基于化归思维的高等数学问题求解策略及应用研究

Research on Strategies and Applications for Solving Higher Mathematics Problems Based on Reduction Thinking

摘要: 化归思维是解决自然科学尤其是数学问题常采用的方法，它能够把复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题，有助于知识的迁移，提高解决问题的效率，本文以高等数学中常见问题的求解为例，介绍常用的形式统一法和换元法实现问题转化的化归思维。

Abstract: Reduction thinking is a commonly used method for solving natural science, especially mathematical problems. It can transform complex and unfamiliar problems into simple and familiar ones, which helps to transfer knowledge and improve problem-solving efficiency. This article takes the solution of common problems in higher mathematics as an example to introduce the commonly used formal unification method and substitution method to achieve problem transformation of reduction thinking.

1. 引言

化归思维，是将一个问题由难化易，由繁化简，由未知化已知的过程，它是转化和归结的简称。在数学领域，是一种重要的解题思想和思维策略。众多学者对化归思维展开研究：叶立军[1]探讨了化归思维中的极端化、特殊化、一般化、整体化方法；傅小波[2]研究了高等数学中的从特殊到一般的化归思维；张智倍，纪德生[3]探索了高等数学中离散化连续，多元化一元，无限化有限的化归思维；覃佳君[4]提出了知识迁移的方法；李霞[5]简述了高等数学教学中用已知探索未知，借助一元研究多元的化归思想；顾洁[6]讨论了初等数论中的化归思维方法。现有研究多聚焦一般化特殊，多元化一元的常用化归思路，对化归实现方法的多样性挖掘不足，未系统梳理基于形式统一与换元法的化归路径。本文以高等数学中一些常见问题的求解为例，深入探讨形式统一和换元这两种化归方法，弥补研究空白，为数学解题提供新视角，助力挖掘知识本质关联，辅助学习者打通解题思路。

2. 化归思维中形式统一法在解决数学问题中的应用

形式统一作为化归的核心方法，聚焦于对问题外在形式的规整重塑，借助将其转化为学习者已知且熟悉的数学模型，搭建解题思路的桥梁，深度挖掘数学知识间内在的本质关联。以极限问题求解为例，首先分析极限的类型(分析结构，如“$\infty -\infty$ ”型)，这是一种未定式，提到未定式，联想到洛必达法则，

(类比已知)而洛必达法则直接适用于“$\frac{0}{0}$ ”和“$\frac{\infty }{\infty }$ ”型未定式极限，本着化未知为已知的化归思维，需要将所讨论的未定式极限转化成“$\frac{0}{0}$ ”或“$\frac{\infty }{\infty }$ ”型，也就是说，必须要出现分母，(挖掘特点)如果原式有分母，可通过通分合并，如果分子含根号，可通过分子有理化，有时候需要借助于换元(如倒代换“$x=\frac{1}{t}$ ”)，

实现形式统一，达成化未知为已知的解题目标。

在证明含有中值且与函数值和导数值都有关的等式时，罗尔定理是常用工具，(对比已知)其结论是导数零点的存在性$f^{\prime }\left(\xi \right)=0$ ，于是解题关键在于对所要证的结论变形，构造出$F^{\prime }\left(\xi \right)=0$ (形式统一)，左端看成一个函数在某点$\xi$ 的导数值，然后逆向思维，倒着找求导前的函数$F\left(x\right)$ ，最后通过验证辅助函数$F\left(x\right)$ 满足罗尔定理的三个条件，用罗尔定理攻克未知等式的证明。

在用格林公式计算对坐标的曲线积分问题时，由于格林公式的条件要求积分弧段L分段光滑且封闭，被积函数在L所围的区域D上有一阶连续偏导。若曲线积分不满足积分弧段L封闭的条件，可通过添加辅助线使曲线封闭，然后用格林公式；若区域D内有偏导不连续的点，则用“打洞”法，将奇点去掉，然后在复联通区域上用格林公式，实现问题的转化。

以上均是通过分析结构、挖掘特点、类比已知、形式统一，最终找到解决问题的方法，实现问题的化归。

3. 以一道微分方程的求解为例说明换元法在化归思维中的应用

求微分方程$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y}{2\left(\ln y-x\right)}$ 解。

分析：这是一道一阶微分方程，一阶微分方程常见可解类型有：可分离变量的微分方程(形式

$P\left(X\right)\text{d}X=Q\left(Y\right)\text{d}Y$ ，通过变量分离，两边积分求解)，齐次方程(通过换元，转化成可分离变量)，一阶线性微分方程(标准型是$\frac{\text{d}Y}{\text{d}X}+P\left(X\right)Y=Q\left(X\right)$ ，通解公式为$Y={\text{e}}^{-{\displaystyle \int P\left(X\right)\text{d}X}}\left({\displaystyle \int Q\left(X\right){\text{e}}^{{\displaystyle \int P\left(X\right)\text{d}X}}\text{d}X}+C\right)$ )，全微分方程($P\left(x,y\right)\text{d}x+Q\left(x,y\right)\text{d}y=0$ 中$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ )。这些已知类型是化归的“目标形式”，面对陌生方程，需转化

成上述类型求解。观察待求解方程，它不属于上述类型，可通过以下换元法实现化归。

[法一]转化自变量与未知函数：将x看成未知函数，y看成自变量，方程两边取倒数(实现化未知为已知)，可变成

$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}+\frac{2}{y}x=\frac{2\ln y}{y}$

这是一个一阶线性微分方程，代入公式求解，得

$x={\text{e}}^{-{\displaystyle \int \frac{2}{y}\text{d}y}}\left({\displaystyle \int \frac{2\ln y}{y}{\text{e}}^{{\displaystyle \int \frac{2}{y}\text{d}y}}\text{d}y}+C\right)$ $=\ln y-\frac{1}{2}+\frac{C}{y^2}$ 。

