基于K阈值的谱聚类算法

Spectral Clustering Algorithm Based on K-Threshold

摘要: 在传统的NJW谱聚类算法中，样本间的相似性度量由欧式距离和高斯核函数公共决定；而欧式距离是基于整个样本集合的，忽略了局部样本之间的关连；且高斯核函数的值也是通过多次实验获得，容易陷入局部最优使得聚类结果大受影响。针对以上问题，提出了一种新的谱聚类算法，算法引入K邻域、最短路径以及标准差的概念；重建样本间的相似性度量的参数，并且用样本标准差重新构建样本间的联系进而修正高斯核函数的值，使其更接近样本本身的特性。通过实验分析，该算法不但继承了谱聚类算法的收敛于全局的特性，适用于各种形状的数据，而且还克服了欧式距离和高斯核函数造成的相似性度量的局限，提高了算法准确率，增强聚类结果的可信度。

Abstract: In the traditional NJW spectral clustering algorithm, similarity measurement between samples is determined by Euclidean distance and Gaussian kernel function. Euclidean distance is based on the whole sample set, ignoring the correlation between local samples. Moreover, the value of Gaussian kernel function is also obtained through multiple experiments, which is easy to fall into local optimization and greatly affects the clustering results. Aiming at the above problems, a new spectral clustering algorithm is proposed, which introduces the concepts of K neighborhood, shortest path and standard deviation. The parameters of similarity measurement between samples are reconstructed, and the relationship between samples is reconstructed with sample standard deviation, so as to modify the value of Gaussian kernel function and make it closer to the characteristics of samples. Through the experimental analysis, the algorithm not only inherits the convergence of spectral clustering algorithm to the whole world, and is applicable to data of various shapes, but also overcomes the limitations of similarity measurement caused by Euclidean distance and Gaussian kernel function, improves the accuracy of the algorithm, and enhances the reliability of clustering results.

1. 引言

聚类分析是机器学习和模式识别领域中的一个重要分支，在人们认识和探索事物内在联系的过程中扮演着重要的角色；它能发现输入数据集的内在属性，并可以将其“分类” [1] ；聚类是无监督的，它可以根据事物内在的联系将其分到不同的簇中 [2] ；聚类和传统的分类方法虽相似但却不同；聚类是通过挖掘数据内在联系将其分成多个簇，使得位于同一个簇中的数据具有较高的相似性，而不同簇中的数据有较大差异性 [3] 。传统的聚类算法有：K-means、EM聚类法、硬聚类、模糊聚类法等 [4] ，但这些算法都是建立在凸球形的样本空间上，因此，当样本空间不为凸时，聚类算法就会陷入局部最优；为了克服这一缺点，谱聚类算法被提出 [5] 。

相比于其它聚类算法，谱聚类是利用原始数据集的亲和矩阵的特征分解矩阵对数据进行分类 [6] [7] [8] [9] [10] ；且它不易受数据形状影响，不易陷入局部最优，算法框架简明，容易执行。但其自身也存在一些缺点，例如：计算量较大，构造相似度矩阵时对参数较为敏感等，这些问题至今还没有得到有效的解决。

为了解决谱聚类算法存在的一些缺点，科研工作者们做出了许多的探索与研究。Donath和Hoffman提出基于邻接矩阵的特征向量的图划分方法 [11] ；Fiedler指出了图的二分性与图的Laplacian矩阵的第二特征向量之间的关系 [12] ，且在各个领域得到了广泛的应用。Xin-Ye Lin和Li-jie Guo提出离散非负谱聚类算法 [13] ，利用邻域关系传播原理提出了一种新的亲和矩阵生成方法，并给出了相应的邻域关系传播算法。Yessica Nataliani和Miin-Shen Yang提出基于幂高斯核函数的谱聚类算法 [14] ，此算法用一种改进的相关比较方法来估计高斯核相似度函数中的幂参数，利用数据点间最小距离的最大值以获得更好的聚类结果。本文基于多路规范割集准则，提出了一种新的谱聚类算法。

