主成分分析在投资组合中的应用研究

Research on the Application of Principal Component Analysis in Investment Portfolios

摘要: 本研究基于沪深300成分股的财务数据，运用主成分分析法(PCA)构建投资组合，并分别采用等权重和随机权重两种策略确定各股票的比重。通过分析2023年数据，结果显示，基于PCA构建的投资组合在一定程度上能够分散风险，且在收益率上略优于沪深300指数。等权重和随机权重策略的表现有所不同，前者更均衡，后者更灵活多样。风险价值(VaR)分析表明，随机权重组合的潜在损失略高于权重组合和沪深300指数，显示出更高的风险敞口。研究结论证明，主成分分析法在投资组合构建中具有较高的实用性。

Abstract: This study is based on the financial data of the CSI 300 constituent stocks and employs Principal Component Analysis (PCA) to construct investment portfolios. Two strategies, equal weighting and random weighting, were used to determine the proportion of each stock in the portfolio. By analyzing data from 2023, the results show that the PCA-based portfolio can effectively diversify risk and slightly outperform the CSI 300 index in terms of returns. The performances of the equal-weighted and random-weighted strategies differ, with the former being more balanced and the latter more flexible. The Value at Risk (VaR) analysis indicates that the random-weighted portfolio has slightly higher potential losses compared to the equal-weighted portfolio and the CSI 300 index, reflecting a higher risk exposure. The study concludes that PCA is highly practical for portfolio construction.

1. 引言

在当今不断变化的经济环境中，投资组合管理显得尤为重要。投资组合，或者说是多种投资资产的组合，是金融策略中的一个核心概念，它不仅有助于实现资金的增值目标，同时也是分散投资风险的有效工具。通过精心设计的投资组合，投资者可以在全球市场中的不同资产类别之间进行权衡，优化其风险和回报的平衡。

首先，投资组合的构建基于一个基本原则：不将所有资金投资于单一资产。这种分散化策略有助于降低因单一市场或资产波动而带来的投资风险。例如，股票市场可能因为经济衰退而下跌，但与此同时，债券或黄金等其他资产可能会表现得更为稳定甚至升值，从而抵消部分损失。因此，一个多元化的投资组合可以在不同市场条件下保护投资者的资本，减少潜在的财务损失。

此外，投资组合的设计还需要考虑到投资者的个人风险承受能力、投资目标以及市场前景等因素。年轻的投资者可能更倾向于风险较高但潜在回报更大的股票市场，而接近退休年龄的投资者可能会选择风险较低的债券或定期存款。通过调整投资组合中各类资产的比例，投资者可以按照个人的财务目标和风险偏好来定制自己的投资策略。

基于此，本研究以沪深300成分股的财务指标为基础，运用主成分分析法构建投资组合。通过该方法，我们可以从众多财务指标中提取出主要的公共因子，从而降低数据维度，简化分析过程。然后，我们使用等权重和随机权重两种方法确定投资组合中各只股票的权重。等权重方法将投资资金平均分配给每只股票，而随机权重方法则通过随机过程确定各只股票的权重。最后，我们对投资组合的表现进行评估，验证其是否能够稳定跑赢沪深300指数，并分析投资组合在分散风险和提高收益方面的效果。

通过研究，我们发现运用主成分分析法构建的投资组合能够在一定程度上有效分散风险，并提高组合收益。同时，等权重和随机权重两种方法确定的投资组合权重在不同市场环境下表现各异。因此，投资者在构建投资组合时，应根据自身的风险偏好和市场情况选择合适的权重确定方法。此外，我们还发现投资组合的表现与股票的选择密切相关。因此，投资者在选择股票时，应综合考虑股票的财务状况、行业前景、市场竞争力等因素，以提高投资组合的表现。

