1. 引言
矩阵分析作为数学、计算机科学、控制工程、人工智能等学科的硕士研究生的基础理论课程，在研究生培养中占据非常重要的地位。其主要内容包括线性空间、特征值分析、矩阵分解等，是解决工程中高维复杂问题的重要工具。然而，传统的教学模式存在“理论抽象、应用脱节、学生参与度低”等问题[1]。随着人工智能技术的发展，智能教学系统、自适应学习平台等为课程改革提供了新的方向。
AI赋能教育(AI-Education)的关键是通过数据驱动和智能算法，实现“以学生为中心”的个性化教学[2] [3]。在矩阵分析课程中，AI技术可用于动态生成教学案例、实时反馈学习效果、构建可视化模型等，帮助学生更好地将“抽象理论”与“实际应用”衔接起来。本文结合矩阵分析课程的特点，系统讨论AI技术在教学中的应用途径，旨在为研究生数学基础课程的改革提供方法。为明确本文改革方案的学术定位，从“国际实证研究”与“国内实践探索”两方面，系统梳理“AI赋能高等教育”“技术增强数学学习”领域的核心成果，并对比分析现有研究的不足。
1.1. 国际研究：技术适配性与学习效果的深度验证
国际学界对AI赋能高等教育的研究已进入“学科定制化”阶段，尤其在数学类课程中形成了多项可复用的实证结论。
自适应学习系统的学科落地：斯坦福大学教育技术实验室开发的《Mathia》系统(2022)，将Item Response Theory (IRT)算法与线性代数课程结合，通过追踪学生解题路径动态调整题目难度。其对1200名研究生的实验显示，使用该系统的学生“矩阵运算正确率”提升42%，但存在学科适配性不足问题——案例多聚焦纯数学场景，未覆盖工科“矩阵在控制理论中的应用”等需求[4]。
LLM在数学辅导中的应用：MIT团队(2023)基于GPT-4构建线性代数问答机器人，通过“领域知识库微调”减少数学推导错误(如“特征值与奇异值混淆”)，但实验发现，该机器人在“Jordan标准形存在性证明”等复杂理论题中，幻觉率仍达18%，需依赖人工审核修正[5]。
评价体系的技术赋能：剑桥大学(2024)提出“AI过程性评价框架”，通过分析研究生在线学习数据(视频观看、习题交互)生成能力画像，但该框架侧重数据统计而非能力归因，无法精准定位“矩阵分解应用能力薄弱”等具体问题[6]。
1.2. 国内研究：从框架构建到课程实践的探索
国内研究以“政策驱动 + 课程改革”为特色，在研究生数学课程中形成了局部突破，但尚未形成全流程赋能模式。
AI + 数学教学的框架设计：余胜泉团队(2020)提出“AI赋能教育的三维模型”(内容、方法、评价)，并在《高等数学》课程中验证了“模块化内容”的有效性，但该模型未针对矩阵分析的抽象性设计可视化工具，且案例库未区分理工科专业需求[3]。
智能教学平台的应用：清华大学(2022)在《矩阵理论》课程中引入“智课”平台，实现习题自动批改与学情反馈，但平台依赖预设题库，无法动态生成跨学科案例(如“机器学习中的PCA矩阵应用”)，且评价仍以“期末笔试”为主[7]。
数据隐私与技术伦理的探索：北京航空航天大学(2023)在研究生数学课程中引入联邦学习技术，实现“数据不出校”的模型训练，但该方案开发成本较高(需定制化算法框架)，难以在普通高校推广[8]。
1.3. 现有研究的不足与本文贡献
综合国内外研究可见，当前AI赋能数学课程存在三大共性问题：(1) 技术应用多为“单一工具叠加”，缺乏“内容–方法–评价”的全流程整合；(2) 矩阵分析等抽象课程中，AI技术未充分解决“理论与应用衔接”“复杂概念可视化”等痛点；(3) 对技术瓶颈(如LLM幻觉)、成本限制的讨论不足。
本文的核心贡献在于：(1) 聚焦矩阵分析课程特点，设计“自适应习题库 + LLM问答机器人”的协同应用模式，深化技术架构与算法细节；(2) 直面现实挑战，提出“AI延迟反馈”“联邦学习降本”等可落地对策；(3) 构建“三位一体”改革方案，填补“全流程AI赋能矩阵分析教学”的研究空白。
2. 传统矩阵分析课程教学的痛点分析
矩阵分析课程的教学痛点源于其理论深奥与实际应用相脱节，具体可归纳为以下四个方面：
一、理论抽象与认知规律的冲突
