伦摄动法结合，求解了PDEs边值问题 [12] [13] 。本文中，我们将基于微分特征列集算法，有效结合对称方法和数值方法求解一个非线性PDEs边值问题。
2. 一个非线性PDEs边值问题的对称约化及其数值解
考虑一个如下非线性PDEs边值问题
(1)
其中
为常数。相应的边界条件为
，
，若
(2)
，若
(3)
下面引入流函数
(4)
将上面的关系代入(1)~(3)，得到
(5)
满足边界条件
，
，若
(6)
，若
(7)
其中函数
，
在后面根据边界条件在对称作用下的不变性来确定。
2.1. 边值问题的对称约化
下面利用对称方法约化边值问题(5)~(7)。
第一步：确定PDE边值问题(5)~(7)的多参数对称。
假设非线性PDE(5)的对称的无穷小向量为
其中
，
，
为该对称的无穷小生成函数。
1) 产生关于无穷小生成函数的确定方程组。
根据Lie算法，利用产生确定方程组的算法 [7] 可得到方程(5)的对称的确定方程组，但是难于人工求解。我们可以利用微分特征列集程序包进行计算得到与确定方程组等价的特征列集对应的方程组，即
(8)
2) 确定多参数对称。
通过求解方程组(8)，得到无穷小生成函数
即可得到对称的无穷小向量为
(9)
其中
为任意常数，
为任意函数。
第二步：约化边值问题。利用对称(9)将边值问题(5)~(7)约化为常微分方程初值问题。
对称(9)的特征方程为
由
，得到不变量
同理可从特征方程得到
(10)
将(10)代入方程(5)，可得到常微分方程
(11)
根据PDEs边值问题的边界条件在对称群作用下的不变性 [1] 知，边界条件(6)，(7)在对称(9)的延拓作用下不变，故有
，当
(12)
，当
(13)
，当
(14)
其中
为对称
的一阶延拓的无穷小向量，
为对称
的二阶延拓的无穷小向量，即
由关系式(12)，(13)，(14)可以确定函数
，即
，
其中
为任意常数。
为了对应边界条件(6)和(7)，取
，故有
当
时，
。
根据边界条件(6)，(7)和关系(10)，得到初值条件
(15)
2.2. 边值问题的数值解
下面我们利用四阶龙格–库塔法求解常微分方程初值问题(11)，(15)的数值解。
为了使用龙格–库塔法，首先将(11)，(15)化为一阶常微分方程初值问题。令
则(11)，(15)可以化为
(16)
相应的有初值条件
(17)
令
其中
都是
的函数，那么可以建立龙格–库塔公式
其中
，
为步长。
常微分方程(16)中的常数
和初始条件(17)中的
取其不同值时，我们也可以得到相应的数值解。下面我们取
，并且
时，借助Mathematica符号系统可以得到函数
在区间
上的数值解，如图1所示。
3. 结论
本文研究了微分方程对称方法在非线性PDE边值问题中的应用，也探索了利用对称方法与数值方法的有效结合求解PDE边值问题的新途径。我们首先基于微分特征列集算法确定了给定非线性PDE边值问题的多参数对称，并利用对称将非线性PDEs边值问题约化为常微分方程初值问题。其次我们充分考虑到对称方法与数值方法的彼此互补性，借助于Mathematica符号系统利用四阶龙格－库塔法求解了上一步得到的常微分方程初值问题的数值解。得到的结果充分体现了对称方法在偏微分方程应用中的优越性，并且我们在本文中有效结合对称方法和数值方法求解了边值问题，这项研究也推广了对称方法的应用范围。
基金项目
本文由国家自然科学基金项目(11571008)，内蒙古自治区自然科学基金(2014MS0114)资助。
*通讯作者。