2. 谱聚类算法

谱聚类算法的思想源于谱图理论 [15] ，将每个数据样本看作是图中G中的顶点V，根据样本间的相似程度，将顶点间的边E，赋予权值W，这样就得到一个基于样本相似度的无向加权图 $G=\left(V,E\right)$ [16] ，因此，聚类问题就转化为对图G的划分问题；基于图论的划分准则的优劣直接影响着聚类结果的好坏。常见的划分准则有：最小割集准则，平均割集准则，规范割集准则 [17] 、最小最大割集准则 [18] 、比例割集准则 [19] 、多路规范割集准则等。

谱聚类算法根据其所使用的划分准则可以分为二路谱聚类算法和多路谱聚类算法；二路谱聚类算法使用2-way划分准则，例如：PF算法、SM算法、SLH算法、KVV算法、Mcut算法等；多路谱聚类算法使用k-way划分准则，例如：MS算法、NJW算法等；其中NJW算法是由Ng，Jordan等人提出的，它选取拉普拉斯矩阵的前k个最大特征值对应的特征向量构造新的向量空间R，在这个新的空间内建起与原始数据的对应关系，然后进行聚类。

在传统的NJW谱聚类算法中，样本间的相似性可由包含欧几里德距离的高斯核函数表示，可由公式(1)表示；当高斯核函数确定时，样本间相似性随样本间距离的增加而减小。但欧几里德距离由于其自身局限并不适用于各向异性样本；马氏距离的引入很好的克服了这一点；但对应的协方差矩阵求解却为谱聚类带来巨大的计算量，使谱聚类算法更为复杂。基于以上谱聚类算法中的不足，本文提出来一种新的谱聚类算法——基于K阈值的谱聚类算法，简称为NEW-SC谱聚类。其继承了谱聚类算法的收敛于全局的特性，适用于各种形状的数据，而且克服了欧式距离造成的相似性度量局限，提高了算法准确率，增强聚类结果的可信度。

由于NEW-SC谱聚类算法是基于传统的谱聚类(NJW)上的算法优化，所以NEW-SC与NJW谱聚类的框架有很多相通点。谱聚类算法(NJW)的框架简单且明确，简单可以分为两部分，一是特征提取，二是利用K-means [20] 聚类特征向量空间；这也是该算法的一大优势，下面就是NJW算法的基本框架：

输入：样本集 $X=\left\{X_1,X_2,X_3,\cdots ,X_n\right\}$ ， $X_1=\left[X_{11},X_{12},\cdots ,X_{1m}\right]$ ，n为样本数，m为样本维度，聚类数为C；

1) 由输入样本集合X计算样本间欧氏距离D_d； $D=\left\{d_{ij}\right\}$ ；d_ij为样本X_i与X_j之间的欧氏距离，由公式(2)可得；

2) 相似度矩阵 $S=\left\{S_{ij}\right\}$ ，可以根据给定的公式(1)计算得到；D为度矩阵，是由相似矩阵S得到的对角阵，同时由公式(3)得到拉普拉斯矩阵L；

3) 选出L矩阵中的前C个最大特征值所对应的特征向量，构成新的特征向量空间Z；

4) 用K-means算法对特征向量空间Z进行聚类，得到聚类结果Y。

输出：Y

$d_{ij}=\sqrt{{\left(x_{i1}-x_{j1}\right)}^2+{\left(x_{i2}-x_{j2}\right)}^2+\cdots +{\left(x_{im}-x_{jm}\right)}^2}$ (1)

$S_{ij}=\exp \left(-\frac{{\Vert x_i-x_j\Vert }^2}{2{\sigma }^2}\right)$ (2)

$L=D^{-\frac{1}{2}}S{D}^{-\frac{1}{2}}$ (3)

3. NEW-SC谱聚类算法

谱聚类算法的核心思想是将输入数据转换为新的特征空间，然后在新的特征空间中应用K-means聚类方法 [21] ；而NEW-SC算法主要是在NJW的算法框架上的算法改进；在新方法中，主要针对相似度量函数进行优化，通过对函数中的距离度量、高斯核函数以及加权项三个方面的分析研究，优化提升，使得我们的算法较原算法更具有优越性。

