简单线性EV回归模型中最小二乘估计量的Berry-Esseen估计

A Note on LS Berry-Esseen Estimator in Simple Linear EV Regression Model

摘要: 本论文的目的是研究简单线性存在误差项(EV)退化模型的最小二乘估计量中心极限定理的收敛速度。进一步，Miao，Yang和Shen在[1]中对其实际应用做了详细的介绍。

Abstract: In this paper, we study the convergence rate of the central limit theorems for LS estimator in simple linear errors-in-variables (EV) regression model. Further, its application has been introduced detailedly by Miao, Yang and Shen in[1].

1. 介绍

本文我们讨论下面EV模型[2] ：

(1)

并且满足下列假设：

(1)是未知常数；

(2)是独立同分布随机变量，是，是，且

(3)是可观测值。

根据(1)，我们可得出

(2)

其中(2)是关于的常见的退化模型，我们得到和的最小二乘法估计量

(3)

其中，我们可用相同的方法去定义。

很多学者讨论了估计量的渐近性质和应用。Miao和Liu在[3] 中给出了它的中偏差原理，Miao，Yang和Shen在[1] 中得到其中心极限定理，有如下结论：

定理A：令，假设

(4)

并且存在一个常数，使得且，

则得到的渐进性质，即

其中是标准正态分布。

定理B：当满足定理A的所有假设且满足条件：，则的渐进性质为：

上述结论我们可以参见[4] -[6] ，本文我们讨论定理A和定理B中的收敛速度，也就是中心极限定理的收敛速度。本文中C表示一个正常数。

我们有如下重要的结论：

定理1.1：满足定理A的所有假设，当n充分大时

(5)

其中是标准正态分布的分布函数且.

定理1.2：满足定理B的所有假设，当n充分大时

(6)

其中

注1.1(1)满足定理A的所有假设，我们得到

且。因此，根据定理1.1有

(2) 满足定理B的所有假设，我们知道，。随即可以得到

所以有

因此

为了证明定理内容，我们给出以下引理。其中(1)的证明方法比较简单，(2)的证明可以参见[7] 。

引理1.1：令是定义在概率空间上的三个随机变量，并且。则对于任意的，有

(1)

(2)

2. 定理的证明

下面为了计算方便，我们令

(7)

和

(8)

为了证明定理内容，我们引入下面引理

引理2.1：对于任意的，我们得到

证明：对于所有的，根据Holder不等式即可得到

所以有

根据马尔可夫不等式可得

引理2.2：对于任意的，我们得到

证明：根据简单的计算，我们得到

因此有

最后，根据马尔可夫不等式得到

因为是，根据[8] 中第五章定理6，我们可以得到

引理2.3：假设存在一个常数使得和，则有

引理2.4：当引理2.3的条件满足时，我们得到

其中

证明：对于任意的，根据(7)和引理1.1(2)

(9)

其中

根据引理2.2即可得到

(10)

现在我们只需去估计的值。因为，所以。

所以根据引理1.1(1)，有

所以

(11)

其中

根据引理2.1和引理2.2，我们可以得到

(12)

令，结合(9)，(10)，(11)，(12)，我们可以得到引理2.4的证明。

引理2.5：当引理2.3的条件成立时，我们得到

其中

证明：通过(8)和引理1.1(1)，对于任意的，

(13)

其中

对于，根据[8] 中第五章的定理4，我们可以得到

(14)

下面我们只需去估计的值。首先我们知道

(15)

其中

根据不等式，其中是一个常数。因此根据定理1.1

进一步通过Chebyshev不等式，我们有

(16)

令，结合(13)，(14)，(15)，(16)和的估计，我们可以证明引理2.5。

定理1.1和定理1.2的证明：因为因此根据引理2.4，当充分大时，

(17)

因此我们可以证明定理1.1。

对于定理1.2，当充分大时，

结合引理2.5和(17)，我们可以得到定理1.2.

基金项目

本论文是在我的老师和同学于明明的协助下完成的，感谢南京航空航天大学数学系的各位老师给予我的指导和帮助，感谢各位文献作者的成果给予我们的借鉴。