1. 引言
碳纳米管 [1] 自其被发现以来，引起了众多学者的关注。碳纳米管由单层或多层石墨烯片按照一定螺旋角度卷曲而成，根据石墨烯片层数的不同，可分成单层和多层碳纳米管。碳纳米管完美的几何结构和极高的强度，使其成为纳米尺度下流体储藏与运输的重要载体 [2] 。由于碳纳米管具有良好的力学、电学、化学特性，其内壁又是极其光滑的，因此可以被用来快速和安全的输送液氢等燃料，为能源的输送提供新的解决办法。为了碳纳米管更好地应用在纳米工程中，很有必要掌握输流碳纳米管的力学和物理性质，因此研究输流碳纳米管的动力学特性具有重要的实际意义。
由于碳纳米管的尺寸在纳米量级，对碳纳米管的实验研究主要是采取间接的测量方法，获得的实验数据离散性较大，实验研究也没有涉及环境(例如温度、化学环境)对碳纳米管力学性能影响，而分子动力学模拟系统内所有原子的行为，计算规模庞大，难以模拟较大规模或较长时间跨度的问题，同时，在分子动力学模拟过程中对系统能量的获得伴随了一些经验假设，所以在定量分析的准确性方面，分子动力学的结果尚不能尽如人意。已有的研究结果表明，连续介质模型能够在很多情况下描述碳纳米管的力学性能 [3] 。因此目前研究输流碳纳米管时，一般采用弹性梁或者弹性壳体模型来分析其动力学行为 [4] 。尽管经典连续介质梁模型已经成功模拟了一些情况下碳纳米管的力学性质，但是在求解过程中，宏观的连续体模型并不允许涉及对其内在尺寸的依赖性。在纳米尺度中，小尺度效应的影响是非常明显的。为了解释弹性的尺度效应，Erigen和Edelen [5] [6] 在1972年提出了非局部弹性理论。非局部弹性理论认为弹性体内某一参考点p处的应力不仅取决于p点的应变，而且与物体内所有其他各点
处的应变有关。
Yoon等 [7] 研究了多壁碳纳米管中声波的传播，指出多壁碳纳米管存在临界频率。多壁碳纳米管中高频波的传播速度不仅依赖于系统的频率，同时还依赖于系统的非同轴振动模态。Natsuki等 [8] 给出了嵌入弹性介质中的单壁和多壁碳纳米管中波的传播模型，利用温克勒模型描述了周边弹性介质的作用，发现非对称波在单壁碳纳米管和多壁碳纳米管中的传播有较大差异。Dong等 [9] 采用弹性壳体模型研究了充液碳纳米管中波的耗散情况。Natsuki等 [10] 研究了输流双壁碳纳米管中弹性波的传播，发现弹性波在输流双壁碳纳米管中的传播速度要低于在无流体双壁碳纳米管中的传播速度，系统的临界频率随流体密度的增加而降低，但与流体流速无关。当系统的振动频率大于1.5 THz时，内外管的振幅比值严重依赖于流体的速度和密度。Natsuki等 [11] 利用弹性波理论研究了输流双壁碳纳米管的动力学特性。系统的一阶模
态频率很大程度上依赖于流体速度及流体密度，而对于二阶模态，流体速度及流体密度对振动频率几乎无影响。王立峰等 [12] 采用基于二阶应变梯度的非局部弹性铁木辛柯梁模型，分析了输流碳纳米管中弯曲波的传播及频散，发现流体的存在会使相速度最低解支的相速度明显降低，并且随着流体流速的增大，影响也越来越明显。随着弯曲波波数的升高，非局部效应对管中弯曲波传播的影响更加明显。Wang [13] 等采用非局部欧拉梁模型研究了输流双壁碳纳米管中波的传播特性。碳纳米管作为纳米机电系统的基本元件，常常需要工作于复杂的物理环境中，如电场，磁场，热场等，因此研究磁场环境下单个多壁碳纳米管中波的传播特性具有非常实际的工程意义。据作者了解，目前尚未有针对磁场环境下输流双壁碳纳米管中弯曲波的传播研究。本文基于非局部弹性理论，采用欧拉梁模型建立磁场环境下输流双壁碳纳米管的波动方程，分析管中弯曲波的传播特性。
2. 方程建立
2.1. 磁场力
考虑碳纳米管受轴向均匀稳定的磁场作用，简单起见假设磁场对管道中流体的作用可忽略。在磁场作用下，碳纳米管受横向洛伦兹力作用 [14] ，单位长度上磁场力为
(1)
其中
是磁导率，
是轴向磁通量分量，A表示碳纳米管的截面面积，w表示碳纳米管的横向振动位移。
2.2. 波动方程
基于非局部欧拉梁理论，研究磁场环境下双壁输流碳纳米管中波的传播特性简图见图1。假设双壁碳纳米管内流体是不可压且无旋无粘流体，不考虑重力作用，流体在管道内以恒定流速流动。由文献13可知基于非局部欧拉梁模型的输流双壁碳纳米管的波动方程
(2)
式中
是弹性模量，
是内外管的惯性矩，
分别表示内外管和流体的质量，
是流体速度，
表示两层管间的范德华力作用系数，可表示为
(3)
Figure 1. Schematic diagram of wave propagation in fluid-conveying double-walled carbon nanotubes
图1. 输流双壁碳纳米管中波的传播示意图
其中
(4)
分别表示Lennard-Jones势中的范德华半径和势径深度，