欧式距离只考虑两两样本之间的相关性，不但忽略了与其他样本之间的整体关连，而且欧式距离对于多维样本的不同维度“一视同仁”，不利于样本特征的提取；而马氏距离引入很好的克服这一缺点，它的协方差矩阵给样本的特征提供权值，使得样本特征更加鲜明；却为聚类算法引入巨大的计算量。K近邻的引入不但可以克服马氏距离计算量大的问题，还可以克服欧式距离点与点的关联模式，建立邻域相关性。

即使引入了K近邻，但也需要距离度量来建立样本与样本集合以及与局部样本之间的联系；先由欧式距离建立联系，在由K近邻选定每个样本前K的近邻值，但是对于不同的样本周围的样本稀疏程度不一，而基于K值的限定也得保留K个有效值，就使得每个样本的近邻域范围小各不相同，即：稀疏样本集的近邻域范围大而稠密样本集的近邻域范围却小，范围的大小仅仅与K值又关。而K阈值的提出便能很好的解决这一问题；在K近邻的基础上选定所需要的近邻的样本值，针对每个样本取其K近邻样本集合中的标准差，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量，该值就是每个样本的K阈值；使得邻域范围不但与K值相关，还与样本自身属性紧密相关。

对于K近邻，每一个样本都是统一的，没有考虑样本间的个体差异性；通过K阈值筛选后，每个样本根据自身属性保留了各自K范围内的样本间的相关性，消除了由统一定量而忽略对局部的影响。在K阈值范围内的样本联系中，引入最短路径建立连通图；全图的连接路径都是在已定K阈值路径基础上生成的，所以一些样本间的联系是在其余某些样本间关系形成的，这就使得样本间，样本与集合间的关系都更为紧密。

高斯核函数不确定性导致了聚类结果的不确定性；即：不同的高斯核取值使得实验结果区别很大，在以往的实验中高斯核函数的取值有0.1、0.5、1、1.5等；一般是经过大量实验，由最佳的实验结果来决定取值范围，无法说明核函数取值与样本之间的关联。而且这种取值方法耗时，得到的值也可能是局部最优。也有学者提出自动选择高斯核值σ，其实就是对一些σ值重复运行它们的聚类算法，从中选择聚类失真最少的σ值 [21] 。

我们提出用样本标准差给高斯核函数取值，不但避免了大量的重复实验，而且还使影响实验结果的因素更多与样本本身相关。在之前取K阈值时，对每个样本都定义了相应的“邻域”，此时的标准差的取值就来自于“邻域”的样本集合；将样本与“邻域”样本集合之间的关系也加入到影响聚类结果的因素之中，减少了聚类结果的随机性。

相似性度量更多的依赖距离度量函数和高斯函数，但在此基础上如果变更相应的权值函数，也会对实验结果产生明显影响。所以新的权重参量引入就很关键；新的权重参数是基于K近邻算法提出的。K近邻算法确定了每个样本的K阈值，取各个阈值范围内的样本的度N_i，再取K阈值下样本集的度N，因此，权值为：Q=N/N_i。对于一个具体的样本集合，当K阈值确定以后，N值就是一个固定值，而局部度N_i也会因此确定；对于一个较为“稀疏”的局部，Q值较大；而较为“稠密”的局部，Q值较小；将其引入相似性度量就越大，使得局部的相关性更强。

通过以上三点，对谱聚类算法的优化提升，使得我们的算法较原算法更具有优越性，使信息量中包含的相似性更加全面，也提高了聚类算法的性能。其中，最短路径的应用也是关键，它能使我们的流行数据算法具有良好的聚类效果。下面是我们基于以上改进后提出的新算法(NEW-SC)的基本思想，其基本的步骤如下：

输入：样本集 $X=\left\{X_1,X_2,X_3,\cdots ,X_n\right\}$ ， $X_1=\left[X_{11},X_{12},\cdots ,X_{1m}\right]$ ，n为样本数，m为样本维度，聚类数为C；K为K近邻值；

1) 由输入样本集合X计算样本间欧氏距离D； $D=\left\{d_{ij}\right\}$ ；d_ij为样本X_i与X_j之间的欧氏距离，由公式(2)可得；