2. 文献综述

投资组合管理的重要性在金融领域的广泛研究中得到了持续的关注和讨论。从马科维茨(Markowitz)的现代投资组合理论起，学者们就已经深入探讨了如何通过分散化策略最大化投资的预期回报同时最小化风险。马科维茨在1952年提出的均值–方差分析是构建有效投资组合的基石，强调了不同资产之间的相关性对于整个投资组合风险水平的影响。随后，许多学者扩展了这一理论，如夏普(Sharpe)的资本资产定价模型(CAPM)和罗斯(Ross)的套利定价理论(APT)，这些理论进一步完善了投资组合的风险评估和资产定价机制。这些模型的核心在于，通过合理配置，即使在市场波动时期，投资组合也能维持相对稳定的增长。贾小波(2014)深入探究了在Beta约束条件下，牛市和熊市中最优投资组合的构建[1]。唐功爽(2010)以主成分分析法为基础，借助SPSS软件，详细阐述了因子分析过程中容易出现错误的地方及其成因，并提出了相应的建议[2]。张力运用spss和stata软件进行主成分分析进而构造投资组合，面对的对象是沪深Ａ股所有股票的财务数据，并对VaR进行回测，证明投资组合构造策略是正确的[3]。林德发和杨潇宇利用多因素模型，验证成分股组合是否可以稳定跑赢沪深300指数，并对成分股收益率进行预测投资组合管理并非没有挑战[4]。市场的不可预测性和外部经济因素如利率变动、政治不稳定等都可能对投资组合的表现产生影响。因此，学术界和实务界都在不断探索更为灵活和应对性强的投资策略，以适应快速变化的市场环境。

本文则运用Python对沪深300成分股共有的财务因子进行降维处理。通过这种方式，我们能够有效地减少数据的维度，降低计算复杂度，同时提高模型的解释能力。此外，我们还采用等权重和随机权重这两种方法进行选股。等权重方法赋予每只股票相同的权重，使得投资组合更加均衡；而随机权重方法则通过随机过程确定股票的权重，增加了投资组合的多样性。通过这两种方法的结合运用，我们能够降低投资组合的风险，提高收益水平。综上所述，本文的研究方法和结论具有一定的创新性和实践意义，为投资者构建投资组合提供了新的思路和方法。

3. 相关理论介绍

3.1. 主成分分析法

项目投资决策是复杂的多目标决策问题，文章对该问题给出了一种有效的定性与定量相结合的多目标决策方法——主成分分析法(PAC)，并通过实例证明此法进行项目投资决策是完全可行有效的[5]。PCA的第一个主成分具有最大的方差，每个随后的主成分都有次大的方差，并且与之前的主成分正交。在应用PCA时，首先需要计算数据的协方差矩阵，然后找出这个协方差矩阵的特征值和特征向量。这些特征向量定义了新的坐标系统，而特征值则给出了各主成分的方差，指示了每个主成分的重要性。在金融分析中，PCA常用于资产回报的分析，识别和解释资产价格变动的关键因素。运用主成分分析法具有以下两个优点：其一，研究的原始变量能够保持其原有特性；其二，能够减少估计变量的数量和相关性，从而使研究问题相对简化。

3.2. 投资组合理论

投资组合理论由Harry Markowitz在1952年提出，旨在通过资产组合构建最大化预期回报并最小化风险。这一理论基于均值–方差分析，强调资产之间的相关性是决定投资组合风险的关键因素[6]。理论核心是，不同资产之间的不完全相关性可以被用来构造风险更低的投资组合。根据投资组合理论，通过适当选择和组合不同的资产，可以在不增加预期回报的情况下降低投资组合的总体风险，或在不增加风险的情况下提高预期回报。投资组合的有效边界(Efficient Frontier)是理论中的一个关键概念，表示给定风险水平下可以达到的最高回报。投资者应选择位于有效边界上的投资组合，以实现风险和回报的最优组合。此外，该理论也衍生出了资本市场线(CML)和资本资产定价模型(CAPM)，为资产定价和资本分配提供了理论基础。其表达式如下：

${\sigma }_p={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{w}_{\text{i}}{w}_{j}cov\left(r_i,r_j\right)$

$E\left(r_i\right)=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^m{r}_i}{m}$

