1. 引言
由病毒和真菌感染人或其他生物体后产生的传染病，可以在人群或其相关的生物种群中引起大面积的传播 [1] 。传染病的传染给人类的健康带来很大的影响，在每年的死亡人口中大约有百分之二十五的人是死于传染病 [2] 。因此，研究传染病模型，并掌握病毒传染及细胞间的相互作用机制是非常有必要的 [3] [4] 。进入20世纪以来，微分方程理论才被广泛的应用于传染病相关问题的动力学模型中 [5] [6] [7] [8] ，并取得了有效的成果。然而，先前学者们建立的模型中，传染病的传染速率呈现线性传染，且传染到发病的过程不考虑时间滞后，这是不符合现实情况的。因此我改进的模型中的传染速率是非线性传染的，并符合Beddington-DeAngelis功能函数，在传染到发病还需要有时间滞后过程，更接近于实际情况。本文通过对改进模型的研究，得到传染病模型出现局部稳定、Hopf分岔以及Hopf-Zero分岔的具体条件，从而了解细胞间的相互作用机制，更好的控制传染病的传播。
2. 模型的建立
对于传染病的研究，在文章 [9] 中，关于传染病模型的数学模型可描述为下面的方程：
(1)
其中表示未成年个体在t时刻的种群大小，表示成年易感者在t时刻的种群大小，表示成年染病者在t时刻的种群大小。，，，，，，，都为正常数。表示未成年个体到成年个体的转化率，表示自我康复率，表示未成年个体的自然死亡率，表示成年个体的自然死亡率，表示因病死亡率，表示单位时间内两个接触个体之间传播疾病的概率。
本文中我的改进模型如下：
(2)
其中是感染到发病的时间，为成年易感者和染病者之间的非线性的Beddington-DeAngelis发生率。
下面本文将从分析系统(2)的稳定性以及系统(2)的分岔两个方面来论述，并借鉴文 [10] [11] [12] [13] [14] 中对这两个问题的分析方法，展开对本文所建立的带有Beddington-DeAngelis功能项的时滞系统(2)的平衡点稳定性、Hopf分岔和Hopf-Zero分岔的存在性的定性分析。
3. 平衡点的稳定性
本节将用微分方程理论，研究本文建立的带有Beddington-DeAngelis功能项的时滞系统(2)的动力学行为。经过计算可求出系统(2)有两个平衡点和，其中，，，。
根据实际意义，我们只讨论平衡点，则系统(2)在平衡点处的雅可比矩阵为
根据雅可比矩阵，则可求出系统(2)在平衡点处的特征方程：
(3)
, ,
根据赫尔维茨判定定理 [15] 以及微分方程的定性理论，可以得到以下引理：
引理1：(i) 当，时，此时在处的特征方程为
(4)
显然方程(4)的一个根为；当，且，方程(4)有一个零根和两个的根，此时系统(2)经历不动点分岔；
(ii) 设，如果(H1)：，，，则系统(2)的平衡点在处是渐近稳定的，并且是局部渐近稳定的。
定理1：对于方程其中，是常数矩阵。若特征方，满足下列条件：
(i) 方程都有负实部的根；
(ii)，，。
则方程的所有根具有负实部。
引理2：如果(H1)成立，设 ()是方程(3)的根，当时，则系统(2)的平衡点是局部渐近稳定的。这里
(5)
其中，，。
证明：将 ()代入方程(3)并分离实部与虚部可得
(6)
从而解得:。
取
(7)
由定理1可知，当时，特征方程(3)都有的根，因而系统(2)的平衡点在处是局部渐近稳定的。
4. Hopf分岔的存在性
设方程(3)的根为，且满足，。
定理2：如果引理2的条件成立，，那么当时系统(2)在处产生Hopf分岔，，其中，，，。
证明：时，特征方程(3)有一对纯虚根，并且其余的根都是的。将特征方程(3)两边对求导，整理得。其中，
将带入，并且，。
整理化简得：
所以，当时，系统(2)在处出现Hopf分岔。
5. Hopf-Zero分岔的存在性分析
下面证明系统(2)存在Hopf-Zero分岔。
将(6)式中的两个方程平方相加，可得将(5)中两个方程平方相加可得
(8)
其中，，。令，则(8)式化为