2) 根据给定的K值，对每个样本的K近邻样本集合取标准差B_i；

3) 对每个样本X_i以其对应的标准差B_i作为阈值，并保留阈值内的样本集合；此时，每个样本X_i中保留的样本数量与样本集本身性质和K值有关；

4) 每个样本仅在其阈值范围内保留了其与其他样本的距离度量，与阈值之外设为样本间距离是间接获得的，即：利用最短距离方法来保持样本集可以成为一个完整的连通图；

5) 用3中得到的标准差B_i，代替相似性度量中的高斯核函数，消除核函数的取值难问题；

6) 于样本X_i在阈值K中的近邻样本数目为N_i，D_i是阈值K中的近邻样本集到X_i的距离均值；而于所有样本集X，在其阈值K中的近邻样本数目为N，其中 $N=N_1+N_2+\cdots +N_n$ ；D是阈值K中的近邻样本集到分别到其对应的X_i的距离均值；权重值是Q = D/D_i是对局部距离和全局距离的统一调整参数，通过每次建立局部与整体的关系，将所有局部距离建立起相关性，使得相似性度量更具有全局性；

7) 把上述各变量带入为相似度计算公式(4)得相似性矩阵S；

8) 将S矩阵带回谱聚类算法(NJW)的第2步后继续执行后续实验步骤；

输出：Y。

$S_{ij}=\exp \left(-\frac{{\Vert x_i-x_j\Vert }^2}{2\ast B_i{B}_j}Q\right)$ (4)

4. 实验

4.1. 实验数据集

在本节中，我们将提出的新谱聚类算法(NEW-SC)在人工数据和UCI数据中进行多次实验，且将实验结果与k-means、SC、SC-ND、PGSC等算法进行比较。实验中使用的UCI数据集有：Iris、Wine、Seeds、Heart、Fertility-Diagnose、Four-gauss、Haberman、Bupa等；使用的人工数据集有：Two-cluster、Two moons、Spiral、Three-circles、Checker-board、Three-cluster。我们所选的人工数据集主要是二维的，所以能很好的以二维图片的形式展示；如图1所示：在本实验中我们使用的UCI数据皆为多维的，数据的基本信息包括数据样本的数量、样本维数和聚类数以图表的形式进行说明，如表1所示：

Table 1. UCI data set

表1. UCI数据集信息

4.2. 性能测量

对于谱聚类算法的性能，我们通常用聚类准确率来度量(即：聚类精度ACC)，其的定义式如(3~6)示；在公式中，C_i表示已知的真实类标签， ${C^{\prime }}_i$ 是通过聚类算法得到的样本集的聚类标签；δ(·)是δ函数，它的

Figure 1. Artificial data set information graph: (a) Two-cluster; (b) Two moons; (c) Spiral; (d) Three-circles; (e) Checker-board; (f) Three-cluster

图1. 人工数据集信息图：(a) Two-cluster；(b) Two moons；(c) Spiral；(d) Three-circles；(e) Checker-board；(f) Three-cluster

值是1或0；如果 $\delta \left(a,b\right)$ 函数中的a = b，则 $\delta \left(a,b\right)=1$ ，否则 $\delta \left(a,b\right)=0$ 。map(·)是最佳映射函数，如果map(·)函数与真类标号匹配，用Kuhn-Munkres算法求解最佳映射。ACC的取值范围从0到1，其中ACC值较大时，表示聚类的识别率比较高，算法性能更好。其中ACC值较小时，表示聚类的识别率低，算法不成熟。

$ACC=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\delta \left(C_i,map\left({C^{\prime }}_i\right)\right)}}{n}$ (6)

4.3. 人工数据集实验结果

使用k-means、SC、SC-ND [13] 、PGSC [14] 以及NEW-SC算法对人工数据进行聚类，k-means算法聚类结果见图2所示，从实验结果可以清新的看出，K-means聚类算法虽然有其自身很好的一些性能，对于简单数据可以获得良好的聚类结果，其结论结果可以达到1，但对于流形数据的聚类结果却不是很理想，不能很好识别出数据的形状，其结果与聚类真实意图差别较大。

基于K-means的谱聚类算法在特征提取上得到了优化，但在人工数据集中的实验结果相较于K均值聚类算法并未得到很好的提高，如图3所示；由人工数据集在光谱聚类SC(NJW)算法下获得的实验结果图像，可以看出，光谱聚类与K-means相似，对于简单数据可以获得良好的聚类结果，但对于流形数据的聚类结果与不是很理想。也可以得出：虽然谱聚类在K均值的基础上对数据进行了特征提取，但是如果选择的特征不合适或是在提取特征的度量方式不正确时，都不会对聚类算法产生好的影响。

