强泛Gorenstein FC-投射模

doi:10.12677/PM.2021.114078

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强泛Gorenstein FC-投射模
Strongly Universal Gorenstein FC-Projective Modules

DOI: 10.12677/PM.2021.114078, PDF, HTML, XML, 被引量国家自然科学基金支持
作者: 袁倩^*, 张文汇^#：西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州
关键词: 弱Gorenstein FC-投射模；Gorenstein FC-半单环；强泛Gorenstein FC-投射模；Weak Gorenstein FC-Projective Module； Gorenstein FC-Semisimple Ring； Strongly Universal Gorenstein FC-Projective Module

摘要: 引入弱Gorenstein FC-投射模和强泛Gorenstein FC-投射模，讨论了这两类模的同调性质，证明了在右余凝聚环R上，若r.FC.gl.dim(R)<∞，则FC-投射模类、Gorenstein FC-投射模类、弱Gorenstein FC-投射模类、强Gorenstein FC-投射模类和强泛Gorenstein FC-投射模类是同一个类。

Abstract: Weak Gorenstein FC-projective and Strongly universal Gorenstein FC-projective modules are in-troduced, the homological properties of the two types of modules are investigated. It is proved that on the right cocoherent ring R, if r.FC.gl.dim(R)<∞, then the class of FC-projective modules, the class of Gorenstein FC-projective modules, the class of weak Gorenstein FC-projective modules, the class of strongly Gorenstein FC-projective modules and the class of strongly universal Gorenstein FC-projective modules are the same class.

文章引用：袁倩, 张文汇. 强泛Gorenstein FC-投射模[J]. 理论数学, 2021, 11(4): 647-653. https://doi.org/10.12677/PM.2021.114078

1. 引言

1995年，Enochs等人在一般环上引入Gorenstein投(内)射模的概念 [1]。称投射右R-模的正合列 $P = \dots \to P_{1} \to P_{0} \to P_{- 1} \to P_{- 2} \to \dots$ 是完全投射分解，如果对任意投射右R-模Q，序列 ${Hom}_{R} (P, Q)$ 正合。称右R-模M是Gorenstein投射模，如果存在一个完全投射分解 $P$ 使得 $M ≅$ $Ker (P_{- 1} \to P_{- 2})$ 。Gorenstein内射模的定义可对偶给出。2007年，Bennis等人引入强Gorenstein投(内)射模的概念，证明了一个模是Gorenstein投(内)射模当且仅当它是一个强Gorenstein投(内)射模的直和项 [2]。称投射右R-模的正合列 $P = \dots \to P \overset{f}{\to} P \overset{f}{\to} P \to \dots$ 是强完全投射分解，如果对任意投射右R-模Q，序列 ${Hom}_{R} (P, Q)$ 正合。称右R-模M是强Gorenstein投射模，如果存在一个强完全投射分解 $P$ 使得 $M ≅ Ker (f)$ 。强Gorenstein内射模的定义可对偶给出。2013年，高增辉引入弱Gorenstein投(内)射模的概念 [3]。称右R-模M是弱Gorenstein投射模，如果存在投射右R-模的正合列 $P = \dots \to P_{1} \to P_{0} \to P^{0} \to P^{1} \to \dots$ ，使得 $M ≅ Ker (P^{0} \to P^{1})$ 。此时，称序列 $P$ 是M的弱完全投射分解。弱Gorenstein内射模的定义可对偶给出。2014年，陈文静等人引入弱Gorenstein FP-内射模和强泛Gorenstein FP-内射模的概念，讨论了凝聚环上FP-内射模类、Gorenstein FP-内射模类和弱Gorenstein FP-内射模类三者之间的联系( [4] [5] )。2020年，王玉等人引入Gorenstein FC-投射模的概念，证明了Gorenstein FC-投射模和FC-投射模的等价性，并利用Gorenstein FC-投射模对右Gorenstein FC-半单环进行了刻画 [6]。

受以上文献的启发，我们引入弱Gorenstein FC-投射模和强泛Gorenstein FC-投射模的概念，讨论其同调性质，并研究了在右余凝聚环上这两类模的等价刻画。

