1. 引言
数学分析作为数学类专业的重要基础课程，其教学过程中最主要的挑战在于其严谨的逻辑体系和抽象的形式化表达。具体而言，数学分析教学主要面临三个方面的困境：
首先，在概念理解层面，高度抽象性将导致学生认知障碍。比如在学习极限的ε-δ严格定义时，大多数学生都存在理解困难。这与Tall提出的“形式化障碍”理论相吻合[1]。
其次，在教学手段方面，板书讲授仍占据主导。这种单一的教学模式难以满足教育部提出的“信息技术与教育教学深度融合”的要求[2]。
最后，在认知负荷管理上，传统教学方式通常会导致学生认知超载。根据Sweller的认知负荷理论，数学分析中的抽象概念容易造成较高的内在认知负荷[3]，而不当的教学设计又会增加不必要的外在负荷，从而影响学习效果[4] [5]。
随着教育信息化的发展，可视化教学方法为破解数学分析教学中上述难题提供了新的思路。数学可视化教学方面的研究已取得一系列重要成果：
Arcavi系统探讨了视觉表征在数学学习中的作用，提出了“视觉化思维”的培养路径[6]。Tall发展的“三种世界”理论，为分析数学概念的不同认知方式提供了框架[1]。Roschelle等研究了计算思维时代数学学习的新特征，强调了动态可视化的重要性[7]。林穗华深入分析了数学分析教学中直观性与严谨性的平衡问题[8]。彭翕成开发了基于动态几何软件的教学案例，验证了技术工具在高等数学教学中的有效性[9]。李清微基于GeoGebra软件进行了数学分析的可视化教学探索，取得了显著的教学效果[10]。
总体而言，近年来数学可视化教学研究聚焦GeoGebra、Mathematica等工具在微积分、线性代数等课程的应用[11]-[23]。研究显示，动态图形与交互设计(如旋转体体积渲染、矩阵乘法演示)显著降低概念抽象性，提升学生空间想象与跨学科应用能力(如量子力学方程可视化)。教学多采用“理论–可视化–实践”三阶段模式，结合案例驱动与分层设计，有效促进高阶思维培养。
不过现有研究仍存在 (1) 缺乏系统化的数学分析可视化教学框架；(2) 针对数学分析课程特点的可视化策略研究不够深入；(3) 教学案例的开发与实际课堂应用之间存在脱节等几方面的不足。
本文旨在构建数学分析可视化教学的理论框架，开发系列化的教学案例，同时探索可视化教学的实施路径。
2. 数学分析可视化教学的理论基础及对学生认知过程的影响机制
2.1. 数学分析可视化教学的理论基础
数学分析可视化教学主要建立在多模态表征理论、认知负荷理论和建构主义学习理论等理论之上。这些理论从不同角度出发，阐释了可视化技术在促进数学概念理解中的重要作用。
2.1.1. 多模态表征理论
Duval的多模态表征理论认为，数学概念的完整理解需要多种表征系统的协同工作[5]。在数学分析可视化教学中，数学理解的本质就是：从函数图像的视觉特征到形式化定义的符号表达，再到自然语言的解释说明。
多模态表征理论主要包括以下三种基本表征形式：
(1) 视觉/图形表征，即通过几何图形、函数图像等视觉形式呈现数学概念，能够激活学生的空间思维能力。Arcavi认为，视觉表征在处理拓扑性质、函数变化趋势等抽象概念时具有独特优势[6]。
(2) 符号/代数表征。Tall认为符号表征的抽象性既是其优势也是学生学习的主要障碍[1]。因此，需要通过可视化手段建立符号与图形之间的联系，例如将极限定义中的量词与函数图像的特定区域相对应。
(3) 语言/文字表征。教师讲解、教材的文字等语言表征在概念精确表达中起着不可替代的作用。
