1. 引言
在对高温超导电性、分数量子霍尔效应和Aharovnov-Bohm扩散等负离子量子物理的研究中，我们常常需要研究陈–西蒙斯–薛定谔方程和方程组，参见[1] -[4] 。在文献[5] [6] 中，作者通过拟设和库仑规范条件，将陈–西蒙斯–薛定谔方程转化为下列带非局部项的椭圆型薛定谔方程
(1)
其中
。
当非线性项
时，其中
，文献[5] [6] 中作者用变分法研究得到(1)径向对称基态解的存在性，非存在性和多解的存在性。
本文我们主要研究下列陈–西蒙斯–薛定谔方程
(2)
其中
满足下列条件：
(V1)
；
(V2)
。
当
是正的径向对称的位势且(2)右边非线性项g(u)是渐近线性的情形时，文献[7] 中作者证明了方程(2)解和多解的存在性，并且得到当λ充分大时，(2)不存在非平凡的径向对称解。
定义1：如果u(x)满足方程(2)并且
，则称其为方程(2)的径向对称的解；如果进一步假设
则称其为非平凡的，否则称为平凡的。
本文考虑
是正的径向对称的位势且非线性项
这种情形。很明显，此时g(u)在无穷远处不是渐近线性的、不是超线性的，也不是次线性的，但有
。受[7] 和[8] 中方法的启发，本文的主要结论如下。
定理1：假设
满足(V1)和(V2)且
，那么对所有的
方程(2)没有非平凡的径向对称解。
2. 预备知识
表示径向对称的Sobolev空间，其范数定义为：
.
上述范数与下列范数是等价的：
.
我们定义能量泛函
，
其中
。
类似于[7] 中性质2.3，我们可以得到下述引理。
引理1：假设
满足(V1)和(V2)且
，则能量泛函
在
中是连续可微的并且它的临界点u是(2)的弱解。此外，假设u是
的一个临界点，则
，即(2)的弱解也是它的经典解。
下面我们来回忆[7] 中一个重要不等式，我们在对主要定理的证明中会用到它。
引理2：如果
，那么我们有
.
3. 定理1的证明
假设
是(2)的一个解。由引理1，可将(2)式两边同时乘以u并且分部积分得：
因为
，所以
(3)
由(3)和引理2，选取
，我们有
因此，当
时，
。故当
时，(2)没有非平凡的径向对称解。
致 谢
本文受江汉大学2014年度大学生创新训练项目资助，作者在此表示衷心感谢！
基金项目
江汉大学2014年度大学生创新训练项目2014yb189。