其中，$E\left(r_i\right)$ 表示组合收益率序列的均值，${\sigma }_p$ 表示组合标准差，$w_{\text{i}}$ 表示股票权重，$r_i$ 表示股票收益率序列。

4. 投资组合的构造

4.1. 财务指标的选取与处理

本研究的数据通过tushare (Python财经数据接口包)获取，选取的对象为沪深300所有成分股，涵盖了108个财务指标。在去除缺失率大于零的财务指标后，我们对剩余的52个指标数据进行了标准化处理。这些指标可以分别代表公司的偿债能力、营运能力、盈利能力和发展能力等方面。通过标准化处理，我们消除了指标之间的量纲差异，使得不同指标具有可比性。

4.2. 主成分分析方法的实证应用

在本次研究中，我们利用Python软件对已经标准化的数据执行了因子分析，从而构建出了一个成分矩阵。这个矩阵使我们能够识别并计算出52个财务指标的线性组合系数及其对总变异的贡献率。通常情况下，我们会选择那些累计贡献率达到或超过80%的公共因子，作为代表整个数据集的主要变量。在这项具体的分析中，我们确定了13个主成分，它们的累计贡献率高达95.25%，并且每个主成分的解释能力都超过1，这一结果有效地展示了主成分分析在数据降维中的强大能力。这表明运用主成分分析能够有效地实现降维的目的。

通过分析13个主成分的得分和各自的方差贡献率，我们进一步细化了这些得分并进行了排序。得到每个主成分的得分之后，我们使用这些得分的方差作为权重来分配，从而构建了一个基于加权得分的综合评分系统$score={\displaystyle \sum }_{i=1}^{13}{\sigma }_i^2{y}_i$ 。这个综合得分反映了各主成分在整体数据集中的相对重要性，为进一步的分析和决策提供了依据。其中${\sigma }_i^2$ 为第i个主成分的方差贡献率。根据主成分综合得分，我们得到了主成分得分及其排名，如表1所示。我们主要选取了综合得分排名前10的股票来构造投资组合，依次为山西汾酒、长城汽车、贵州茅台、重庆啤酒、洋河股份、澜起科技、五粮液、中际旭创、爱美客、泸州老窖。值得注意的是，这10家公司来自不同的行业，包括白酒、汽车、啤酒、科技、医美、证券等。

Table 1. The overall score and ranking of 10 stocks

表1. 10只股票综合得分与排名

股票代码	股票名称	得分	排名
600809.SH	山西汾酒	5.572903	1
601633.SH	长城汽车	5.479846	2
600519.SH	贵州茅台	5.368592	3
600132.SH	重庆啤酒	3.714105	4
002304.SZ	洋河股份	3.124779	5
688008.SH	澜起科技	3.077444	6
000858.SZ	五粮液	2.831735	7
300308.SZ	中际旭创	2.770222	8
300896.SZ	爱美客	2.668000	9
000568.SZ	泸州老窖	2.655602	10

5. 投资组合权重的确定

通过对2023年沪深300成分股的财务数据进行详细分析，并去除了数据中的缺失值与极端值后，我们成功地识别出了52个关键公共因子以进行主成分分析。基于这些分析结果，我们精选了8只表现出色的股票构建我们的投资组合。为了优化这些股票的组合效果，我们分别采用了等权重和随机权重两种不同的权重配置方法。等权重和随机权重策略的表现有所不同，前者更均衡，后者更灵活多样。风险价值(VaR)分析表明，随机权重组合的潜在损失略高于权重组合和沪深300指数，显示出更高的风险敞口。如图1所示，“hs300”表示沪深300的收益率，而“Portfolio_EW”和“Portfolio_RW”分别代表使用等权重和随机权重策略的投资组合的收益率。这些结果不仅验证了我们构建投资组合的策略的有效性，也表明了不同的权重配置策略都能有效地提升收益，超过市场基准。

这一结果表明，我们所采用的投资组合构建方法是有效的，能够为投资者带来较好的投资回报。同时，也验证了等权重和随机权重这两种权重确定方法在投资组合构建中的可行性和有效性。然而，需要注意的是，投资市场是复杂多变的，过去的表现并不能保证未来的收益。因此，投资者在进行投资决策时，还需要综合考虑多种因素，如市场趋势、宏观经济环境、行业发展前景等，以制定出更加合理和科学的投资策略。