因此，Duval的多模态表征理论对于数学分析教学的一个重要启示是：精心设计教学语言，使其与视觉、符号等形成互补，即能够在不同表征系统之间进行灵活转换。Paivio提出，人类通过语言和非语言(视觉)两套系统处理信息[24]。可视化教学通过同时激活文字与图像的双重编码通道，能帮助学生找到知识的落脚点并建立起知识点之间的联系，培养学生用图像思考和学习的能力[25]。例如，化学分子结构的三维模型能帮助学生将抽象符号与空间表征相关联，强化概念内化。
2.1.2. 认知负荷理论
Sweller指出，可视化通过优化信息呈现方式降低外在认知负荷[3]。动态图表可替代冗长文字描述，减少工作记忆负担，使学生将更多认知资源用于高阶思维(如推理、问题解决)。研究表明，动态演示较静态图更利于理解物理概念[26]。
Sweller提出的认知负荷理论将学习过程中的认知负荷分为三类[3]：
(1) 内在认知负荷。内在认知负荷取决于学习内容本身的复杂性。数学分析中的抽象概念(如极限、一致连续性、可积性等)天然具有较高的内在负荷。Mayer认为通过适当的可视化设计，可以将这种内在负荷控制在学生可接受的范围内[4]。
(2) 外在认知负荷。外在认知负荷通常源于不当的教学设计。在传统数学分析教学中，过于密集的符号推导和缺乏组织的板书往往会增加不必要的外在负荷。而精心设计的可视化材料可以通过空间组织、分步呈现等方式降低这种负荷。
(3) 相关认知负荷。相关认知负荷通过信息整合等来深化知识理解，它是促进学习效率的关键因素。而可视化教学能够有效增加相关认知负荷，促进学生深层次的数学理解。例如，让学生通过GeoGebra软件自主探索函数极限的性质，可以引导他们将注意力集中在关键概念的理解上。
认知负荷理论的一个重要启示是，可视化教学设计需要遵循“简约原则”。即在数学分析教学中，应该避免过度装饰和无关信息，确保每个视觉元素都能直接服务于概念理解。
2.1.3. 建构主义学习理论
建构主义学习理论可以为数学分析可视化教学提供了方法论指导，因为其强调学习是学习者基于已有经验主动建构知识的过程，而非被动接受外部信息。建构主义视角下的可视化教学强调“做”而非“看”。正如教育部在《教育信息化2.0行动计划》中强调的，技术应用应该服务于学生的主体性学习，而非简单的演示工具。建构主义学习理论主要包含以下几个关键：
(1) 知识的主观性与建构性。知识主观性与建构性揭示了学习的动态本质，意味着教育实践需从“传递知识”向“建构意义”转型。事实上，知识是学习者基于经验与环境互动主动建构的解释。交互式可视化工具可以为学生提供自主探索数学概念的机会。例如，在定积分概念教学中，让学生通过调整分割数来观察黎曼和变化趋势，比被动观看演示更能促进深度理解。
(2) 学习的社会互动性。学习的社会互动性认为协作学习能帮助学习者跨越“最近发展区”，例如教师可以通过提问引导发现新知识。因此数学分析可视化教学过程中应该设计适当的协作环节，让学生在讨论中完善对数学概念的理解。例如，通过小组合作分析函数图像的奇异点特征，可以促进更高层次的认知发展。
(3) 情境化学习。教师在教学中通过精心创设问题情境，不仅可以启发学生，而且能够调动学生积极主动的学习。比如在定积分教学中通过曲边梯形的面积、变速直线运动的路程来引入定积分概念。而在数学分析可视化教学过程中，则可以通过可视化技术创设的数学情境(如动态展示微分中值定理的几何意义)，以有效激发学生的学习动机。不过要注意的是，情境的设立应该尽可能贴近概念的数学本质，而非简单的形象化。
(4) 学习者中心地位。在教学过程，教师角色应该由传授者转为促进者，即教学由“教师讲授”转向“学生探索”。在教学中，充分考虑学习者的中心地位，可以更好地激发学生的主动性，引起学生的学习兴趣，同时促进学生的知识建构和能力发展。
2.2. 可视化教学对学生认知过程的影响机制
