基于Eigen Decomposition FrFT双绞线检测系统设计

Design of a Twisted Pair Detection System Based on Eigen Decomposition FrFT

摘要: 在远距离双绞线电缆故障诊断的过程中，故障诊断的准确性容易受到实际环境中的多种因素影响，在采集反射信号时，会受到噪音等因素的影响，造成采集频率不准确、搜索误差较大等影响，最终影响了电缆诊断系统的准确性。分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform, FRFT)是一种新型电缆故障检测方法，利用线性调频信号(LFM signal)作为入射信号，由于FrFT对LFM信号在特殊阶数下产生能量聚集性的特点，在分数域中可以检测到故障位置的冲激函数，因此可以得到故障位置。近年来，离散分数阶傅里叶变换的发展，衍生出了最接近连续分数阶傅里叶性质的特征分解型傅里叶变换。经实验验证，在最佳Hermite-Gaussian函数近似值下能够得到比采样型FrFT的更好的检测效果。

Abstract: In the process of long-distance twisted pair cable fault diagnosis, the accuracy of fault diagnosis is easily affected by various factors in the actual environment. When collecting reflected signals, it is affected by factors such as noise, resulting in inaccurate collection frequency and large search er-rors, ultimately affecting the accuracy of the cable diagnosis system. Fractional Fourier Transform (FRFT) is a novel cable fault detection method that utilizes linear frequency modulation (LFM signal) as the incident signal. Due to the energy aggregation of the LFM signal under special orders, FRFT can detect the impulse function of the fault location in the fractional domain, thus obtaining the fault location. In recent years, with the development of discrete fractional Fourier transform, the Eigende composition of a matrix Fourier transform, which is closest to the continuous fractional Fourier transform, has been derived. Through experimental verification, better detection performance can be achieved than the sampled FrFT under the optimal Hermite Gaussian function approximation.

1. 引言

无线通信网络的出现让企事业单位办公效率提升一个档次。但是，无线通信不同于有线网络，所有的通信数据都在空中传输，有被窃听和破解的风险。因此，保密单位常使用有线通信能有效防止机密泄露 [1] 。埋地电缆在长年的工作环境下，会受到腐蚀、老化，或是由于温度过高导致电缆局部缺陷，使得电缆的绝缘性能下降，造成开路和短路的故障 [2] 。但电缆长时间埋于地下，难以通过人眼观察到故障点，并且通信电缆为远距离电缆，一般在公里级以上。

近年来，分数阶傅里叶变换因其在光学、量子力学、模式识别、时频分析、信号处理等领域的广泛应用得到了越来越多的关注 [3] 。分数阶傅里叶变换可以看作是时频平面的旋转，并且同其他时频分布具有密切的联系，这为分数阶傅里叶变换理解为一种统一的时频变换奠定了理论基础。在信号处理领域，分数阶傅里叶变换将信号从时频平面旋转为分数阶域，在特殊阶数下，对线性调频信号(LFM信号)呈现出独有的能量聚集性。传统的扩展频谱时域反射法(spread spectrum time domain reflectometry, SSTDR)主要的研究对象是同轴电缆，通常用于飞机和铁路应用环境 [4] ，在双绞线电缆环境下由于频率限制无法有效检测 [5] 。时频域反射法(time frequency domain reflectometry, TFDR)利用维格纳维拉分布(wigner-ville distribution, WVD) [6] ，但是会因此引入交叉项干扰。文献 [6] 和文献 [7] 提出增广时频域反射法(augmented time frequency domain reflectometry, ATFDR)消除了交叉项，但是，所选高斯调频信号频率过高不适用于语音双绞线的低通特性，而且实验检测距离太近，对于在信号较微弱的远距离检测意义不大。

由于分数阶傅里叶变换的离散化算法(discrete fractional fourier transform, DFRFT)的发展 [8] ，对信号处理领域起着非常重要的作用。其中，特征分解型分数阶傅里叶变换(Eigen Decomposition FrFT)满足连续分数阶傅里叶变换的性质，但是会牺牲计算效率 [9] [10] 。其中，经过优化选取得到的离散Hermite-Gaussian函数的近似值参数对双绞线的检测结果有较大提升 [11] 。因此，最佳的近似值参数能够得到更强的能量聚集性，对于远距离检测能够呈现出更精准的检测结果。

