在稠油热采中，蒸汽注入参数合理化选择、产量的预测、剩余储量的计算、吞吐过程中的热效率计算，这些都必须知道加热半径，因此加热半径合理计算在热采中起着重要作用。在加热半径计算方面，各学者已做了大量工作，Marx-Langenheim [1] 假设油层均质，通过对纵向热损失的研究提出了热采油藏加热面积的计算公式，但未考虑轮次加热；窦宏恩等 [2] 考虑了轮次加热，但是没有考虑焖井时间对加热半径的影响，也未考虑井筒向地层传热的热量损失；刘鹏 [3] 有考虑焖井时间对加热半径的影响，但是在推导过程中出现了错误，也未考虑井筒向地层传热的热量损失，在考虑轮次时的加热半径，需要计算上轮次的平均温度，文献 [4] 认为地层温度不是恒定的，文献 [5] 认为从井筒到原始地层的温度分布是逐渐降低的，文献 [6] [7] [8] [9] 对水平井加热半径做了研究。笔者在前者的基础上建立了新的加热半径计算公式，其公式考虑井筒向地层传热的热损失，也考虑焖井时间对顶底层传热的热损失。笔者将各文献的内容进行总结，系统性地得到直井加热半径的求解方法及过程。
2. 数学模型的建立
在蒸汽吞吐中，根据能量守恒原理，热量主要包括4大部分，分别为蒸汽的注入热量、井筒扩散引起的热损失热量、顶底层扩散引起的损失热量、油层吸收热量，如果是多轮次开采还有液体带走的余热。其示意图如图1所示。
Figure 1. Schematic diagram of energy distribution in thermal recovery process
图1. 热采过程中能量分布示意图
2.1. 井筒热损失分析
从井口到井底，热量通过井筒传到地层引起的热损失称为井筒热损失，曾玉强 [8] 研究了井筒热损失计算公式并作了详细推导，这里只引用其计算公式。
(1)
(2)
式中：Qhl为蒸汽注入井筒过程中的热量总损失，W；Uto为井筒总传热系数，W/(m2∙K)；rto为油管外半径，m；Ts为蒸汽温度，K；λe、λs都为油层导热系数，单位分别是W/(m∙K)、kJ/(h∙m∙k)；Tfi为地表的温度，K；H为井深，m；f(t)为Ramey时间函数；η为井筒热损失率，%；Ms为注入的蒸汽质量流速，kg/h；Hw为井口注入温度下水的热焓，kJ/kg；X为井底蒸汽干度，%；Lv为蒸汽的汽化潜热，kJ/kg；gf为静温梯度，℃/100 m。
2.2. 考虑焖井时间对顶底层扩散的影响
顶底层扩散引起的热损失从注汽到生产都存在，笔者之研究焖井段顶底层热损失，刘鹏 [3] 在研究热量向顶底层扩散时，公式推导过程中出现了错误，笔者做了重新的推导，推导过程如下：
导热速度为：
(3)
式中：ql为顶底层导热速率，kJ/h；Tr为加热区温度，℃；αe为顶底层扩散系数，m2/h；Ti为原始地层温度，℃；tm为焖井时间，h。
顶底层扩散热量Qd为：
(4)
刘鹏 [3] 给出了加热区温度与注汽温度的关系：
(5)
式中：R为计算半径，m；Re为供给半径，m；Rw为井筒半径，m；Ts为注汽温度，℃。
联立式(3)~(5)求解出顶底层热量损失为：
(6)
2.3. 加热半径计算公式
油层吸收热量：
(7)
(8)
式中：h为油层厚度，m；Mr为油层的热容量，kJ/(m3·℃)；Qy为油层吸收热量，kJ；Qz为注入热量，kJ；tz为注蒸汽时间，h；qs为注汽速率，kg/h。
将式(1)~(8)联立求解得到如下公式：
(9)
如果考虑轮次，需计算上一轮次带走的余热，其加热半径计算公式为：
(10)
其中：
(11)
式中：Qr为上一轮次的余热，kJ；Rn-1为上一轮次的加热半径，m；Tavg为加热区的平均温度，℃。
平均温度计算比较复杂，其李春兰 [10] 给出了较为简单的平均温度计算公式：
(12)