本文中所提到的环均指有单位元的结合环。模均指酉模，除非特别说明，R-模指右R-模。本文中，我们用 $P (R)$ ( $FC- P (R)$ ， $GFC- P (R)$ ， $SGFC- P (R)$ ， $w G- P (R)$ )表示投射R-模类(FC-投射R-模类，Gorenstein FC-投射R-模类，强Gorenstein FC-投射R-模类，弱Gorenstein投射R-模类)；用 $I (R)$ ( $G- I (R)$ ， $SG- I (R)$ ， $SUG- I (R)$ ， $w G- I (R)$ )表示内射R-模类(Gorenstein内射R-模类，强Gorenstein内射R-模类，强泛Gorenstein内射R-模类，弱Gorenstein内射R-模类)；用 $F C - p d (M)$ 表示R-模M的FC-投射维数。 $ℤ$ 表示整数集， $ℕ$ 表示自然数集。未交待的概念和符号，参考文献 [6]。

2. 弱Gorenstein FC-投射模

称右R-模M是FC-投射模，如果对任意有限余表示模Q， ${Ext}_{R}^{1} (M, Q) = 0$ [6]。称右R-模M是Gorenstein FC-投射模，如果存在FC-投射右R-模的正合列 $P = \dots \to P_{1} \to P_{0} \to P^{0} \to P^{1} \to \dots$ ，使得 $M ≅ Ker (P^{0} \to P^{1})$ ，并且对任意内射维数有限的有限余表示模Q，序列 ${Hom}_{R} (P, Q)$ 正合 [6]。

本部分我们引入弱Gorenstein FC-投射模，将弱Gorenstein FC-投射R-模类记为 $w GFC- P (R)$ ，讨论其同调性质以及在右余凝聚环上， $FC- P (R)$ 、 $GFC- P (R)$ 和 $w GFC- P (R)$ 三者之间的联系。

定义2.1 称R-模M是弱Gorenstein FC-投射模，如果存在正合列

$P = \dots \to P_{1} \to P_{0} \to P^{0} \to P^{1} \to \dots$ ，

其中 $P_{i}, P^{i} \in FC- P (R) (i \in ℤ)$ ，使得 $M ≅ Ker (P^{0} \to P^{1})$ 。此时，称正合列 $P$ 是M的弱完全FC-投射分解。

关于定义，我们注意到

注记2.2 1) $FC- P (R) \subseteq SGFC- P (R) \subseteq GFC- P (R) \subseteq w GFC- P (R)$ ；

2) $w G- P (R) \subseteq w GFC- P (R)$ ；

3) 由对称性可知，定义2.1中的正合列 $P$ 中所有同态的像、核和余核都是弱Gorenstein FC-投射R-模；

4) 由文献( [6]，命题2.2)可知， $w GFC- P (R)$ 关于直和封闭。

下面首先给出弱Gorenstein FC-投射模的一些等价刻画。

命题2.3 设M是一R-模，则以下等价：

1) $M \in w GFC- P (R)$ ；

2) 存在正合列 $0 \to M \to P^{0} \to P^{1} \to \dots$ ，其中 $P^{i} \in FC- P (R) (i \in ℕ)$ ；

3) 存在正合列 $0 \to M \to P \to N \to 0$ ，其中 $P \in FC- P (R)$ ， $N \in w GFC- P (R)$ 。

证明 1) Þ 2)，1) Þ 3)由定义2.1易得。

3) Þ 2)因为 $N \in w GFC- P (R)$ ，所以存在N的弱完全FC-投射分解

$P = \dots \to P_{1} \to P_{0} \to P^{0} \to P^{1} \to \dots$ ，

其中 $P_{i}, P^{i} \in FC- P (R) (i \in ℤ)$ ，使得 $N ≅ Ker (P^{0} \to P^{1})$ ，故存在正合列 $0 \to M \to P \to P^{0} \to P^{1} \to \dots$ ，其中P和

$P^{i} \in FC- P (R) (i \in ℕ)$ 。

2) Þ 1) 任取M的一个投射分解 $\dots \to P_{1} \to P_{0} \to M \to 0$ ，与条件中序列首尾相接就得到M的弱完全FC-投射分解