[法二]令$\ln y-x=u$ ，两边对x求导得，$\frac{1}{y}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-1=\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$ ，原方程可变为$y+y\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{y}{2u}$ ，化简整理得$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{1-2u}{2u}$ (实现化未知为已知)，这是一个以u为未知函数，x为自变量的可分离变量的微分方程，将变量分离得$\frac{2u}{1-2u}\text{d}u=\text{d}x$ ，两边积分得$\frac{1}{2}\ln \left|1-2u\right|+u=C-x$ ，带回原变量并化简得$1-2\ln y+2x=\frac{C_1}{y^2}$ 。

[法三]令$\ln y-x=u$ ，即$x=\ln y-u$ ，两边对y求导得，$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{1}{y}-\frac{\text{d}u}{\text{d}y}$ ，原方程可变为$\frac{1}{y}-\frac{\text{d}u}{\text{d}y}=\frac{2u}{y}$ ，化简整理得$\frac{\text{d}u}{\text{d}y}=\frac{1-2u}{y}$ (实现化未知为已知)，这是一个以u为未知函数，y为自变量的可分离变量的微分方程，将变量分离得$\frac{\text{d}u}{1-2u}=\frac{\text{d}y}{y}$ ，两边积分得$-\frac{1}{2}\ln \left|1-2u\right|=\ln \left|y\right|+C$ ，带回原变量并化简得 $1-2\ln y+2x=\frac{C_1}{y^2}$ 。

[法四]令$\frac{y}{{\text{e}}^x}=t$ ，即$y={\text{e}}^{x}t$ ，两边对x求导得，$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}={\text{e}}^{x}t+{\text{e}}^x\frac{\text{d}t}{\text{d}x}$ ，原方程可变为${\text{e}}^{x}t+{\text{e}}^x\frac{\text{d}t}{\text{d}x}=\frac{{\text{e}}^{x}t}{2\ln t}$ ，化简整理得$\frac{\text{d}t}{\text{d}x}=\frac{t\left(1-2\ln t\right)}{2\ln t}$ (实现化未知为已知)，这是一个以t为未知函数，x为自变量的可分离变量的微分方程，将变量分离得$\frac{2\ln t\text{d}t}{t\left(1-2\ln t\right)}=\text{d}x$ ，两边积分${\displaystyle \int \left(\frac{1}{1-2\ln t}-1\right)\text{d}\left(\ln t\right)}={\displaystyle \int \text{d}x}$ ，可得 $-\frac{1}{2}\ln \left|1-2\ln t\right|-\ln \left|t\right|=x+C$ ，带回原变量并化简得$1-2\ln y+2x=\frac{C_1}{y^2}$ 。

[法五]令$\frac{x}{y}=v$ ，即$x=yv$ ，两边对y求导得，$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=v+y\frac{\text{d}v}{\text{d}y}$ ，原方程可变为$v+y\frac{\text{d}v}{\text{d}y}=\frac{2\ln y}{y}-2v$ ，化简整理得$\frac{\text{d}v}{\text{d}y}+\frac{3v}{y}=\frac{2\ln y}{y^2}$ (实现化未知为已知)，这是一个以v为未知函数，y为自变量的一阶线性微分方程，代入公式求解，得

$v={\text{e}}^{-{\displaystyle \int \frac{3}{y}\text{d}y}}\left({\displaystyle \int \frac{2\ln y}{y^2}{\text{e}}^{{\displaystyle \int \frac{3}{y}\text{d}y}}\text{d}y}+C\right)=\frac{1}{y^3}\left(y^2\ln y-\frac{y^2}{2}+C\right)$

带回原变量得原方程的通解为$x=\ln y-\frac{1}{2}+\frac{C}{y^2}$ 。

微分方程的求解常借助换元实现化归：如齐次方程借助换元转化为可分离变量的微分方程；可化为齐次方程的，通过换元转化为齐次方程；可降阶的二阶微分方程，凭借换元实现降阶；欧拉方程利用换元转化成常系数线性微分方程。多样的换元方法，为学习搭建思维拓展平台：引导学生探讨不同换元路径，能拓宽思维的广度和深度，打破固定思维模式的局限；在寻找解法的过程中，学生依据题目的具体条件和要求，灵活转换思考方向，思维的灵活性得以提升，面对复杂问题时，也能快速筛选适配策略。从这一微分方程案例看，思维灵活性的培养，源于对同一问题多元转化路径的探索——学生不再囿于单一解法，而是主动挖掘换元的多种可能，在“变”中锻炼调整思路、适配问题的能力，这启示教学中需为学生创造多元思考场景，驱动思维突破惯性。

4. 结束语

本文以具体案例探讨了形式统一法和换元法在实现化归中的应用，运用化归思维，需从多元角度切入，尝试多样转化路径，这有助于锤炼思维的灵活性。在探索化归途径的过程中，新想法常应运而生，为创造性思维的发展注入动力。

本研究案例聚焦微分方程，只是以其为代表说明多样化的换元在实现化归中的应用。未来研究可尝试将这种一题多解(多样换元)模式，拓展至微分、积分、级数、几何等其他知识点教学(如三重积分的求解，对坐标的曲面积分的求解等)，探究其对学生思维培养、知识掌握的有效性；也可深入分析化归思维在跨学科问题解决中的迁移应用，挖掘数学思维对综合学科能力提升的价值，为数学教学与学习的纵深发展提供更多支撑。

NOTES

^*通讯作者。