具有时间一次项的指数曲线研究

Research on an Exponential Curve with First Order Term of Time

摘要: 针对自然界和经济、工程等应用领域中，由确定性因素导致的非平稳序列，本文在经典的指数曲线和修正的指数曲线的基础上，提出了具有时间一次项的指数曲线。结合模型本身的结构，采用分段求和的思想给出了模型中参数的具体表达式。在此基础上，以一个具体实例，详细给出了模型的建立、求解的具体步骤。

Abstract: In view of the non-stationary sequences mainly caused by deterministic factors in the application fields of economy and engineering and nature, this paper proposes an exponential curve with first order term of time on the basis of classical exponential curve and modified exponential curve. Combining with the structure of the new model, the specific expressions of parameters in the model are derived by the idea of piecewise summation. According to these expressions, the specific steps of establishing and solving the model are given in detail with a specific example.

1. 引言

在自然界中由确定性因素所导致的非平稳序列，通常表现出明显的规律性。比如有显著的趋势或者有固定的变化周期，这种规律性信息通常比较容易提取。当现象的长期趋势每期大体按照相同的增长速度递增或者递减变化时，可以用指数曲线进行拟合。当现象的趋势为：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终以一个常数为增长极限，则可以采用修正的指数曲线进行拟合。

在对数据预测分析中，指数曲线和修正的指数曲线 [1] [2] [3] 是很重要且常见的一类预测模型。程健等人 [4] 利用指数曲线法研究了在役储罐发生不均匀沉降后的结构疲劳安全性问题。孙海峰等人 [5] 将指数曲线应用在运载火箭推力调节电机速度控制上面，实现了快速响应性能好、升降速时间短、稳定精确控制的目的。卓立新 [6] 利用在福建省范围内收集到的1907套阔叶树为建模数据，构建了福建省阔叶树多形地位(级)指数曲线模型，所得结果误差小，精度高。

另一方面，2009年吴新燕等人 [7] 收集了汶川地震各时刻的死亡人数，并采用修正指数曲线进行拟合。计算结果能够很好的对地震死亡人数进行估计，从而为各级抗震救灾指挥部提供救灾决策参考。陈善雄等人 [8] 针对武广高速铁路路基沉降的数据，提出了路基沉降预测的三点修正指数曲线模型，得到的结果稳定，相关系数高。张军等人 [9] 根据灰色系统建模估计参数的方法，提出了基于灰色建模思想估计修正指数曲线模型参数的方法，并用实际数据验证了该方法的有效性和实用性。欧阳明等人 [10] 在现有模型的基础上构造了一个新的修正的指数曲线模型。通过对不同类型的单桩静载荷试验数据进行拟合，验证了提出的新模型能够很好的对单桩P-S曲线进行拟合。最近，谭生源 [11] 在经典的修正指数曲线的基础上提出了具有振荡项的指数曲线模型，并将其应用在一次能源消费的分析中。Yu等人 [12] 提出了具有一次多项式的修正指数曲线，并将其应用在制造工业中。但是，值得注意的是，文献 [11] [12] 虽然提出了较为一般的模型，但是由于模型的非线性型，作者并没有给出模型参数的解析表达式，而是采用了数值计算方法求解模型参数的数值解。

本文在修正的指数曲线和文献 [11] [12] 的启发下，提出了具有时间一次项的修正指数曲线模型。并受到修正指数曲线求解模型参数的启发，将三和法推广应用在本模型中，经过分析、计算得到了模型参数的具体表达式。最后，以一组数据为例，详细的给出了模型参数的计算方法和详细过程，并将计算结果与传统的指数模型、修正的指数模型进行对比。从数值结果上可以看出，本文提出的模型在一类数据的处理上有更高的精度。

2. 指数曲线和修正的指数曲线

2.1. 指数曲线

当现象的长期趋势每期大体按照相同的增长速度递增或递减变化时，可用指数曲线进行拟合。由文献 [1] [2] [3] ，经典的指数曲线方程为

$Y_t=a{b}^t$ (1)