矩阵分析的基本概念(如Jordan标准形、奇异值分解)依赖于严格的数学推导，而研究生的数学推导能力和知识背景差异较大(如工科学生侧重应用，理科学生侧重理论)。传统“板书 + PPT”的教学模式难以满足不同背景的学生，导致很多学生因“理解障碍”丧失学习兴趣[3]。例如，在讲解“矩阵对角化条件”时，纯理论推导对工科学生缺乏吸引力，而缺乏理论支撑的应用案例又难以满足理科学生的需求。
二、应用场景与学科需求相脱节
矩阵分析在很多领域，如机器学习(如主成分分析PCA)、信号处理(如傅里叶变换矩阵)、控制理论(如状态空间模型)等，有广泛应用。传统教材的案例更新滞后，难以覆盖不同学科的个性化需求。调查显示，83%的研究生认为“课程案例与专业方向关联度低”[4]，导致学生难以建立“理论工具–实际问题”的映射关系。
三、学习效果反馈滞后
矩阵分析的习题常常涉及比较复杂计算，如矩阵奇异值分解、QR分解等，传统教学模式中，教师需通过批改作业和测验才能发现学生的错误，由此反馈周期长达一周以上。这种滞后性使得学生难以及时修正错误，这一点在“矩阵范数”“广义逆矩阵”等易混淆概念的学习中，更容易形成“错误固化”[5]。
四、评价体系的单一性
传统评价以“期末闭卷考试”为主，侧重对理论知识的记忆，忽视对“知识迁移能力”和“问题解决能力”的考核。这种评价模式导致学生陷入“应试学习”模式，例如，很多学生虽然能够熟练对矩阵进行奇异值分解，但是却不能将其应用在图像处理问题当中[6]。
3. 适应习题库——动态匹配学生能力与学习需求
基于上述痛点与研究不足，本文选取自适应习题库作为核心AI应用，从技术架构、关键算法、实施细节三方面展开深度讨论，并直面落地挑战提出对策。自适应习题库是解决“反馈滞后”“案例脱节”的关键工具，其核心目标是通过算法实现“千人千题”，并精准定位薄弱知识点。
3.1. 技术架构：三层协同设计
自适应习题库采用“数据层–算法层–应用层”三层架构(表1)，各层功能与技术选型如下表1。
Table 1. Three-layer architecture of “data layer-algorithm layer-application layer”
表1. “数据层–算法层–应用层”三层架构
层级 |
核心功能 |
技术选型与数据来源 |
数据层 |
数据存储、清洗与知识库构建 |
① 原始数据库：历年考卷(2018~2024)、学生作业(5000+份)、《矩阵分析》权威教材(张贤达《矩阵分析与应用》等)；② 预处理数据库：通过Python Pandas清洗数据(去除重复题、修正推导错误)，采用MySQL存储；③ 领域知识库：基于Neo4j构建矩阵分析知识图谱，拆解为“基础概念(秩)–核心定理(SVD定理)–应用场景(人脸识别)”三级节点(共120个节点) |
算法层 |
用户画像构建、难度适配、错题诊断 |
① 用户画像模块：基于协同过滤算法(User-Based CF)，通过计算“学生解题相似度”(如A学生与B学生在“矩阵乘法”题的正确率均为80%)，构建能力标签(如“工科–矩阵应用能力强–理论推导薄弱”)；② 难度适配模块：采用IRT模型，通过参数(题目难度b、区分度a、猜测参数c)匹配学生能力θ (θ越高，能力越强)，公式为：
；③ 错题诊断模块：基于知识图谱节点关联，将错题映射至薄弱节点(如“QR分解计算错误”关联“Gram-Schmidt正交化”节点) |
应用层 |
学生端交互、教师端学情管理 |
① 学生端(Web + 小程序)：推送个性化习题、生成学习报告(如“建议加强奇异值分解应用”)；② 教师端(后台系统)：查看班级薄弱点(如“40%学生无法完成QR分解”)、管理题库(新增/删除案例) |
3.2. 关键算法：IRT与知识图谱的协同应用
IRT模型的参数校准：初始阶段，选取200名研究生进行“试做题”(覆盖所有知识点)，通过极大似然估计(MLE)计算题目参数(如“矩阵对角化条件”题的难度b = 0.6，区分度a = 1.2)；后续每学期用新学生数据(约300份)迭代参数，确保难度适配准确性。