Figure 1. Portfolio yield index chart

图1. 投资组合收益率指数图

计算结果表明，在2022年至2023年期间，无论采用哪种权重方法，投资组合的收益率与沪深300指数收益率基本持平。这表明，通过主成分分析选取的8只股票具有较好的投资价值，能够为投资者带来较高的收益率。同时，采用等权重和随机权重两种方法确定投资组合的权重，也能够有效地分散风险，提高投资组合的稳定性。

Figure 2. Chart of stock yield index

图2. 股票收益率指数图

由图2可以看出，在所选的投资组合中，小部分股票的收益率都高于hs300。然而，000858.SZ的收益率显著低于股票组合，从而对总组合的收益率产生了一定的影响。这提示我们在选取投资组合时，不仅要关注整体的表现，还需要细致分析个股的财务数据，以防个别股票的不良表现对整个投资组合造成不利影响。

风险价值(Value at Risk，简称VaR)，通称为“受险价值”，是衡量在特定置信水平下，一定时间内金融资产组合可能遭受的最大预期损失。要有效测量VaR，主要需考虑两个因素：投资组合的持有期和置信水平。通常，较长的持有期与高的潜在损失风险直接相关，同时，置信水平的提高会增加VaR的估计值。在VaR的估计方法中，历史模拟法因其简便性和直观性而广受欢迎。

在我们的分析中，使用了等权重和随机权重两种策略，针对2023年1月至2024年1月期间的投资组合，在95%的置信水平下，我们计算了各自的VaR。具体来说，等权重策略下的投资组合VaR (VaR1)为0.031243804266148516，而随机权重策略下的VaR (VaR2)为0.03286179543211851。相比之下，沪深300指数的VaR (VaR3)为0.02020154908714519。这些结果表明，通过精心设计的投资组合策略，不仅能有效分散风险，还能增强资本的流动性，并可能为投资者提供更高的收益。进一步丰富内容：在实际投资中，风险是不可避免的，但通过合理的投资组合构建，可以降低风险并提高收益的稳定性。除了关注个股的财务数据外，还需要考虑行业趋势、宏观经济环境等因素对投资组合的影响。此外，不同的投资者可能具有不同的风险偏好和投资目标，因此在选择投资组合时需要根据个人情况进行调整。同时，历史模拟法虽然简单易用，但也存在一定的局限性，例如无法考虑极端事件的影响等。因此，在实际应用中，可能需要结合其他方法进行风险评估和管理。

6. 结论

在本研究中，我们使用主成分分析法对沪深300指数的成分股进行筛选，从中选出了8只表现优异的股票来构建我们的投资组合。通过应用等权重和随机权重两种不同的分配方法来决定这些股票在投资组合中的比重，我们进一步计算了这些组合的潜在收益率。分析结果显示，这种方法在构建投资组合时既严谨又有效，充分支持了多样化投资的重要性，即常言道的“不应将所有鸡蛋放在同一个篮子里”。主成分分析作为一种分析和选择股票的关键工具，它的核心优势在于能够帮助投资者识别并选择那些有潜力实现高收益的股票，从而有效地分散投资风险并优化收益。许多研究者会对主成分分析方法进行创新，然而，我们需要注意的是，资本市场与实体经济紧密相连，且与国家的产业政策和产业方向息息相关。因此，要想提高股票投资组合的累积收益率，在基于主成分分析方法选择股票时，应将国家的产业政策和产业规划纳入考虑范围，以实现更高的股票投资组合累积收益率。本文的研究也证明了这种方法的有效性。

通过结合产业政策进行股票选择和组合，投资者可以更好地把握市场趋势和行业发展方向，降低投资风险，提高投资回报率。同时，这种方法也为投资者提供了一种新的思路和方法，有助于他们在复杂的市场环境中做出更加明智的投资决策。