为了估计参数a、b，一般首先将方程(1)两端取对数，得

$\ln Y_t=\ln a+t\ln b$ (2)

然后运用最小二乘法和方程(2)，得到如下方程

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum \ln Y=n\ln a+\left({\displaystyle \sum t}\right)\ln b}\\ {\displaystyle \sum t\ln Y=\left({\displaystyle \sum t}\right)\ln a+\left({\displaystyle \sum t^2}\right)\ln b}\end{array}$ (3)

估计出参数 $\ln a$ 和 $\ln b$ ，再取反对数，即可得到参数a、b的估计值。

2.2. 修正指数曲线

当现象的趋势为：初期增长迅速，随后增长率逐渐减低，最终以一个常数为增长极限，则可以采用修正的指数曲线进行拟合。在经典指数曲线的基础上增加一个常数c，即得到修正指数曲线的方程(见文献 [1] [2] [3] )

$Y_t=a{b}^t+c$ (4)

其中，a、b、c为未知参数， $a\ne 0$ ， $b\in \left(0,1\right)\cup \left(1,\infty \right)$ ， $c\in \left(0,\infty \right)$ 。

参数a、b、c估计的基本思想是三和法：把整个时间序列分成相等的三个数组，每个组有m项，根据趋势值 $Y_t$ 的三个局部总和分别等于原数列观察值 $Y_t$ 的三个局部总和来确定三个参数。具体为：设观察值的三个局部总和分别为 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ ，得

$S_1={\displaystyle \underset{t=1}{\overset{m}{\sum }}{Y}_t}$ ， $S_2={\displaystyle \underset{t=m+1}{\overset{2m}{\sum }}{Y}_t}$ ， $S_3={\displaystyle \underset{t=2m+1}{\overset{3m}{\sum }}{Y}_t}$ (5)

由三和法得到如下方程

$\{\begin{array}{l}{S}_1=mc+a+ab+a{b}^2+\cdots +a{b}^{m-1}\\ S_2=mc+a{b}^m+a{b}^{m+1}+\cdots +a{b}^{2m-1}\\ S_3=mc+a{b}^{2m}+a{b}^{2m+1}+\cdots +a{b}^{3m-1}\end{array}$ (6)

通过对方程(6)求解，得到

$\{\begin{array}{l}b={\left(\frac{S_3-S_2}{S_2-S_1}\right)}^{\frac{1}{m}}\\ a=\left(S_2-S_1\right)\frac{b-1}{{\left(b^m-1\right)}^2}\\ c=\frac{1}{m}\left(S_1-\frac{a\left(b^m-1\right)}{b-1}\right)\end{array}$ (7)

3. 带时间一次项的指数曲线

在经典指数曲线、修正的指数曲线和文献 [11] [12] 的综合启发下，提出了具有时间一次项的指数曲线模型，并将修正指数曲线求解模型参数的三和法推广应用在本模型中，经过分析、计算得到模型参数的具体表达式。在上面指数模型的基础上，本文提出的新型指数曲线，其一般方程为

$Y_t=a{b}^t+ct$ (8)

相比于经典的指数模型和修正的指数曲线模型，最大的区别则是对序列的趋势采用的是一次函数的形式。当 $c=0$ 时则退化为经典的指数曲线模型，当 $c=k/t$ 时则退化为修正的指数曲线模型。

接下来，利用三和法的思想推导系统中参数 $a,b,c$ 的具体表达式。首先，把用于建模的时间序列分成相等的四个数组，每个组有m项，根据趋势值 $Y_t$ 的四个局部总和分别等于原数列观察值 $Y_t$ 的四个局部总和来确定三个参数。具体为：设观察值的四个局部总和分别为 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ 、 $S_4$ ，得到