错题诊断的精准性提升：例如，学生在“奇异值分解应用题”中错误时，系统通过知识图谱关联“奇异值的几何意义”“矩阵逼近原理”两个节点，推送这两个节点的基础题(如“用奇异值分解压缩图像”)，而非仅重复同类应用题。
3.3. 实施细节：从部署到更新的全流程设计
部署方式：采用“云端 + 本地”混合部署——学生交互数据(如答题记录)存储于学校本地服务器(保障隐私)，题库计算与模型训练依托阿里云服务器(降低本地硬件成本)；
案例动态更新：通过Python爬虫(Scrapy框架)定期抓取《SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications》(2022~2025)、《计算机学报》(矩阵应用相关论文)，每月更新10~15个跨学科案例(如“2024年雷达信号处理中的矩阵滤波案例”)；
学生反馈机制：在习题推送后增设“案例相关性评分”(1~5分)，若某案例评分低于3分，系统自动标记并由学科教师审核是否删除。
4. AI赋能矩阵分析课程
4.1. 理论基础
AI技术在矩阵分析教学中的应用并不是简单的工具叠加，而是应该建立一个完整的新形式的学习体系，通过AI技术重构教学生态，满足学生多维度的需求。
一、建构主义学习理论的支撑
建构主义强调学习是“学习者主动建构知识意义”的过程，而非被动接受信息[7]。AI技术可通过“情境创设”“协作互动”“意义建构”三个环节支撑这一过程：
(1) 情境创设：利用AI生成与学生专业相关的应用场景(如给计算机专业学生生成“推荐系统中的矩阵分解”案例)。
(2) 协作互动：通过智能讨论平台实现跨学科学生的协作解题(如数学系与电子系学生共同解决“雷达信号处理中的矩阵滤波”问题)。
(3) 意义建构：基于学习行为数据，AI为学生推送个性化的补充材料，帮助其完善知识体系。
二、联通主义学习理论的拓展
联通主义认为，学习是“网络节点间的连接建立与优化”过程，知识存在于“节点”而非个体。在矩阵分析课程中，AI技术可构建“知识节点网络”：将矩阵理论分解为“基础概念(如秩)–核心定理(如SVD定理)–应用场景(如人脸识别)”三级节点，通过智能算法分析学生的学习路径，自动推荐待连接的“薄弱节点”，帮助学生构建完整的知识图谱[8]。
4.2. 教学改革路径
基于上述理论，结合矩阵分析课程特点，从教学内容、教学方法、评价体系三个维度设计AI赋能的改革方案。
一、教学内容的动态重构
借助AI技术实现教学内容的“模块化、场景化、动态化”，具体包括：
(1) 模块化知识体系构建
通过AI自然语言处理技术对《矩阵分析》课程的重点内容进行拆解，针对每一个知识点形成“基础模块(如矩阵运算)–进阶模块(如矩阵分解)–应用模块(如数值线性代数)”三个等级的学习路径。每个具体模块包含“基本概念、理论推导、典型例题、知识扩展”四个子模块，学生可根据自身需求和能力自主选择学习的深度和广度[2]。例如，计算机专业学生可简单学习“抽象代数视角下的矩阵理论”，深入学习“机器学习中的矩阵应用”。
(2) 场景化案例库生成
利用AI的案例生成系统，基于学生的专业特点和专业需求，动态生成应用案例。例如：对控制工程专业学生，推送“状态反馈控制中的矩阵稳定性分析”案例；对人工智能专业学生，推送“神经网络中的权重矩阵更新算法”案例，对机械专业的学生，推送“参数优化过程中系数矩阵的生成”等。案例库可以通过爬虫技术实时抓取顶级期刊(如《SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications》)的最新研究，确保了案例的前沿性，从而实现了科研反哺教学。
(3) 动态化习题生成
基于AI (如GPT模型)构建“自适应习题库”，可以根据学生往年的考卷、测验以及作业情况调整题目的难度和类型。例如，学生对“矩阵乘法”基础题基本不会出错，AI系统将会提高难度，推送“分块矩阵乘法”相关的题目；若学生在“奇异值分解”中频繁出错，AI系统将针对出错点生成相应的习题，改善学生的计算能力[9]。
二、教学方法的智能创新
融合AI技术创新教学方法，构建“线上自主学习 + 线下互动探究”的混合模式。
(1) 线上：智能导学支撑个性化学习