本文提出Eigen Decomposition FrFT针对语音通信双绞线的一种全新算法，优化算法选取最佳近似值参数，所得故障计算位置的精确性有所提升。实验平台选择ZYNQ-7000系列，利用PS (Processing System)生成LFM线性调频信号作为入射信号，经由DMA传输协议传递数据流给PL (Program Logic)侧。高速DAC模块将信号转化为模拟信号经由放大器传输至双绞线故障电缆中。同时，高速ADC采集混叠信号，经过离散分数阶傅里叶变换算法，得到故障位置处的检测点。

2. 检测架构及原理

2.1. FRFT检测原理

分数域介于时域与频域之间，在不同的旋转角度下，能够对信号在多个分数域中进行分析，为观察信号提供多个角度的分析。其中，线性调频(linear frequency modulation, LFM)是一种不需要伪随机编码序列的扩展频谱调制技术。因为线性调频信号占用的频带宽度远大于信息带宽，所以也可以获得很大的系统处理增益。

LFM信号在时频平面上旋转至特定的阶数下，能够呈现出有能量聚集性的冲激信号，易于被检测。因此在实际检测中，需要搜索最佳旋转角度，找到信号最大峰值所在位置。

由于二类语音通信双绞线电缆的低频传输特性，高频信号无法通过电缆得到有效反射信号，只能发射低频信号注入电缆，而这样接收到的混叠信号中会有大量噪声信号传统的时频分析算法无法进行有效的检测，而FrFT算法是将信号转换至分数域中进行分析，由于噪声信号在分数域中没有任何影响，因此能够有效检测双绞线电缆。

一般对于FrFT有两种最常用的定义形式，积分核变换和特征分解。a阶连续分数阶傅里叶变换的公式为：

$\left\{{\mathcal{F}}^a\right\}\left(t_a\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{K}_a}\left(t_a,t\right)\ast f\left(t\right)\text{d}t$ (1)

其中，积分核为：

$K_a\left(t_a,t\right)=\sqrt{\frac{1-j\cot \alpha }{2\text{π}}}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{j\text{π}\left(t_a^2\cot \alpha -2t_{a}t\csc \alpha +t^2\cot \alpha \right)}f\left(t\right)\text{d}t}$ (2)

积分核的谱展开形式为：

$K_a\left(t_a,t\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\psi }_k\left(t_a\right)\ast {\text{e}}^{-j\frac{\text{π}}{2}ka}\ast {\psi }_k\left(t\right)}$ (3)

${\psi }_k\left(t_a\right)$ 为特征函数，根据第k个Hermite-Gaussian函数所定义。

2.2. Hermite-Gaussian函数离散化过程

在现有FrFT离散化算法中，采样型DFrFT的特点是效率高，但是会牺牲连续FrFT定义性质。Eigen Decomposition DFrFT的特点是满足性质，但是在计算效率上会大大降低。

双绞线故障检测对于检测的精度要求较高，需要更为接近连续的性质。DFrFT的积分核谱展开定义为：

$F^a\left[m,n\right]={\displaystyle \underset{0}{\overset{N-1}{\sum }}{p}_k\left[m\right]\ast {\left({\lambda }_k\right)}^a\ast p_k\left[n\right]}$ (4)

计算近似离散Hermite-Gaussian函数：

$\hat{H}={\displaystyle \underset{p=1}{\overset{m}{\sum }}{\left(-1\right)}^{p-1}\ast \frac{{\left[\left(p-1\right)!\right]}^2}{\left(2p\right)!}\ast \left(\widehat{C_p}+\widehat{D_p}\right)}$ (5)

定义的离散Hermite-Gaussian函数必须近似等于连续的Hermite-Gaussian函数。公式(5)中m为近似值参数。m取值的不同，对检测结果有着较大影响，有必要确定m系数的取值在不同距离下的影响，选择最优解。

3. 系统程序设计

为实现基于DFrFT算法的便携式双绞线故障检测设备并且验证算法的效率和性能，搭建了如图1所示的实验环境。待测电缆长度选择使用总长1538 m、特征阻抗为100 Ω，传输频率为1 M的二类屏蔽双绞线作为测试对象。