式中：Tah为焖井结束后加热半径边缘的温度，℃，一般根据黏温曲线得到，即稠油变为稀油的临界温度；Taw为焖井结束后井底温度，℃。
3. 参数的选择
地层的参数对加热半径计算准确性影响较大，通过试验方法得到其参数比较困难，因此需通过计算得到其相关参数，文献 [11] 给出了相关公式。
3.1. 热容量的确定
稠油区的比热反映了地层吸收热量的能力，它是计算加热半径的重要参数，其准确度直接影响加热半径计算的准确度，可根据岩石的组成进行分解得到，如图2所示。
Figure 2. Schematic diagram of reservoir composition distribution
图2. 储层成分分布示意图
其热容量计算公式如下：
(13)
式中：Mgj为岩层骨架热容量，kJ/(m3∙℃)；Mcy为稠油热容量，kJ/(m3∙℃)；Mw为水的热容量，kJ/(m3∙℃)；ω为孔隙度，1；So为含油饱和度，1。
3.2. 导热系数确定
对于计算胶结砂岩建议用Tikhomirov公式，其公式如下：
(14)
式中：T为温度，℃；ρr为干燥岩石的密度，g/cm3；Sl为液体的饱和度，1。
3.3. 岩石的热扩散系数
岩石的热扩散系数不是一个独立参数，是其导热系数与热容之比，计算公式如下：
(15)
4. 实例分析
新疆某稠油油藏其井深h = 256 m；注汽温度Ts = 280℃；注汽速率qs = 5500 kg/h；注汽压力2.5 MPa，注汽干度X = 0.65，每轮注汽时间tZ = 240 h，焖井时间tm = 72 h；储层厚度为7.8 m；岩层骨架比热Mgj = 1154 kJ/(m3·℃)；稠油比热Mcy = 2120 kJ/(m3·℃)；水的比热Mw = 4200 kJ/(m3∙℃)，孔隙度ω = 0.26；含油饱和度So = 0.65；干燥岩石的密度ρr = 2.7 g/cm3；原始地层温度Ti = 35℃。通过以上参数计算加热半径，其求解过程如下。
1) 计算参数的获取
通过以上条件，计算或查表得到以下参数，如表1。
Table 1. Calculation table of parameters results
表1. 参数结果计算表
2) 地层平均温度确定
根据黏温曲线(图3)可以看出稠油的黏度突变温度为60℃，Tah为60℃，在焖井结束时刻，井底温度Taw为80℃。每一轮次的井底温度不同。本实例只取某一轮次作为参考。
Figure 3. Viscosity-temperature curve in each round
图3. 各轮次黏温曲线图
3) 实例计算
通过以上确定出各参数，将这些参数代入式(10)得出加热半径的计算结果，然后将计算值与稠油试井测试得到的值进行比对，其结果是如表2所示。
Table 2. Comparison table of calculation results
表2. 计算结果对比表
对比图如图4所示。
Figure 4. Comparison chart of heating radius calculation results
图4. 加热半径计算结果对比图
通过对比分析中，可以看出计算值与实测值曲线符合较好，误差在8%以内，因此该模型可以应用于稠油加热半径的计算中。
5. 结论
1) 运用能量守恒原理，从热量注入方面考虑了蒸汽相变释放的气化潜热，从热量损失方面考虑了井筒热量损失和顶底盖层热量损失，系统性地得到了加热半径的求解方法及求解过程。
2) 新的加热半径计算方法考虑因素全面，通过实例计算和分析表明该方法有较好的精度，可满足工程要求。
3) 阐述了计算加热半径时储层参数比热、导热系数、扩散系数的计算方法。加热半径计算公式从热量注入和热量损失方面考虑因素全面，计算较为准确，可较好地应用于现场实例分析中。