2.2.1. 促进概念理解的深层加工
(1) 具象化抽象概念
认知心理学研究表明，人类对抽象概念的掌握依赖于具象经验的积累[27]。可视化教学通过将抽象符号转化为可感知的图形、动态模型或空间结构，帮助学生建立“心理表象”，从而弥合语言符号与认知图式之间的鸿沟。
比如在数学教学中，以函数图像为例，代数表达式(如f(x) = x2)的几何化呈现能激活学生的视觉空间认知系统。数形结合促进了跨脑区信息整合。这种双重表征机制使学生能够从几何斜率变化中直观理解导数的物理意义，而非机械记忆公式。在物理教学中，电磁场概念的动态场线模拟可突破传统“点电荷受力”公式的局限性。例如，通过交互式可视化工具展示电场线与电荷运动的实时变化，学生能更深刻地理解场强分布与电势能的关系[28]。
(2) 纠正认知偏差
文本描述常因语言歧义导致学生形成错误心智模型。比如细胞分裂过程中纺锤丝的形成是一个渐进的动态过程，它从前期开始出现，并在中期逐渐成熟。然而，文字描述很难将这种动态变化完整呈现，学生容易误以为纺锤丝在前期就已经完全形成，这就是将动态过程静态化的典型例子。其认知机制在于：
① 多模态冲突消解：可视化模型通过动态分解步骤(如染色单体分离的逐帧动画)，直接暴露学生原有认知框架中的矛盾点，触发“认知冲突”，进而驱动概念重构。
② 具身认知效应：比如在虚拟实验室中，学生通过手势操作旋转DNA双螺旋结构，其运动感知系统与概念理解形成具身联结，强化对“碱基互补配对”等抽象规则的内化。
2.2.2. 增强问题解决能力
(1) 模式识别优化
人类视觉系统对颜色、形状、空间关系的敏感性远超文本处理。可视化通过信息压缩与特征增强，帮助学生快速捕捉关键变量间的隐含模式。比如在学习分子轨道能级图时，对分子轨道能级图的对称性色彩编码，能使学生更易识别电子填充规律，减少传统教学中因记忆能级顺序导致的错误[29]。其认知优势源于：
① 视觉显著性引导：暖色调区域自动吸引注意力，减少无关信息干扰；
② 空间类比迁移：学生将地图分布规律迁移至类似问题(如人口迁移趋势预测)，形成“模式识别–规律概括–应用推理”的认知闭环。
(2) 元认知调节
元认知能力是问题解决的核心，指个体对自身认知活动的计划、监控与修正能力[30]。可视化工具通过外化思维路径，帮助学生突破“黑箱式思考”的局限。比如采用几何证明的可视化标注系统(如动态辅助线生成)可促使学生反思“为何选择此种证明路径”，从而培养策略性元认知技能。
2.2.3. 激发认知迁移
(1) 跨情境类比
认知迁移依赖于新旧情境间的结构相似性识别[31]。可视化通过凸显知识的内在结构，降低类比迁移的认知门槛。比如在历史教学中，在分析“信息革命社会影响”时，如果使用“工业革命时间轴”可视化工具，学生能更准确地提取“技术扩散–制度变革–文化冲突”的共性框架。因为时间轴的事件连线可以凸显因果关系，帮助学生抽象出“技术创新引发链式反应”的通用模型。如果按政治、经济、文化维度分类事件，可以强化学生对跨领域互动规律的理解。
(2) 认知弹性提升
可视化教学通过提供同一概念的不同表征形式(如图表、动画、交互模型)，培养学生的“认知弹性”，即灵活切换视角解决问题的能力。比如在语言学习时，词汇语义网络图(如近义词辐射图)可帮助学生建立多维度语义关联，在写作中更灵活地选用替代表达；而在物理教学实验中，如果对“牛顿定律”分别采用自由落体视频、受力分析矢量图、太空微重力模拟三种可视化方式教学，学生在解决非典型问题(如斜面摩擦力计算)时，其认知以及解决问题的策略水平将大幅度提高。
3. 教学案例设计
