1. 具有阿贝尔Hall p-子群的有限群
本文采用的符号和术语都是标准的，按照文[1] 。文中所涉及的群都是有限群。
Brodkey在文[2] 中证明了下面的命题。
命题1：设是一个有限群，有一个阿贝尔Sylow p-子群，则存在，使得。
设是有限多个素数的集合，我们把上述结果推广到有限群的Hall p-子群，得到下面的定理。
定理1：设是一个有限群，是的一个阿贝尔Hall p-子群，则存在，使得。
为了完成定理1的证明，我们需要下面的引理。
引理1：设有限群包含一个幂零Hall p-子群，如果是的所有Hall p-子群中两两相交最小的，记，其中，是的Hall p-子群，则是中正规于且正规于的所有子群中最大的。
证明：任取且，。只需证即可。即证对于的任意Hall p-子群，都有。考虑的正规化子。明显地，。因此是的幂零Hall p-子群。而是的一个p-子群。由文[1] 的定理9.1.10知道存在某个，使得。注意到，于是任取，有。从而，因此。所以
进而
根据文[1] 的定理9.1.10得到是的Hall p-子群。故由的极小性知。因此。从而。注意到，于是。证毕。
定理1的证明：因为的Hall p-子群是阿贝尔群，所以根据文[1] 的定理9.1.10得到的Hall p-子群都共轭于。于是存在某个，使得是的所有Hall p-子群中两两相交最小的。注意到和都是阿贝尔群，因此由引理1得到。又，故存在某个，使得。
推论1：设有限群包含一个幂零Hall p-子群，则存在的Hall p-子群，，使得。
证明：设是的任意两个Hall p-子群之交中最小的。记，其中，是的Hall p-子群。显然且，。由引理1知。
由推论1可以自然地得到下面的推论2。
推论2：设有限群包含一个幂零Hall p-子群且，则存在的Hall p-子群，，使得。
注意到，应用推论2直接得到推论3。
推论3：设有限群包含一个幂零Hall p-子群，则存在的Hall p-子群，，使得。
推论4：设是一个有限群，是的一个阿贝尔Hall p-子群，则。
证明：设是的一个Hall p-子群，由文[1] 的定理9.1.10知和是共轭的，故是阿贝尔群。由定理1可得存在某个，使得。由文[3] 的定理1.18知：
因此
从而
进而。
推论5：设是一个有限群，是的一个阿贝尔Hall p-子群且，则。
证明：由推论4知。因为，所以，因此。
推论6：设是一个有限群，是的一个阿贝尔Hall p-子群，如果，且，那么。特别地，若，则。
证明：由定理1知存在某个，使得(如果，则，这就矛盾于。考虑在中的右陪集。
，其中
因此是的不同的共轭类。又，因此在中的共轭类至少有个。故
。
注记：在推论6的条件下，根据推论4我们可以得到。但是不难发现这一结果不如推论6得到的结果好。
2. 具有阿贝尔Hall p-子群的p-可分群
下面是具有阿贝尔Hall p-子群的p-可分群的两个定理。首先给出定理中涉及到的符号和需要的引理。
对任意的有限群，我们用表示在中的原像。类似地，表示在中的原像。
引理2 [4] ：设是一个p-可分群，，则。
定理2：设是一个p-可分群，是的一个阿贝尔Hall p-子群，如果，则是的极大正规p-子群，且整除。
证明：由定义知道。这表明是p-群，因此
从而是的极大正规p-子群。由引理2知。又是阿贝尔群，故。因此。进一步，。所以整除。证毕。
定理3：设是一个p-可分群，是的一个Hall p-子群，如果有阿贝尔Hall p-子群，那么。
证明：断言。如果，则有的定义知道
再由引理2知可得。如果，对进行归纳。记。由归纳假设知。注意到，因此
又。所以。故。断言成立。
设是的包含的阿贝尔Hall p-子群。明显地，。由上述断言知。又是的Hall p-子群，故。即包含的Hall p-子群。因此是-群。进而
所以。证毕。
注意到有限可解群是p-可分群，下面的推论是显然的。
推论7：设是一个有限可解群，对任意素数集合，是的一个Hall p-子群，如果有阿贝尔Hall p-子群，则。
基金项目
国家自然科学基金(11371124)，河北省自然科学基金(F2015402033)和河北工程大学博士基金资助项目。
参考文献