如图4所示，由人工数据集在NP-SC算法下获得的实验结果图像，从实验结果可以看出，NP-SC算法与K-means有相同之处，即：对于简单数据可以获得良好的聚类结果；然而SC算法与K-means对于流形数据的聚类结果不是很理想，但是，NP-SC算法对流形数据却有良好的聚类结果。在NP-SC算法中加入了数据之间的近邻的概念，所以能发觉数据周围细微的变化，使得聚类结果更符合预期。

由人工数据集在PGK-SC算法下获得的实验结果图像如图5所示，从实验结果可以看出，PGK-SC算法即与SC算法与K-means算法相似，对于简单数据可以获得良好的聚类结果；又与NP-SC算法有相同，对流形数据也有良好的聚类结果。PGK-SC算法中充分的考虑了高斯核函数的影响，比SC更能适应样本数据类型的变化。

由人工数据集在我们提出的新算法NEW-SC下获得的实验结果图像可以得出，从实验结果可以看出，NEW-SC算法与SC算法与K-means算法相同，对简单数据可以获得良好的聚类结果，而且又PGK-SC算法和NP-SC算法相似，对流形数据也有良好的聚类结果，实验结果如图6所示：NEW-SC算法中加入了数据之间的近邻的概念，所以能发觉数据周围细微的变化；还充分的考虑了高斯核函数的影响使得聚类结果更符合预期。

以上实验是将我们提出的聚类方法(NEW-SC)与一些现有的聚类方法进行了比较，在上述实验中，将谱聚类算法SC(NJW)、NP-SC聚类算法中涉及到高斯核的值的相关参数都设置为1，以便使实验有更多的初始值，其对比实验更具有可信度。对人工数据集中的数据在K-均值、谱聚类SC(NJW)、NP-SC、PGK-SC和新NEW-SC聚类方法下的实验结果的准确率进行了比较，如表2所示就是具体的实验结果数据。

在图7中的柱状图中，可以清晰的看到人工数据集中Two-cluster、Two moons、Spiral、Three-circles、Checker-board、Three-cluster等数据在k-means、SC、SC-ND、PGSC以及我们的新算法(NEW-SC)中的实验结果。在五组实验中，k-means、SC算法对整体的数据集的聚类结果整体偏低。SC-ND、PGSC、算法对数据集的聚类结果整体较好，其中我们提出的新算法(NEW-SC)既能实现对离散数据的聚类，也能像SC-ND、PGSC、算法一样，对流行数据有很好的聚类效果。

Figure 2. K-Mean clustering result graph of artificial data set: (a) Two-cluster; (b) Two moons; (c) Spiral; (d) Three-circles; (e) Checker-board; (f) Three-cluster

图2. 人工数据集的K均值聚类结果图：(a) Two-cluster；(b) Two moons；(c) Spiral；(d) Three-circles；(e) Checker-board；(f) Three-cluster

Figure 3. Spectral clustering (NJW) result graph of artificial data set: (a) Two-cluster; (b) Two moons; (c) Spiral; (d) Three-circles; (e) Checker-board; (f) Three-cluster

图3. 人工数据集的谱聚类SC结果图：(a) Two-cluster；(b) Two moons；(c) Spiral；(d) Three-circles；(e) Checker-board；(f) Three-cluster

Figure 4. NP-SC clustering result graph of artificial data set: (a) Two-cluster; (b) Two moons; (c) Spiral; (d) Three-circles; (e) Checker-board; (f) Three-cluster

图4. 人工数据集的NP-SC谱聚类结果图：(a) Two-cluster；(b) Two moons；(c) Spiral；(d) Three-circles；(e) Checker-board；(f) Three-cluster

Figure 5. PGK-SC clustering result graph of artificial data set: (a) Two-cluster; (b) Two moons; (c) Spiral; (d) Three-circles; (e) Checker-board; (f) Three-cluster

图5. 人工数据集的PGK-SC聚类结果图：(a) Two-cluster；(b) Two moons；(c) Spiral；(d) Three-circles；(e) Checker-board；(f) Three-cluster