多模态表征理论、认知负荷理论、建构主义理论等三个理论并非孤立存在。比如，多模态表征理论解释了“为什么要可视化”，认知负荷理论指导“如何设计可视化”，而建构主义理论则说明“如何实施可视化教学”。而在数学分析教学实践中，则体现为：根据相应的概念特点选择适当的表征组合；遵循认知负荷原则优化可视化设计；创设建构主义学习环境促进主动学习。
基于上述思路，同时遵循认知匹配原则(案例难度应符合学生的最近发展区)、交互渐进原则(设计可调节的参数，支持探索式学习)、错误暴露原则(故意展示常见误解，促进深度思考)以及多模态协同原则(整合视觉、听觉、动作等多种表征形式)，设计涵盖极限、积分等核心概念的典型数学分析可视化教学案例。
3.1. 基于动态可视化的函数极限ε-δ定义教学设计
(1) 教学设计
本案例基于Duval表征转换理论和建构主义学习理论，利用动态可视化技术以突破函数极限ε-δ定义的形式化障碍。教学思路遵循“操作体验→模式识别→符号抽象”的认知发展路径，旨在帮助学生完成从直观几何理解到严格数学表达的思维过渡。具体思路如下：
① 情境导入：通过极限定义的发展历史和认知冲突问题激发学生探究动机，为后续形式化学习奠定基础。
② 动态演示与协作探究：利用GeoGebra工具实现函数图像与逻辑量词的同步动态呈现，通过标准函数示范、分组探索任务和反例深化三个阶段，帮助学生理解ε与δ的依赖关系及其几何意义。
③ 形式化总结：通过符号关联游戏、逻辑结构图建构和迁移应用任务，引导学生归纳ε-δ定义的逻辑关系，完成概念的形式化内化。
以下以表格形式呈现本次教学的实施过程，具体环节如表1所示。
Table 1. Implementation of the teaching process
表1. 教学过程实施
教学环节 |
教师活动 |
学生活动 |
操作要点/设计意图 |
情境导入 |
1. 播放动画：介绍极限定义从直觉到严谨的百年探索史 2. 播放动画：牛顿“无穷小”矛盾案例
(如x→0时
的行为) 3. 提问：“如何用数学语言避免‘无穷小’歧义？” |
观察动画并讨论“无限接近”的直观描述 |
动画需标注坐标刻度，避免视觉误导；提问后预留1分钟思考时间 |
动态演示 |
1. 展示预录GeoGebra视频：
固定ε = 0.5时寻找δ的过程2. 板书推导关键步骤：
解不等式|2x + 1 − 5| < 0.5 |
记录δ与ε的关系式，对比几何演示与代数
推导 |
视频分三段播放(ε = 0.5→0.2→0.1)，每段后暂停提问：“若ε缩小一半，δ应如何变化？” |
分组探索 |
下发三类函数任务单：1. 二次函数：探索δ与抛物线开口的关系2. 分段函数：识别极限存在条件3. 指数函数：分析单调性对δ选择的影响 |
分组操作GeoGebra，
完成数据记录与分析
报告 |
教师巡回时重点关注：- 是否理解δ的
非唯一性？- 能否发现函数增长率对δ的影响？ |
反例深化 |
分发反例卡片(含Dirichlet函数、
振荡函数)，指导学生用GeoGebra
验证极限不存在性 |
操作软件尝试不同ε值，总结“无论δ多小都存在违例点”的现象 |
提前准备典型错误分析
(如误将单侧极限作为整体极限) |
符号抽象 |
组织“定义组件拼图”游戏：- 将∀ε > 0、∃δ > 0等逻辑短语与
几何图示进行匹配 |
小组竞赛完成拼图，解释ε-δ的逻辑依赖关系 |
使用磁贴卡片方便调整，错误匹配即时讨论修正 |
(2) 教学效果评估及反思
采用形成性与总结性相结合的多元评估体系评估本案例的教学效果。形成性评价聚焦学习过程，通过交互系统记录学生在δ求解任务中的操作路径(如参数调节次数、错误警示触发频率)，结合反例识别的准确率(如能否正确判断振荡函数的极限不存在性)，动态反馈认知发展状态；总结性评价则通过课后测试量化学习成效，重点对比实验组与传统教学组在“独立写出完整ε-δ定义”等核心指标上的差异，辅以迁移任务(如分析新函数的极限存在性)评估高阶思维能力。