Figure 1. Experimental platform

图1. 实验平台

在系统设计过程中，ZYNQ平台通过串口连接屏幕显示ARMLinux系统打印信息。进入系统后，加载AXI总线驱动模块，即开启并检测PL侧的AXI4总线通道数量。通过执行信号发送模块驱动文件，将实部信号与虚部信号分别注入至故障电缆，信号在传播过程中遇到阻抗不匹配的点发生反射，此时ADC模块同时采集入射信号与反射信号的混叠信号，并传输至PS系统中。制作工程文件时，通过Makefile将驱动与两种算法分别和驱动文件编写在一起，ARM系统得到所需的混叠信号后，在采集结束后，算法文件将自动处理两部分混叠信号并输出计算结果。该系统实现信号发射和采集系统的便携式化，如图2所示。

为了确定其合适的信号参数，需要对不同的带宽下的信号进行验证。其中带宽越高，u域峰值点间隔∆u的计算结果精度越高，但高频信号在低通双绞线电缆中的衰减就会越大。因此需要测试在不同长度区间范围内的最优入射信号带宽。

Figure 2. System design

图2. 系统设计

4. 算法验证与分析

4.1. 算法流程

由于语音双绞线的低频特性，高频信号会随着电缆检测距离的提升而衰减。因此，需要在不同的检测距离区间内选择不同的LFM信号带宽，经过算法测试分析，实验统计如表1所示。

Table 1. LFM signal selection

表1. LFM信号选择

为验证Eigen Decomposition DFrFT算法在实际工程中的性能与效率，实验对象选择400 m的二类语音通信双绞线，分别测试在不同的Hermite-Gaussian函数近似值下的结果。

首先，生成时宽T = 100 us、起始频率f₀ = 0 Mhz、带宽B = 2 Mhz、频率f = 100 Mhz的线性调频信号。由于DFrFT所计算的结果分为实部与虚部，因此需要将LFM信号的实部与虚部分别注入电缆中。由于AD9708芯片硬件要求，信号必须生成0~255范围的整数信号。如图3所示。

Figure 3. LFM integer signal

图3. LFM整数信号

此时，需要从两个角度对混叠信号处理。第一，对混叠信号进行等比例信号大小的加窗，加窗能够得到较好的旁瓣抑制效果，并且提高频率分辨率，如图4(a)所示；第二，将数字信号从0~255的范围调整至0轴对称信号，如果直接进行分析，则会在主峰后产生台阶，无法得到有效故障点处冲激函数。如图4(b)所示。

(a) LFM加窗处理 (b) 台阶

Figure 4. LFM signal processing

图4. LFM信号处理

将带宽B、信号采样率f_s、带入归一化调频率计算公式k = B/f_s，计算得到k = 0.2，在u域的旋转角度α = arctan(−k)，最佳变换阶数p = α/(π/2)，计算得到p = −0.987269。将实部信号与虚部信号分别进行归一化，然后相加得到最终结果。

分数阶傅里叶变换的时延估计，利用了FRFT的时移特性 [12] ：

$F^P\left[f\left(t-\tau \right)\right]={\text{e}}^{j\text{π}{\tau }^2\sin \alpha \cos \alpha }{\text{e}}^{-j\text{π}u\tau }{f}_p\left(u-\tau \cos \alpha \right)$ (6)

由式可知，LFM信号在时域的延迟τ变换到分数域上表现为信号幅度谱平移τcosα。分数域上幅度谱的位置偏移量∆u即为对时延的估计：

$t=\Delta u\ast \sec \alpha \ast \frac{1}{f_s}$ (7)

公式为在u域中的时间延迟公式。其中，t为信号到反射点并返回至入射端所计算的时间，∆u为u域中入射信号与反射信号峰值之间的间距点数，f_s为入射信号的采样率。而后利用距离公式s = 0.5*vt，即可计算出FrFT算法所得到的故障距离，表2所示为不同信号选择所计算的误差。

Table 2. The relationship between bandwidth and ∆u

表2. 带宽与∆u的关系

4.2. 算法优化参数选取

为验证公式(5)中近似值参数m对于检测结果的影响，选取在语音通信双绞线电缆400 m处设置开路点，依据上述算法流程，设计选取带宽B为2 M，时宽T为100 us的LFM信号。图5所示为选取近似值m = 2，4，6，8时所计算的测距结果。