$S_1={\displaystyle \underset{t=1}{\overset{m}{\sum }}{Y}_t}$ ， $S_2={\displaystyle \underset{t=m+1}{\overset{2m}{\sum }}{Y}_t}$ ， $S_3={\displaystyle \underset{t=2m+1}{\overset{3m}{\sum }}{Y}_t}$ ， $S_4={\displaystyle \underset{t=3m+1}{\overset{4m}{\sum }}{Y}_t}$ (9)

分别计算得到如下方程

$\{\begin{array}{l}{S}_1={\displaystyle \underset{t=1}{\overset{m}{\sum }}a{b}^t}+c{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{m}{\sum }}t}=\frac{ab\left(1-b^m\right)}{1-b}+c\frac{1+m}{2}m,\\ S_2={\displaystyle \underset{t=m+1}{\overset{2m}{\sum }}a{b}^t}+c{\displaystyle \underset{t=m+1}{\overset{2m}{\sum }}t}=\frac{a{b}^{m+1}\left(1-b^m\right)}{1-b}+c\frac{1+3m}{2}m,\\ S_3={\displaystyle \underset{t=2m+1}{\overset{3m}{\sum }}a{b}^t}+c{\displaystyle \underset{t=2m+1}{\overset{3m}{\sum }}t}=\frac{a{b}^{2m+1}\left(1-b^m\right)}{1-b}+c\frac{1+5m}{2}m,\\ S_4={\displaystyle \underset{t=3m+1}{\overset{4m}{\sum }}a{b}^t}+c{\displaystyle \underset{t=4m+1}{\overset{4m}{\sum }}t}=\frac{a{b}^{3m+1}\left(1-b^m\right)}{1-b}+c\frac{1+7m}{2}m\end{array}$ (10)

进一步，令 $L_i=S_{i+1}-S_i,i=1,2,3$ ，于是有

$\{\begin{array}{l}{L}_1=S_2-S_1=\frac{ab\left(1-b^m\right)}{1-b}\left(b^m-1\right)+c{m}^2,\\ L_2=S_3-S_2=\frac{a{b}^{m+1}\left(1-b^m\right)}{1-b}\left(b^m-1\right)+c{m}^2,\\ L_3=S_4-S_3=\frac{a{b}^{2m+1}\left(1-b^m\right)}{1-b}\left(b^m-1\right)+c{m}^2\end{array}$ (11)

类似的，令 $W_i=L_{i+1}-L_i,i=1,2$ ，经计算得到

$\{\begin{array}{l}{W}_1=L_2-L_1=\frac{ab\left(1-b^m\right)\left(b^m-1\right)}{1-b}\left(b^m-1\right),\\ W_2=L_3-L_2=\frac{a{b}^{m+1}\left(1-b^m\right)\left(b^m-1\right)}{1-b}\left(b^m-1\right).\end{array}$ (12)

通过对方程(12)求解，得到

$\{\begin{array}{l}b={\left(\frac{W_2}{W_1}\right)}^{\frac{1}{m}},\\ a=\frac{\left(1-b\right)W_1}{b\left(1-b^m\right){\left(b^m-1\right)}^2},\\ c=\frac{L_1}{m^2}-\frac{ab\left(1-b^m\right)\left(b^m-1\right)}{m^2\left(1-b\right)}.\end{array}$ (13)

至此，我们通过解析的方法得到了模型参数的具体表达式，一旦给定原始序列，则可以通过建模进行分析。

4. 数值验证

在进行具体的数值实例前，我们先给出衡量模型精度的表达式。根据计算值与实际值确定绝对百分误差(APE)和均方根百分误差如下。

$\text{APE}=\left|\frac{Y_t-{\hat{Y}}_t}{Y_t}\right|\times 100\%,t=1,2,\cdots ,n$ (14)

$\text{RMSPEPR}=\sqrt{\frac{1}{v}{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{v}{\sum }}{\left(\frac{Y_t-{\hat{Y}}_t}{Y_t}\right)}^2}}\times 100\%$ (15)