通过知识图谱可视化工具(如Neo4j)展示基本概念之间的关联(如“奇异值分解”与“矩阵逼近”的逻辑关系)，学生可自主学习详细内容。基于大语言模型(LLM)构建《矩阵分析》专属问答机器人，解答学生的即时问题，并能纠正学生的错误理解和表述(如“特征值”与“奇异值”的区别和联系)。利用AI驱动的仿真工具(如MATLAB + Python接口)实现运算的可视化，例如，通过动态图像演示“矩阵旋转对图像变形的影响”，帮助学生理解矩阵变换的几何意义[10]。
(2) 线下：AI辅助的立体式的课堂
课前：利用AI分析学生线上学习数据，生成“班级薄弱点报告”(如“40%学生不能进行QR分解”)，教师根据报告设计教学重点和教学难点。
课中：通过AI分组工具，根据学生的基础和学习情况对学生进行混合分组，鼓励学生共同完成“建模项目”任务(如“根据已知数据对学生成绩进行分析”)，利用AI实时监控每个小组讨论，适当推送提示信息(如“提示：可利用层次分析法分析”)。
课后：AI根据每个学生的学习情况生成个性化复习建议，如“建议加强奇异值分解的计算”等[11]。
三、评价体系的多维优化
利用AI技术构建“过程性评价+能力导向评价”的多元体系。
(1) 过程性评价：全周期数据追踪
通过学习管理系统采集学生的线上学习数据(如视频观看时长、习题正确率、作业质量等)和线下互动数据(如小组任务的贡献度)，利用AI设定多元化的评价指标，如“基本概念理解”、“知识点应用能力”和“团队协作能力”，建立每个学生的学习情况档案。例如，当AI系统发现某位学生在“矩阵分解”章节的作业正确率低于60%时，会提示“需加强”并提供相应练习题[12]。
(2) 能力导向评价：平时成绩体现能力考核
平时成绩部分基于“AI动态任务”，例如：给大数据专业学生设定“基于数据分析和矩阵分解技术构建商品评分预测模型”任务；给机械专业学生设定“通过模态矩阵分析机械结构的振动特性，优化设计参数”任务等。利用AI对比学生提交的报告和任务方案，从“理论应用”“算法设计”“创新点”三个维度进行评分，给出合理的评价[13]。
4.3. AI赋能教学的挑战与应对策略
AI技术在矩阵分析课程中的应用已经被很多学者探索[14]-[16]，但是仍然面临很多挑战。
一、技术依赖导致思维惰性
过度依赖AI解决问题可能会削弱学生的独立思考能力。针对这个问题，可以设置“AI延迟反馈”，对基本概念，基本理论的低难度题强制延迟3小时回答，鼓励学生先自主思考，动手推导(如“什么是矩阵特征值的代数重数与几何重数”)；可以要求学生对AI生成的解题步骤进行“改错”[17]；多进行线下测试，提高学生对基本概念和理论的掌握能力。
二、数据隐私与学科覆盖不均的问题
学生的过程学习数据(如答题错误记录、学校专业方向等个人信息)存在隐私泄露风险，且AI案例生成可能学科覆盖不均(如偏向文科领域，忽视理工交叉应用等)。针对这个问题，可以要求学生尽量不提供有针对性的个人信息，并且通过控制提问语言，控制案例生成的专业领域，同时要借助专业文献和专业书籍，不能一味地依靠AI。还可以采用联邦学习技术实现“数据不出本地”的模型训练，建立跨学科专家团队审核案例库，确保覆盖数学、工科、文科等多领域应用[18]。
三、教师角色定位
部分教师对“AI”反对大于支持，还有的教师会过度依赖AI技术而忽视“人文引导”。针对这个问题，建议多开展“AI + 教学”培训，让教师合理使用智能工具；明确教师的角色，在应用AI技术的时候，教师不再是“知识传授者”，而是“学习设计师”[19]。
5. 结束语
AI技术为矩阵分析课程的教学改革提供了全新视角，其核心价值不仅在于“工具效率提升”，更在于重构“教–学–评”的教与学系统：通过动态内容适配学生需求，通过智能互动激活学习过程，通过多元化评价引导能力培养。这种改革能有效解决传统教学的痛点，为研究生数学基础课程的现代化转型提供可行路径。
基金项目
校研究生教改课题“AI驱动下研究生数学基础课‘三位一体’式教学改革与探索”(YJSJG202405)。
校级教改课题“AI赋能数学专业计算机能力培养：模式创新与实践探索”(JG251403C2)。