Figure 6. NEW-SC clustering result graph of artificial data set: (a) Two-cluster; (b) Two moons; (c) Spiral; (d) Three-circles; (e) Checker-board; (f) Three-cluster

图6. 人工数据集的NEW-SC聚类结果图：(a) Two-cluster；(b) Two moons；(c)Spiral；(d) Three-circles；(e) Checker-board；(f) Three-cluster

Table 2. Accuracy rates of artificial data sets (ACC)

表2. 人工数据集的准确率(ACC)

Figure 7. Accuracy histogram of artificial data sets

图7. 人工数据集的准确率柱状图

4.4. UCI数据集的实验结果

在本实验中我们使用的UCI数据有：Iris、Wine、Seeds、Heart、Fertility-Diagnose、Four-gauss、Haberman、Bupa；表2是上述数据集的基本信息，包括数据样本的数量、样本维数和聚类数。表3是上述所有数据集在K均值和SC、NP-SC、PGK-SC、NEW-SC聚类后得到的算法准确率(ACC)。

Table 3. Accuracy rates of UCI data set (ACC)

表3. 算法准确率(ACC)

Figure 8. Accuracy histogram of UCI data sets

图8. UCI数据集的准确率柱状图

在图8中的柱状图中，可以清晰的看到UCI数据有：Iris、Wine、Seeds、Heart、Fertility-Diagnose、Four-gauss、Haberman、Bupa；等数据在k-means、SC、SC-ND、PGSC以及我们的新算法(NEW-SC)中的实验结果。在五组实验中，k-means、SC算法对整体的数据集的聚类结果整体偏低。SC-ND、PGSC、NEW-SC算法对数据集的聚类结果整体较好，其中我们提出的新算法的性能更好。

实验对比分析，由人工数据和UCI上的数据实验，可以得知，NEW-SC算法不但在离散的数据样本上很好的聚类效果，而且还克服了传统算法的一些弊端，使得可以在流行数据上有较好的聚类效果，通过在UCI上的实验可知，NEW-SC算法不但在低维度的数据上有较好的聚类性能，而且在较高维度的数据集中的实验结果也不错。

5. 实验结论

本文提出了一种新的SC聚类算法，首先考虑欧几里得距离矩阵在计算过程中的相似局限性，引入K邻域的概念，然后根据K邻域中的基本概念对标准差进行聚类，最后根据标准差进行聚类。利用最短路径算法求出样本间的最短路径，从而克服了欧几里德距离的诸多缺点，提高了同一聚类中样本在不同聚类之间的相似性和样本对异性之间的相似性，提高了聚类的精度。结果。此外，我们还认为在问题处理过程中很难确定高斯核相似矩阵的值，因为不同的值会严重影响聚类性能，在此基础上提出了每个样本的相关标准来代替高斯核，使得两个样本之间的相似性不仅与他们相关，还与数字本身、与周围样本和样本的距离有关。通过对人工数据集的实验，可以看出我们的算法不仅能够实现一些其他的算法，精确的方式使得流形数据集合为1，而且在其他形状数据集合中也达到了较高的精度；实验用UCI数据集合更证明了这一点。

致 谢

光阴似箭，日月如梭，自从2016年9月入学至今，三年的研究生生涯即将结束。回顾在陕西师范大学所经历的点点滴滴，除了满满的收获之外，带给我更多的是对人生的思考与感悟，我相信三年的研究生经历将成为我人生中浓墨重彩的一部分，将帮助我在以后的道理上勇敢前行。在这里，我要向三年来给予我指导、帮助和鼓励的人表达诚挚的感谢！

感谢我的父母，感谢父母对我无私的付出和养育之恩，感谢父母对我学业的鼓励与支持，感谢父母教会我做人做事的道理，是他们无私的辛苦与付出才换来我如今的成绩，谁言寸草心，报得三春晖，我将努力提高自己，不负父母所望，为家庭、社会做出力所能及的贡献。

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感谢李娇师姐、叶爽师姐、感谢我的师弟师妹们，是你们的鼓励与陪伴，才能使我顺利完成今天的学业。与你们在一起的点点滴滴将成为我人生中重要的一笔财富，衷心感谢你们。