$\text{RMSPEPO}=\sqrt{\frac{1}{n-v}{\displaystyle \underset{t=v+1}{\overset{n}{\sum }}{\left(\frac{Y_t-{\hat{Y}}_t}{Y_t}\right)}^2}}\times 100\%$ (16)

$\text{RMSPE}=\sqrt{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(\frac{Y_t-{\hat{Y}}_t}{Y_t}\right)}^2}}\times 100\%$ (17)

表达式中 ${\hat{Y}}_t$ 为计算得到的值，v为用于建模的个数，n为原始序列的总个数。

为了对新型时间一次项的指数曲线的预测精度和拟合效果进行检验，本文选用表1的数据来验证分析，并将计算结果与已有的指数曲线、修正的指数曲线模型的计算结果进行对比分析。

Table 1. Raw data used for validation

表1. 用于验证的原始数据

下面给出具体的求解时间一次项的指数曲线的建模过程。首先由表1的数据计算得到

$\{\begin{array}{l}{S}_1=2+4+6=12,\\ S_2=9+14+20=43,\\ S_3=30+46+72=148,\\ S_4=115+187+309=611.\end{array}$ (18)

于是，分别得到 $L_i,i=1,2,3$ ， $W_i,i=1,2$ 的具体值为

$\{\begin{array}{l}{L}_1=S_2-S_1=43-12=31,\\ L_2=S_3-S_2=148-43=105,\\ L_3=S_4-S_3=611-148=463.\end{array}$ (19)

$\{\begin{array}{l}{W}_1=L_2-L_1=105-31=74,\\ W_2=L_3-L_2=463-105=358.\end{array}$ (20)

将相应的数值带入公式(13)，即可得到系统参数的具体值

$\{\begin{array}{l}a=0.53507251,\\ b=1.69128619,\\ c=\mathrm{1.30203443.}\end{array}$ (21)

进一步，带时间一次项的指数曲线的方程为

$Y_t=0.53507251\times {\left(1.69128619\right)}^t+1.30203443t$ (22)

使用指数曲线模型、修正的指数曲线模型、时间一次项的指数曲线模型进行拟合建模和拟合，并将计算结果进行对比分析。上述三种模型的数值计算结果见表2。相应的图形分别见图1~3。

Table 2. The computational results of the exponential curve, modified exponential curve and the exponential curve with first order term of time

表2. 指数曲线、修正的指数曲线和时间一次项的指数曲线对原始数据的计算结果

从计算结果看出时间一次项的指数曲线对原始数据的拟合、预测更接近。指数曲线的拟合误差、预测误差和总的误差分别为18.9258%，8.0248%和17.1823%；修正的指数曲线的拟合误差、预测误差和总的误差分别为4.5739%，12.8489%和7.1983%；时间一次项的指数曲线的拟合误差、预测误差和总的误差分别为3.3928%，1.0543%和3.0467%。从表2，图1~3看出，时间一次项的指数曲线对原始数据的拟合和预测有更高的精度。

Figure 1. The simulation and fitting results of the exponential curve, modified exponential curve and the exponential curve with first order term of time

图1. 指数曲线、修正的指数曲线和时间一次项的指数曲线对原始数据的拟合

Figure 2. The absolute percentage error of raw data by using the exponential curve, modified exponential curve and the exponential curve with first order term of time

图2. 指数曲线、修正的指数曲线和时间一次项的指数曲线对原始的绝对百分误差

Figure 3. The fitting total errors of the exponential curve, modified exponential curve and the exponential curve with first order term of time

图3. 指数曲线、修正的指数曲线和时间一次项的指数曲线对原始数据的拟合误差和总误差

5. 结论

本文讨论了带有时间一次项的指数曲线模型，并利用分段求和的思想给出了模型中参数的具体表达式。最后，通过一个实例说明了本模型在某些数据下的预测精度比经典的指数曲线，修正的指数曲线都要高。值得一提的是，本文的分段求和的思想简单，操作可行，在今后的研究中，可将此方法应用在其他类似模型的参数求解中。

NOTES

^*通讯作者。