(a) (b) (c) (d)

Figure 5. Comparison of H-G function parameters at 400 meters

图5. 400 m处H-G函数参数对比

在图5的u域坐标系中，第一个峰值为LFM入射信号变换的峰值点，其坐标为u_s = 4902。第二个峰值为反射信号变换的峰值点，其坐标为u_r = 4909或4910。

可以看出，不同的Hermite-Gaussian近似值对于检测距离精度和能量聚集特性均有所不同。当近似值m = 2时，∆u = u_r − u_s = 7，通过公式(7)计算出时延近似t = 3.50 us，经过分析实测信号在语音双绞线传播速度为v = 192 m/us，即可计算出故障点的距离为s = 1/2*v*t = 336.06 m，实际故障距离为400 m，误差率为15.985%。当m = 4、6、8时，∆u = u_r − u_s = 8，通过公式(7)计算出时延近似t = 4.00 us，计算出故障点的距离为s = 384.08 m，误差率为3.98%。因此m = 2分析结果误差太大应排除。

图6(a)为不同Hermite-Gaussian近似值下实测的计算时间，其中m = 4与m = 18区间内计算时间稳定在40 s左右，m = 18与m = 30区间内所需计算时间大幅上升。而图6(b)为不同近似值下的能量幅值大小，其中m = 6的幅值0.31729为最高峰值，之后一直降低稳定在0.24附近。因此结合两者对比，m = 6为最佳Hermite-Gaussian近似值。

4.3. 算法验证

从651.6 m处以221.6 m的线缆长度递增，分别在651.6 m、873.2 m、1098.6 m、1316.4 m、1538 m处设置开路故障点，实测5组数据结果。当故障点在651.6 m时，从图7可以看出两种算法都能够有效检测故障点，而Eigen Decomposition DFrFT所得的能量为0.13305，相比于采样型的0.10699，相比主峰

(a) 计算时间 (b) 峰值能量

Figure 6. Influence of 400 m distance approximation

图6. 400 m距离近似值影响

能量高出1.303%。当故障点在873.2 m处时，特征分解FrFT的峰值点为0.056994，虽然比采样型能量高出了0.3629%，但是明显可以看出在873.2 m处，2 Mhz带宽的LFM信号已经衰减严重，如再进一步检测已无法得到有效反射峰值。因此，选择将带宽进一步降低至700 khz，这样能够让入射信号衰减度降低。

Figure 7. Calculation results of bandwidth 2 Mhz

图7. 带宽2 Mhz计算结果

采样型FrFT与Eigen Decomposition DFrFT的检测结果由表3所示。在近距离区间内，反射峰的冲激函数较为明显，因此可以使用计算效率更高的采样型FrFT。但在远距离区间与带宽极限检测位置处，反射信号十分微弱，采样型FrFT计算的冲激函数点幅值与噪声大小幅值不相上下，而Eigen Decomposition DFrFT选取最佳的Hermite-Gaussian近似值参数后，能够在原有混叠信号不变的情况下，计算出更高的有效峰值。虽然牺牲了计算效率，但是能够在带宽不变的情况下保证计算精度，有效检测故障点。

5. 结语

本文针对语音通信双绞线的实验环境，提出全新的Eigen Decomposition DFrFT的故障定位方法，首先利用ZYNQ平台外接AD-DA器件实现LFM信号发射与采集，并且根据双绞线信号传输特性对不同长度区间的带宽进行选择。根据双绞线检测应用工程要求，由于近距离区间检测需求高精度的准确测量，

Table 3. Detection result

表3. 检测结果

因此在0~873.2 m选择带宽为2 Mhz的带宽LFM信号，而873.2 m~1538 m的远距离测量区间选择带宽为700 Khz的LFM信号。由于不同的Hermite-Gaussian近似值参数所得到的峰值能量对检测影响较大，重点优化测试了Hermite-Gaussian近似值参数对检测结果的影响，验证了优化后的Eigen Decomposition DFrFT检测双绞线的有效性，提升了对语音通信双绞线的检测效果。