本案例的创新性体现在两方面：其一，通过动态图像、符号语言与自然解释的多模态表征联动，有效突破了数学形式化语言的认知壁垒。例如，在ε-δ定义教学中，GeoGebra工具的同步动态呈现使抽象量词(∀ε, ∃δ)的几何意义具象化，帮助学生建立语言符号与空间表征的双向联结；其二，将反例分析嵌入概念探索全流程，通过振荡函数、Dirichlet函数等典型案例的对比验证，促使学生主动反思极限存在的本质条件，从而深化概念理解。未来改进方向包括：开发δ求解策略的可视化推导模块(如动态显示代数不等式变形过程)，以直观呈现δ与ε的依赖关系；同时，可基于学习分析技术构建个性化难度调节系统，通过实时诊断学生的认知盲区，动态推送适配练习任务，实现分层精准教学。
(3) 案例设计说明
本案例通过动态可视化技术具象化抽象概念，严格遵循“操作体验→模式识别→符号抽象”的认知发展规律。其核心创新在于将数学分析的逻辑严谨性与建构主义的学习主动性有机结合，帮助学生在直观操作与形式化表达之间建立直接关联，有效降低了数学分析入门阶段的形式化障碍。
在教学设计的关键点把控上，特别强调三个方面：首先，严格保持图形缩放比例的一致性，避免因图像失真导致概念误解；其次，通过交互设计突出ε的先决性和δ的依赖性，帮助学生理解量词的逻辑关系；最后，精心设计特殊函数案例(如具有间断点的分段函数)，通过反例对比深化学生对极限概念本质的理解。
3.2. 基于认知负荷理论的定积分概念分层建构
(1) 教学设计
本教学案例基于认知负荷理论和渐进式认知发展模型，通过分层探究和动态可视化技术，帮助学生逐步建构定积分概念。教学思路遵循“具体操作→模式识别→符号抽象→工程应用”的认知发展路径，旨在降低学生在理解定积分概念时的认知负荷，促进从直观几何理解到严格数学表达的思维转化。具体设计思路如下：
① 情境导入：通过定积分概念的历史演变和实际问题引入，激活学生的前认知，建立数学概念与实际应用的联系。
② 分层探究：设计四阶段任务卡(分割→近似→对比→极限)，通过动态分割和误差分析，帮助学生理解黎曼和的几何意义及其收敛过程。
③ 概念凝练：通过思维可视化和三维解析，引导学生归纳定积分的核心概念，完成从直观到抽象的思维跃迁。
④ 工程迁移：通过实际工程案例，强化学生对定积分应用的理解，建立数学抽象与工程实践的联系。
以下以表格形式呈现本次教学的实施过程，具体环节如表2所示。
Table 2. Implementation of the teaching process
表2. 教学过程实施
教学环节 |
教师活动 |
学生活动 |
操作要点/设计意图 |
情境锚定 |
1. 展示阿基米德测量抛物线面积的
羊皮纸手稿复刻图2. 提出驱动问题：“如何精确计算
曲边梯形面积？” |
尝试用方格纸估算y = x²在[0, 1]的面积 |
提供带1 cm2网格的打印图纸，限制使用≤4个矩形 |
基础建构 |
指导学生使用GeoGebra完成：1. n = 4的左/右/中点法对比2. 局部放大观察最大误差区域 |
记录三种方法的面积值，用红笔标出误差最大区域 |
强调“曲率越大误差越显著”的规律 |
高阶探究 |
1. 演示n = 100的动态分割过程2. 提出思辨问题：“数学的无限细分在工程中可行吗？” |
讨论桥梁设计允许误差与数学极限的关系 |
对比展示金门大桥(允许变形量)与理想积分模型的差异 |
误差分析 |
组织“误差诊断”活动：- 提供n = 10的误差热力图- 引导学生提出优化策略 |