$P = \dots \to P_{1} \to P_{0} \to P^{0} \to P^{1} \to \dots$ ，

使得 $M ≅ Ker (P^{0} \to P^{1})$ ，故 $M \in w GFC- P (R)$ 。

称环R是右n-余凝聚环，如果每个n-余表示模是(n + 1)-余表示的。特别地，右1-余凝聚环也称为右余凝聚环 [6]。

命题2.4 设R是右余凝聚环， $0 \to N \to M \to P \to 0$ 是R-模的正合列，其中 $P \in FC- P (R)$ 。若 $N \in w GFC- P (R)$ ，则 $M \in w GFC- P (R)$ 。

证明设 $N \in w GFC- P (R)$ ，则由命题2.3可知存在正合列 $0 \to N \to P^{0} \to K$ $\to 0$ ，其中 $P^{0} \in FC- P (R)$ ， $K \in w GFC- P (R)$ 。考虑推出图

因为 $P^{0}, P \in FC- P (R)$ ，所以由文献( [6]，定理2.5)可知 $Q^{0} \in FC- P (R)$ ，则对中间列用命题2.3可得 $M \in w GFC- P (R)$ 。

称环R是右Gorenstein FC-半单环(简称为rGF-半单环)，如果每个R-模是Gorenstein FC-投射R-模 [6]。下面用弱Gorenstein FC-模给出rGF-半单环的等价刻画。

命题2.5 设R是环，M是一R-模，则以下等价：

1) R是rGF-半单环；

2) $M \in w GFC- P (R)$ ；

3) 若 $M \in w G- I (R)$ ，则 $M \in w GFC- P (R)$ ；

4) 若 $M \in G- I (R)$ ，则 $M \in w GFC- P (R)$ ；

5) 若 $M \in SG- I (R)$ ，则 $M \in w GFC- P (R)$ ；

6) 若 $M \in I (R)$ ，则 $M \in w GFC- P (R)$ 。

证明 1) Þ 2) Þ 3) Þ 4) Þ 5) Þ 6)显然。

6) Þ 1) 设 $M \in I (R)$ ，则由条件可知 $M \in w GFC- P (R)$ ，于是由命题2.3可知存在正合列 $0 \to M \to P \to N \to 0$ ，其中 $P \in FC- P (R)$ ， $N \in w GFC- P (R)$ 。因为 $M \in I (R)$ ，所以正合列 $0 \to M \to P \to N \to 0$ 可裂，故由文献( [6]，命题2.2)可知 $M \in FC- P (R)$ ，于是由文献( [6]，命题6.3)可知R是rGF-半单环。

称R-模类 $X (R)$ 是投射可解类，如果 $P (R) \subseteq X (R)$ ，且对任意 $X (R)$ 中的正合列 $0 \to X^{'} \to X \to X^{″} \to 0$ ，其中 $X^{″} \in X (R)$ ，则 $X^{'} \in X (R) \Leftrightarrow X \in X (R)$ [7]。下面我们证明 $w GFC- P (R)$ 是投射可解类，并且关于直和项封闭。

命题2.6 设R是右余凝聚环，则 $w GFC- P (R)$ 关于扩张封闭当且仅当 $w GFC- P (R)$ 是投射可解类。

证明 Ü) 显然。

Þ) 设 $0 \to A \to B \to C \to 0$ 是R-模的正合列，只需证当 $B, C \in w GFC- P (R)$ 时， $A \in w GFC- P (R)$ 即可。因为 $B \in w GFC- P (R)$ ，所以由命题2.3可知存在正合列 $0 \to B \to P \to N \to 0$ ，其中 $P \in FC- P (R)$ ， $N \in w GFC- P (R)$ 。考虑推出图

因为 $C, N \in w GFC- P (R)$ ，所以 $Q \in w GFC- P (R)$ 。对中间行用命题2.3可得 $A \in w GFC- P (R)$ 。

推论2.7 设R是右余凝聚环，若 $w GFC- P (R)$ 关于扩张封闭，则 $w GFC- P (R)$ 关于直和项封闭。

证明由文献( [7]，命题1.4)易得。

推论2.8 设R是右余凝聚环，M是一R-模，考虑下面R-模的正合列

$0 \to G_{n} \to G_{n - 1} \to \dots \to G_{0} \to M \to 0$

和

$0 \to H_{n} \to H_{n - 1} \to \dots \to H_{0} \to M \to 0,$

其中 $G_{0}, \dots, G_{n - 1} \in w GFC- P (R)$ 和 $H_{0}, \dots, H_{n - 1} \in w GFC- P (R)$ 。若 $w GFC- P (R)$ 关于扩张封闭，则 $G_{n} \in w GFC- P (R)$ 当且仅当 $H_{n} \in w GFC- P (R)$ 。