是碳-碳键长度，
是第j层管的半径 [15] 。考虑磁场的作用，利用牛顿定律得到磁场环境下输流双壁碳纳米管的波动方程
(5)
3. 波的传播分析
输流双壁碳纳米管的波动方程(5)的解可设为如下形式
(6)
其中
表示内外管的振幅，
，
是波数，
是波的圆频率。
将(6)式代入方程(5)，得到关系式
(7)
改写成，
(8)
其中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
输流双壁碳纳米管中波的传播的色散关系可由方程(9)存在非零解的条件
(9)
得到。忽略磁场的影响，模型简化为文献13中的波动方程。
4. 数值结果及讨论
选取双壁碳纳米管的有效参数如下：杨氏模量
，碳纳米管的密度
，流体密度
。碳纳米管的内管半径
，碳纳米管的壁厚
。根据Wang [16] 关于非局部参数的理论，选取非局部参数
在0 nm~2.0 nm之间进行计算。
图2描述了无流体和管内流体流速
，非局部参数
，磁通量
时双壁碳纳米管的色散关系。对于无流体和有流体的双壁碳纳米管，随着波数的增大，系统的一阶和二阶模态频率增大，且有流体时的频率小于无流体时的频率。当波数较大时，管内流体对波的二阶频率的影响可忽略，但对一阶频率的影响较明显。随波数增大，管内有流体流动时一阶和二阶模态频率的差异较无流体时显著增大。
选取磁导率
，管内流体流速
，非局部参数
，磁场对输流双壁碳纳米管中波的传播特性的影响见图3。从图3可以看出，磁场对输流双壁碳纳米管的波动特性有明显的影响。轴向磁通量分量越大，输流双壁碳纳米管中波的传播频率也越大。
图4和图5描述了不同波数和磁通量下非局部参数对波的频率的影响。可以看出，随着非局部参数的增大，波的传播频率减小，与文献13的结论一致。当波数较小时，如图4，波数
，随着非局部参数增大，对应于磁通量
，当非局部参数
从0增大到
时，一阶频率降低14.06%，二阶频率降低15.41%，而当磁通量
时，随着非局部参数的增大，一阶和二阶频率的降幅分别为6%和7%。当波数较大时，如
时(见图5)，磁通量
，当非局部参数
从0增大到
时，一阶频率降低41.62%，二阶频率降低43.75%，磁通量
时，对着非局部参数增大，一阶和二阶频率的降幅分别为25.33%和27.97%。由上述数据可知，磁场和非局部参数对输流双壁碳纳米管中波的传播有重要影响。随着波数的增大，非局部效应加强，而增强磁场，会减弱非局部效应。
5. 结论
本文研究了磁场环境下输流双壁碳纳米管中弯曲波的传播特性。基于欧拉梁理论和非局部弹性理论，考虑磁场的影响对输流双壁碳纳米管进行建模，通过绘制不同情况下的色散关系图，经过分析得到以下结论：
Figure 2. Dispersion relation for the doubled-walled nanotubes with e0a = 1 nm
图2. e0a = 1 nm时双壁碳纳米管的色散关系图
1) 对于双壁碳纳米管，随着波数的增大，系统的一阶和二阶模态频率增大，且管内有流体流动时的频率小于无流体时的频率。当波数较大时，管内流体对波的二阶频率的影响可忽略，但对一阶频率的影响较明显。随波数增大，管内有流体流动时一阶和二阶模态频率的差异较无流体时显著增大。
Figure 3. Dispersion relation for the doubled-walled nanotubes with e0a = 1 nm
图3. e0a = 1 nm时双壁碳纳米管的色散关系图
Figure 4. Scale coefficient vs. frequency with different magnetic flux, fluid velocity u = 500 m/s, wave number k = 5 × 108 m−1
图4. 不同磁通量下频率随非局部参数的变化图，流体流速u = 500 m/s，波数k = 5 × 108 m−1
Figure 5. Scale coefficient vs. frequency with different magnetic flux, fluid velocity u = 500 m/s, wave number k = 109 m−1
图5. 不同磁通量下频率随非局部参数的变化图，流体流速u = 500 m/s，波数 k = 109 m−1
2) 磁场对输流双壁碳纳米管的波动特性有明显的影响。轴向磁通量分量越大，输流双壁碳纳米管中波传播频率也越大。随着波数的增大，非局部效应加强，而增强磁场，则会减弱非局部效应。研究结果可为纳米材料的应用提供理论依据。
基金项目
国家自然科学基金资助(No. 11402087)和中央高校专项科研业务费(No. 2016MS64)。