分析热力图，设计非等分分割方案(如在曲率大处增加矩形) |
允许使用简易工具(如曲率模板)辅助判断 |
工程迁移 |
发布真实案例任务：- 计算校园人工湖面积
(提供卫星地图与比例尺) |
小组制定测量方案，说明n值选择依据与误差控制方法 |
提供方案模板：
目标精度→分割策略→误差预估→成本权衡 |
(2) 教学反思
采用多维评估方法全面评估本案例的学习成效：形成性评价依托可视化平台采集过程性数据，包括分割精度(如n = 20时黎曼和正确率)、误差分析深度(如学生能准确指出最大误差区域与曲率的关系的比例)及互动质量(如小组讨论中高阶问题占比提升率)；总结性评价通过后测量化知识迁移能力，实验组在工程应用题(如计算不规则地块面积)的平均得分较对照组提高多少等，多少学生能辩证论述“数学无限细分”与“工程有限精度”的冲突调和策略。评估数据表明，分层认知建构与误差可视化技术显著促进了概念理解向实践应用的转化。
本案例的创新性体现在认知理论与技术工具的深度结合：基于Sweller认知负荷理论设计的四阶段分层任务(分割→近似→对比→极限)，通过渐进式复杂度调控有效降低学习难度；开发的误差热力图技术，以红–蓝光谱直观呈现不同区域的误差强度，帮助学生快速定位曲率变化显著的关键问题区域(如抛物线顶点附近)。为进一步提升教学效果，提出两方面的持续优化方向：其一，引入AR空间积分演示模块，通过三维全息投影实现积分过程的沉浸式观察(如旋转查看分割柱体堆积形态)；其二，构建自适应分割策略推荐系统，利用机器学习算法分析学生操作数据(如n值调节频率、误差关注时长)，动态生成个性化学习路径(如为几何直觉较弱的学生优先推荐中点法案例)。
(3) 案例特色说明
本案例通过认知负荷调控与多维度融合策略实现教学创新：一方面，依据“最近发展区”理论对分割数n进行渐进式调节(从n = 4到n→∞)，帮助学生逐步完成从离散近似到连续极限的概念建构；另一方面，融合历史维度(追溯阿基米德穷竭法至牛顿–莱布尼茨公式的演进脉络)、哲学维度(探讨“有限测量精度”与“数学无限细分”的辩证关系)及工程维度(结合土地测量、土方计算等真实STEM案例)，构建跨学科认知框架。技术赋能层面，依托动态误差可视化专利技术(如热力图层级显示曲率–误差关联)与智能分割推荐算法(基于学生操作数据动态优化学习路径)，将抽象数学原理转化为可交互的认知图式。案例特别以“有限逼近无限”的哲学思想为主线，通过递进式问题链(如“工程中的足够精确如何定义？”“离散黎曼和何时等价于连续积分？”)引导学生深度思考离散与连续的辩证关系，形成了认知理论、分层设计与信息技术三位一体的教学模式，为高等数学抽象概念教学提供了可迁移的方法论范式。
4. 结论
数学分析教学过程中，基于多模态表征理论的可视化设计，能通过“概念抽象度–可视化强度”匹配模型优化认知负荷，有效降低概念理解难度，从而使学习效率提升。不过数学分析可视化教学需把握三个关键：
(1) 内容可视化是作为认知桥梁而非目的，需适时引导形式化理解；
(2) 各种技术应用必须服务于数学本质的理解，需要避免过度依赖；
(3) 教学过程中必须保持严谨性，可以适当引入反例以深化概念理解。
该研究为培养创新人才提供了新思路，强调可视化技术必须与数学分析内容深度整合，在保持严谨性的前提下提升教学效果。随着教育信息化发展，可视化教学将在数学教育改革中发挥更大作用。
基金项目
本研究得到【新疆维吾尔自治区自然科学基金】(项目编号：2022DA235)的资助，谨致谢忱。同时感谢【喀什大学现代数学及应用研究中心】为本研究提供的资源。作者对上述机构在科研条件和技术支持上的帮助表示衷心感谢。
NOTES
*通讯作者。