证明类似于文献( [8]，引理2.1])的证明。

下面我们讨论弱Gorenstein FC-投射R-模与强Gorenstein FC-投射R-模的关系。

命题2.9 设R是右余凝聚环， $M \in w GFC- P (R)$ ，若 $N \in SGFC- P (R)$ ，则M是N的直和项。

证明设 $M \in w GFC- P (R)$ ，则存在正合列

$P = \dots \to P_{1} \overset{d_{1}}{\to} P_{0} \overset{d_{0}}{\to} P_{- 1} \overset{d_{- 1}}{\to} P_{- 2} \overset{d_{- 2}}{\to} \dots$ ，

其中 $P_{i} \in FC- P (R) (i \in ℤ)$ ，使得 $M ≅ Im (d_{0})$ 。令 $Q = \oplus_{i = - \infty}^{\infty} P_{i}$ ， $f : Q \to Q$ ，其中对任意的 ${(x_{i})}_{i \in ℤ} \in Q$ ， $f ({(x_{i})}_{i \in ℤ}) = {(d_{i} (x_{i}))}_{i \in ℤ}$ 。易证f是右R-模同态且 $f^{2} = 0$ 。设 $N = Im (f) = \oplus_{i = - \infty}^{\infty} Im (d_{i})$ ，则 $N \subseteq Ker (f)$ 。对任意 ${(x_{i})}_{i \in ℤ} \in Ker (f)$ ， $f ({(x_{i})}_{i \in ℤ}) = {(d_{i} (x_{i}))}_{i \in ℤ} = {(0_{i})}_{i \in ℤ}$ 。则对任意 $i \in ℤ$ ， $d_{i} (x_{i}) = 0_{i}$ ，即 $x_{i} \in Ker (d_{i}) = Im (d_{i + 1})$ ( $i \in ℤ$ )，故存在 $y_{i + 1} \in P_{i + 1}$ ，使得 $d_{i + 1} (y_{i + 1}) = x_{i}$ 。令 $y = [y_{i + 1}]$ ，则 $[x_{i}] = [d_{i + 1} (y_{i + 1})] = f (y)$ ，于是 $Ker (f) \subseteq Im (f)$ 。因此 $N = Im (f) = K e r (f)$ ，由文献( [6]，命题2.2)可知 $Q \in FC- P (R)$ 。于是存在R-模的正合列 $0 \to N \to Q \to N \to 0$ ，由文献( [9]，定理7)可知 $N \in SGFC- P (R)$ 且 $N ≅ (\oplus_{i \neq 0} Im (d_{i})) \oplus M$ ，即M是强Gorenstein FC-投射R-模的直和项，定理得证。

推论2.10 设R是右余凝聚环， $M \in GFC- P (R)$ ，若 $N \in SGFC- P (R)$ ，则M是N的直和项。

定义环R的右FC-投射整体维数为 $r .FC .gl .dim (R) = sup {F C - p d (M) | M 是 R - 模}$ [4]。

显然， $FC- P (R) \subseteq GFC- P (R) \subseteq w GFC- P (R)$ ，由文献( [6]，推论3.9)可知，当R是右余凝聚环且 $r .FC .gl .dim (R) < \infty$ 时， $GFC- P (R) \subseteq FC- P (R)$ 。又由文献( [6]，定理3.4)可知，当R是右余凝聚环时，R-模 $M \in GFC- P (R) \Leftrightarrow M \in w GFC- P (R)$ 。于是我们有以下结论。

推论2.11 设R是右余凝聚环，M是一R-模，若 $r .FC .gl .dim (R) < \infty$ ，则 $M \in FC- P (R) \Leftrightarrow M \in w GFC- P (R)$ 。

3. 强泛Gorenstein FC-投射模

本部分我们引入强泛Gorenstein FC-投射模，将强泛Gorenstein FC-投射R-模类记为 $SUGFC- P (R)$ ，讨论其同调性质以及在右余凝聚环上， $FC- P (R)$ 、 $GFC- P (R)$ 、 $w GFC- P (R)$ 、 $SGFC- P (R)$ 和 $SUGFC- P (R)$ 类五者之间的联系。

