随机矩阵非1特征值的新包含集

New Inclusion Sets of Eigenvalue Different from 1 for a Stochastic Matrix

摘要: 利用双α-型特征值包含定理及修正矩阵理论，给出随机矩阵两个新的非1特征值包含集，并由此得到随机矩阵非奇异的两个新的充分条件。数值算例表明，所得结果优于几个现有结果。

Abstract: Two new inclusion sets are given to localize all eigenvalues different from 1 for stochastic matrices by using the double α-eigenvalue inclusion theorem and the theory of modified matrices, and then two new nonsingular sufficient conditions of stochastic matrices are obtained. Numerical examples are given to illustrate that the proposed sets are better than the sets were obtained from the existing literatures.

1. 引言

随机矩阵及其特征值定位在人口流动模型、计算机辅助设计等领域都有着重要应用 [1] [2] ，其定义如下：

定义1：设为非负矩阵。若它的所有行和都为1，即

则称为(行)随机矩阵。

由非负矩阵的Perron-Frobenius定理知，1是随机矩阵模的最大特征值，称为占优特征值，且是其对应的一个特征向量。故对于随机矩阵特征值的定位问题，只需对其所有非1特征值定位即可。为研究该问题，L. J. Cvetković等在 [3] 中引入修正矩阵的概念，并将Gersgorin圆盘定理 [4] 应用于修正矩阵，得到如下结果：

定理2 [3] ：设为随机矩阵，表示的谱，为的迹，，，若，则

Shen等在 [5] 中通过给出随机矩阵非奇异的三个充分条件，得到了随机矩阵非1实特征值的三个包含集。Li等在 [6] 中推广了Shen的结果，又得到了如下定理：

定理3 [6] ：设为随机矩阵，若，则

其中

对于随机矩阵的特征值定位问题，人们总是力求用尽可能少的计算量得到尽可能精确的特征值包含区域，但现有的结果还远远未达到人们的期望。因此有必要对其继续进行研究。本文利用修正矩阵及双a-型特征值包含定理得到随机矩阵非1特征值的两个新包含集，且由此得到随机矩阵非奇异的两个充分条件。

2. 随机矩阵非1特征值包含集

为下文讨论方便，首先给出如下定义、引理、定理：

定义4 [7] ：设，若存在使得

其中

则称为双a₁-型矩阵。

定理5 [8] ：若为双a₁-矩阵，则是非奇异的。

定理6 [8] ：(双a-型特征值包含定理) 设，则

其中

引理7 [3] ：设为随机矩阵，对任意的，若，则是修正矩阵的特征值。

下面给出随机矩阵非1特征值的两个新包含集。

定理8：设为随机矩阵，若，则

其中

证明：令，其中，则

设，由引理7知，再由定理6得

其中

又由于

故

故结论成立。

定理9：设为随机矩阵，若，则

其中

证明：令，其中，则

设，由引理7知，再由定理6得

其中

又由于

故

故结论成立。

3. 随机矩阵非奇异的两个新充分条件

本节利用定理8和定理9给出随机矩阵非奇异的两个新的充分条件。

定理10：设为随机矩阵，若存在使

则是非奇异的。

证明：(反证法)假设是奇异的，则，由定理8得，故对任意的，存在使得

即

这与条件矛盾，故是非奇异的。

Table 1. The comparisons of and

表1.与比较表

Table 2. The comparisons of and

表2.与比较表

定理11：设为随机矩阵，若存在，使得

则是非奇异的。

证明：(反证法)假设是奇异的，则，由定理9得，故对任意的，存在使得

即

这与条件矛盾，故是非奇异的。

4. 数值算例

本节应用数值算例对本文所得结果与 [6] 中结果进行比较，下例中统一取。

首先比较定理7和定理8。

例1：利用MATLAB代码

生成50个随机矩阵，并对和作图，得到两者的包含关系(见表1)，表1表明绝大部分情况下定理8比定理9得到的特征值包含集更精确。

下面比较定理8所给的特征值包含集与 [6] 中的包含关系。

例2：利用MATLAB代码

产生50个随机矩阵，并对和作图，得到两者的包含关系(见表2)，表2表明定理8比 [6] 中所给的特征值包含集更精确。