1. 引言
分数阶微积分方程被广泛的应用于科学技术和工程的各个方面。例如，电化学腐蚀，光学和信号处理，压电热弹性动力学，电路系统，扩散波，热量传导，流体流动，概率统计和动力系统的控制理论等等。显然，分数阶微积分比传统微积分具有更广泛的现实意义。
近来，分数阶常微分方程的振动性质已被许多学者研究 [1] [2] [4] 。然而，关于分数阶偏微分方程的振动性研究的还比较少 [3] [5] - [8] 。
本文将对下述方程进行研究
(1)
第二边界问题为：
(2)
其中，是中的有界域，为分段的光滑边界，是一个常数，是在改进的黎曼–刘维尔分数阶定义下对关于的界导，为上的拉普拉斯算子。
以下为基本假设：
(A)；
(B)
(C)。
定义1.1若方程(1)的解既不是最终正解也不是最终负解，则振动；否则即为非振动。
2. 解的振动性质
接下来将介绍本文的主要定理，在此之前，先介绍改进的黎曼–刘维尔分数阶导的定义及其相关性质。为了研究的方便，先介绍以下符号：
。
定义2.1改进的黎曼–刘维尔分数阶阶导定义：
许多重要的相关性质如下：
(3)
(4)
(5)
定理2.1设基本假设(A)、(B)和(C)满足，且有
(6)
其中，
(7)
则方程(1) (2)的每一个解都是振动的。
证假设是问题(1)和(2)的一个非振动解。当，不失一般性，设，且。将(1)对在上积分得到
(8)
由Green公式及边界条件(2)有
(9)
(10)
由基本假设(B)和(C)可得到
(11)
由(8)~(11)和(D)可得到
(12)
设，其中。由(3)，可得到，再由(5)，可得
(13)
(14)
由(12)~(14)，(12)即变换为
(15)
由(7)和(15)，可得到
(16)
因此在上严格单调递减且最终符号为正或负。因为在上，所以的符号最终为正或负。
假设，。如果假设不成立，则符号为最终负，即存在满足。因为在上严格单调减，所以在上，。故以下不等式成立：
对上式两边同除以并积分可得：
让可得，与基本假设(D)矛盾。
所以，，成立。运用黎卡提变换定义以下函数：
显然在上，且和成立。对函数变化如下：
两边同时乘以且积分可得
让可得，与(6)矛盾。证明完成。
3. 举例
边界条件为：
其中，，，，，，，，。
上述条件均满足基本假设(A)、(B)和(C)。经计算，以上条件也满足定理2.1中的条件，所以方程所有解振动。
参考文献