，记 (9)
引理3：假设条件(H1)及成立，则可得以下结论：
(i) 如果，则当时，方程(3)有一对纯虚根，且当时方程(3)都有的根，其中的定义如(7)式。
(ii) 如果，，，则当时，方程(3)除了有一个零根外，其余根都是的根。
证明：(i)用反证法证明。如果且，则方程(9)没有正实根。由(9)式可得。显然，当时，函数在上是单调增加的，所以当且时，方程(9)没有正实根。所以不失一般性，由定理1及根的连续性可知，如果，则当时，方程(3)有一对纯虚根，且当时方程(3)都具有的根，其中的定义如(7)式。
(ii) 因为，，显然0是方程(3)的根。由引理2可知，此时方程(3)是没有纯虚根的。
下面可以用反证法证明。令。假设有，方程(3)有的根，记为，记是方程(3)的根，并且满足，。因为关于连续，则存在当时，。又因为，有，存在，如果，则有，从而可得。取，当时，且。另一方面，由引理2可知，当时，方程(3)的根都是的，矛盾。引理3得证。
定理3：如果，，，那么当时，方程(3)除了有一个的根和一对纯虚根外，其余根都是的。此时系统(2)在平衡点处经历了Hopf-Zero分岔。
证明：显然，是方程(3)的根，我们由定理2可知，也是方程(3)的根。假设时，使得方程(3)有一个的根，记为。设是方程(3)的根，并且满足，。因此当时，方程(3)有的根，这与引理3矛盾。定理3得证。
6. 数值模拟
在系统(2)中取，，，，，，，，，，将这些参数代入，通过计算可得系统(2)的正平衡点为。若满足(H1)和，则方程(6)有一个正实根。再由(9)式可得，。
本节主要是对系统(2)通过取不同的值，来研究Hopf分岔，Hopf-Zero分岔以及周期解的稳定性。图1、图2、图3分别给出了，和时的时间历程图和相图。
Figure 1. τ = 12, the time-history graph and phase diagram of the system (2)
图1. τ = 12时，系统(2)的时间历程图和相图
Figure 2. τ = 36, the time-history graph and phase diagram of the system (2)
图2. τ = 36时,系统(2)的时间历程图和相图
Figure 3. τ = 55, the time-history graph and phase diagram of the system (2)
图3. τ = 55时，系统(2)的时间历程图和相图
(1) 由图1，可以看出如果病毒感染到发病的周期在时，，，随时间的变化最终趋于稳定，此时系统(2)在平衡点处是局部渐近稳定的，说明该传染病不会大面积爆发，有可能成为地方病。
(2) 由图2，可以看出如果病毒感染到发病的周期在时，，，随时间的变化出现周期变化，此时系统出现周期解，系统(2)在平衡点处出现了极限环，并在点经历了Hopf分岔，说明该传染病可能会发生周期循环变化。
(3) 由图3，可以看出如果病毒感染到发病的周期在时，系统的相图不稳定，此时系统(2)的平衡点是不稳定的，说明该传染病具有敏感性，极小的环境变化都有可能使得该传染病大面积爆发，或者灭绝。
7. 小结
与先前学者们建立的模型相比，本文建立的模型不仅考虑了病毒传染到发病需要时间过程，并且也考虑了传染的速率呈非线性传染。因此，本文的模型更具有一般性，其动力学性质更能反映传染病的传播规律。文章首先通过讨论系统(2)在正平衡点的稳定性，并以时滞为参数，得出了系统(2)出现Hopf分岔和Hopf-Zero分岔的条件。最后，数值模拟验证了理论的正确性。通过模型图像及理论证明知，当时滞，系统(2)在正平衡点处是渐近稳定的，说明传染病不会大面积的爆发，有可能会成为地方病；当时滞，系统(2)存在周期解，说明了传染病可能会周期循环变化。
基金项目
国家自然科学基金项目(11672207, 51573133, 11501410)。
参考文献