1. 引言
Clifford代数是Clifford建立的可结合不可交换的代数，在理论物理、弹性物理和经典分析等方面有着广泛的应用 [1] 。1982年，Brackx，Delanghe和Sommen [2] 建立了Clifford分析的理论基础。近年来，Eriksson-Bique [3] 和张艳慧，袁洪芬，乔玉英 [4] [5] ，谢永红等在Clifford分析做了大量的工作。2008年，彭维玲等 [6] 进一步研究了Clifford分析中k-超正则向量值函数的性质。2009年，Eriksson [7] 和Orelma提出了实Clifford代数中的k-Hypergenic函数。2013年以来，谢永红与杨贺菊等 [8] [9] [10] 研究了与k-Hypergenic函数相关的一些问题，2014年和2016年，边小丽等 [11] [12] 研究了复Clifford分析中的复k-超单演函数及复k-超正则向量值函数的性质，本文在文献 [7] 和 [8] 的基础上，受文献 [6] 和 [11] 的启发，在k-超正则向量值函数的定义的基础上，首先给出了复Clifford代数中的向量值函数和调和向量值函数的定义，然后引入了一个偏微分方程组，借助这个偏微分方程组讨论了向量值函数的性质及其与调和向量值函数的关系，最后得到这个偏微分方程组可解性的充分必要条件。
2. 预备知识
设是维的复Clifford代数空间，单位元为，由生成，且规定
中的任意元素能表示为 ()，其中，或。对于任意的，对合运算定义如下：
，其中表示中元素的个数。
对任意的，有。
共轭运算：。
对任意的可唯一的分解为，其中。定义两个映射:和，使得，，则分别称为的部和部，将和分别简记为和，且对任意的，有
称是中的向量。
引入复Dirac算子和修正的复Dirac算子：
,
设为中的区域。函数可表示为，其中为复值函数。定义在上取值于中的有次连续偏导数的函数的全体记作。
定义1：设为中的区域，若一个函数 在 上满足，且，则称为上的复向量值函k-Hypergenic数。
定义2：若二次连续可微函数满足，且，则称为复k-Hypergenic调和向量值函数，特别当时，称为复Hypergenic调和向量值函数。
3. 主要结论
引入组(H)：
(1)
定理1：设，，则是一个复k-Hypergenic向量值函数的充要条件是组(H)成立。
证明：由
则容易验证是一个复k-Hypergenic向量值函数的充要条件是组(H)成立。
定理2：设和分别为复常数，若和为上的复k-Hypergenic向量值函数，则为上的复k-Hypergenic向量值函数。
定理3：若是复k-Hypergenic向量值函数，则也是复k-Hypergenic向量值函数。
证明：由又由是复k-Hypergenic向量值函数，则，且，从而是复k-Hypergenic向量值函数。
定理4 [3] ：设，在上是二阶连续可微的，则
(2)
由定理4，有
定理5：是复k-Hypergenic调和向量值函数的充要条件是均满足
(3)
且满足方程
(4)
定理6：设是二次连续可微函数，是组(H)的解的充要条件是和都是复k-Hypergenic调和向量值函数。
证明：必要性：首先证明是复k-Hypergenic调和向量值函数，对(1)式中的分别关于求偏导数，得出
由(1)式中的，得出
从而有
即满足(3)。
下面对(1)式中的关于求偏导数
即
由定理5知是复k-Hypergenic调和向量值函数。
下面证明是复k-Hypergenic调和向量值函数。
由于
记，第一步证明满足(3)式，事实上
第二步证明满足(3)式，事实上
第三步证明满足(4)式
综上可知，若是组(H)的解，则和都是复k-Hypergenic调和向量值函数；反之，若和都是复k-Hypergenic调和向量值函数，则分量作成的函数是组(H)的解。
基金项目
国家自然科学基金数学天元基金(11226086, 11526154)；国家自然科学基金(11601390)；国家自然科学基金面上项目(11472298)；天津职业技术师范大学校级项目(KJ14-30)。
参考文献