定义3.1 称R-模M是强泛Gorenstein FC-投射模，如果存在正合列

$P = \dots \to P \overset{f}{\to} P \overset{f}{\to} P \to \dots$ ，

其中 $P \in FC- P (R)$ ，使得 $M ≅ Ker (f)$ 。此时，称正合列 $P$ 是M的强泛完全FC-投射分解。

注记3.2 1) 由注记2.2有包含关系：

$FC- P (R) \subseteq SGFC- P (R) \subseteq SUGFC- P (R) \subseteq w GFC- P (R)$ ；

2) 由对称性可知，定义3.1中的正合列 $P$ 中所有同态的像、核和余核都是强泛Gorenstein FC-投射R-模；

3) $SUGFC- P (R)$ 关于直和封闭；

命题3.3 设M是一R-模，则以下等价：

1) $M \in SUGFC- P (R)$ ；

2) 存在正合列 $0 \to M \to P \to P \to \dots$ ，其中 $P \in FC- P (R)$ ；

3) 存在正合列 $0 \to M \to P \to M \to 0$ ，其中 $P \in FC- P (R)$ ；

证明由定义3.1易得。

称环R是右强Gorenstein FC-半单环(简称为rSGF-半单环)，如果每个R-模是强Gorenstein FC-投射R-模。下面用强泛Gorenstein FC-模给出rSGF-半单环的等价刻画。

命题3.4 设R是环，M是一R-模，则以下等价：

1) R是rSGF-半单环；

2) $M \in SUGFC- P (R)$ ；

3) 若 $M \in SUG- I (R)$ ，则 $M \in SUGFC- P (R)$ ；

4) 若 $M \in SG- I (R)$ ，则 $M \in SUGFC- P (R)$ ；

5) 若 $M \in I (R)$ ，则 $M \in SUGFC- P (R)$ 。

证明类似于命题2.5的证明。

命题3.5 设 $M \in w GFC- P (R)$ ，若 $N \in SUGFC- P (R)$ ，则M是N的直和项。

证明设 $M \in w GFC- P (R)$ ，则存在M的弱完全FC-投射分解

$P = \dots \to P_{1} \overset{d_{1}^{P}}{\to} P_{0} \overset{d_{0}^{P}}{\to} P_{- 1} \overset{d_{- 1}^{P}}{\to} P_{- 2} \to \dots$ ，

其中 $P_{i} \in FC- P (R) (i \in ℤ)$ ，使得 $M ≅ Im (d_{0}^{P})$ 。对 $\forall m \in ℤ$ ，通过增加指数m，由正合列 $P$ 得到的正合列记为 $\sum^{m} P$ ，对 $\forall i \in ℤ$ ， ${(\sum^{m} P)}_{i} = P_{i - m}$ 且 $d_{i}^{\sum^{m} P} = d_{i - m}^{P}$ 。由文献( [6]，命题2.2])可知， $\oplus P_{i} \in FC- P (R)$ 。考虑正合列

$Q = \oplus \sum^{m} P = \dots \to Q = \oplus P_{i} \overset{\oplus d_{i}^{P}}{\to} Q = \oplus P_{i} \overset{\oplus d_{i}^{P}}{\to} Q = \oplus P_{i} \overset{\oplus d_{i}^{P}}{\to} \dots$ ，

显然 $Im (\oplus d_{i}^{P}) \in SUGFC- P (R)$ 。又 $Im (\oplus d_{i}^{P}) ≅ \oplus Im (d_{i}^{P})$ ，故结论成立。

推论3.6 设R是右余凝聚环，M是一R-模，则 $M \in SGFC- P (R) \Leftrightarrow M \in SUGFC- P (R)$ 。

证明由注记3.2(1)、命题3.3和文献( [9]，定理7]易见。

命题3.7 设R是右余凝聚环，M是一R-模， $r .FC .gl .dim (R) < \infty$ ，则 $M \in FC- P (R) \Leftrightarrow M \in SUGFC- P (R)$ 。

证明由注记3.2(1)和推论2.11易见。

定理3.8 设R是右余凝聚环，且 $r .FC .gl .dim (R) < \infty$ ，则 $FC- P (R)$ 、 $GFC- P (R)$ 、 $w GFC- P (R)$ 、 $SGFC- P (R)$ 和 $SUGFC- P (R)$ 是同一个类。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11861055)。

参考文献

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