Littlewood-Paley积分与Q_K型空间的刻画

Littlewood-Paley Integrals and the Characterization of Q_K Type Spaces

摘要: 本文主要研究一类新的一维Q型空间——Q_K,λ ^p(Ra)。首先给出了Q_K,λ ^p(Ra)的若干基本性质。进而通过一类Littlewood-Paley函数Φ所构成的卷积算子，得到了该空间的Carleson测度刻画。

Abstract: In this paper, we introduce a new class of Q type spaces Q_K,λ ^p(Ra). We first investigate some basic properties of Q_K,λ ^p(Ra). Further, via a family of convolution operators generated by Littlewood-Paley functions Φ, we establish a Carleson measure characterization of Q_K,λ ^p(Ra).

1. 引言

在调和分析和偏微分方程的研究中，Q型空间起到重要的作用。作为介于Sobolev空间和BMO空间之间的一类可微函数空间，Q型空间兼具两者的特点，一方面该空间具有平均振荡的性质，从而在调和分析研究中可以作为BMO空间的一个很好的替代。另一方面，该空间可以看作与Campanato-Sobolev型空间等价，因此在偏微分方程中具有很好的应用。在最近几十年中，Q型空间及其推广的形式得到了广泛的研究。最早Q型空间 $Q_p\left(\mathbb{D}\right)$ 是作为单位圆盘D上全纯BMO型空间 $BMOA\left(\mathbb{D}\right)$ 上的推广而提出的( [1] )。在2001年，Essen等人在文献 [2] 中将Q型空间推广到高维欧氏空间的情形，建立了 $Q_{\alpha }\left({ℝ}^n\right)$ 空间的实变理论，从而使Q型空间可以广泛应用到调和分析和偏微分方程的诸多课题的研究中，相关的研究进展参见文献 [3] [4] [5] [6]。

从几何的观点看，经典的Q型空间可以看作是一类与幂函数相关的加权函数空间，参见 [7]。当将幂函数替换为一个一般的权函数时，很自然地产生了相应的加权Q型空间。2002年，Essen，Xiao和Wulan在文献 [8] 中建立并研究了单位圆盘上与权函数相关的Q型空间 $Q_K\left(\mathbb{D}\right)$。 $Q_K\left(\mathbb{D}\right)$ 的高维实变形式由Bao和Wulan于2014年在文献 [9] 中引入，此后该类加权Q型空间得到了许多研究者的关注，参见文献 [10] [11] [12]。

本文在上述结果的基础上，引入一类新的Q型空间，定义如下：

定义1令 $1<p<\infty ,\lambda >0$，设 $K:\left[\mathrm{0,}\infty \right)\to \left[\mathrm{0,}\infty \right)$ 是一个单调非减函数，则属于当且仅当

其中，I是 $ℝ$ 上的一个区间， $\mathcal{l}\left(I\right)$ 表示区间I的长度。

本文的主要目的是利用Carleson测度刻画。BMO空间和经典的Q型空间的主要结果之一是这两类空间均可以通过Carleson测度进行刻画，参见 [2] [3]。在本文中，作者引入如下卷积算子：

设f是 $ℝ$ 上的可测函数，并且满足：

${\displaystyle {\int }_{ℝ}\frac{\left|f\left(x\right)\right|}{1+{\left|x\right|}^2}\text{d}x<\infty ,}$ (1)

假设 $\Phi$ 是 $ℝ$ 上的一个实值 $C^{\infty }$ 函数且满足：

$\{\begin{array}{l}\left|\Phi \left(x\right)\right|\lesssim {\left(1+\left|x\right|\right)}^{-2};\\ \left|\nabla \Phi \left(x\right)\right|\lesssim {\left(1+\left|x\right|\right)}^{-3};\\ {\Phi }_t\left(x\right):=1/t\Phi \left(x/t\right).\end{array}$ (2)

定义Littlewood-Paley积分：

首先，在第二节中，作者给出的若干基本性质，并讨论了该空间与Campanato型空间 $BM{O}_{\gamma }^p$ 之间的关系。作为本文的主要结果，作者在第三节中利用上述定义的Littlewood-Paley积分 ${\Phi }_t\left(f\right)$ 和与权函数相关的Carleson测度刻画。

2.的基本性质

本节主要讨论的一些基本性质。众所周知，经典的Q型空间具有仿射不变性，即在平移，旋转和共形映射变换之下是不变的。由的定义，通过直接计算可以证明具有类似的性质。首先，我们可以得到的一个简单刻画，即在共形映射和旋转下是保持不变的；其次，我们需要如下辅助函数：

${\phi }_K\left(s\right)=\underset{0<t\le 1}{\sup }\frac{K\left(st\right)}{K\left(t\right)},0<s<\infty .$

我们在本文中假设辅助函数 ${\phi }_K\left(s\right)$ 满足以下两个条件：

${\displaystyle {\int }_{\text{1}}^{\infty }\frac{{\phi }_K\left(s\right)}{s^p}\text{d}s}<\infty ,$ (3)

${\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{\text{1}}\frac{{\phi }_K\left(s\right)}{s^{p-1}}\text{d}s}<\infty .$ (4)

下面，我们证明是非平凡的。

定义1 令 $1<p<\infty ,\lambda >0$。若

那么，称，其中I是上的一个区间， $\mathcal{l}\left(I\right)$ 是区间I的长度。

定理1 令 $1<p<\infty ,\lambda >0$，有 $Q_{1-1/p,\lambda }^p\left(ℝ\right)\subseteq Q_{K,\lambda }^p\left(ℝ\right)$，并且是非平凡的。

证明 设I是上的一个区间，对于任意 $x,y\in I$，有 $\left|x-y\right|\le \mathcal{l}\left(I\right)$，即 $\frac{\left|x-y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\le 1$。因为K是一个非减的函数，所以 $K\left(\frac{\left|x-y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\le K\left(1\right)$。对于任意，有

$\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}K\left(\frac{\left|x-y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}y}}\le K\left(\text{1}\right)\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}\text{d}x\text{d}y}},$

故。而是非平凡的，故是非平凡的。

接下来，本文讨论新的空间与经典函数空间的关系，首先我们引入Campanato型空间的定义：

定义2 令 $1<p<\infty ,\gamma >0$。若 $f\in L_{loc}^p\left(ℝ\right)$，且满足

那么，称。其中， $f_I=\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-1}{\displaystyle {\int }_{I}f\left(x\right)\text{d}x}$，I是上的一个区间， $\mathcal{l}\left(I\right)$ 表示区间I的长度。并且，该式中上确界取遍上所有长度为 $\mathcal{l}\left(I\right)$ 的区间。

我们可以证明当 $\gamma =\lambda +1$ 时，新的空间是Campanato型空间的子空间。

定理2是 $BM{O}_{\lambda \text{+1}}^p\left(ℝ\right)$ 的子空间，即 $Q_{K,\lambda }^p\left(ℝ\right)\subseteq BM{O}_{\lambda \text{+1}}^p\left(ℝ\right)$。

证明 设，I是上的一个区间，所以对任意 $x,y\in I$，如果 $\zeta >0$ 足够小，我们可以得到集合 $\left\{z\in I:\min \left(\left|x-z\right|,\left|y-z\right|\right)>\zeta \mathcal{l}\left(I\right)\right\}$，它的测度大于 $C_{\zeta ,n}\mathcal{l}\left(I\right)$。因为K是非减的，可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_I\min \left\{K\left(\frac{\left|x-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right),K\left(\frac{\left|y-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\right\}\text{d}z}\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\left\{z\in I:\min \left(\left|x-z\right|,\left|y-z\right|\right)>\zeta \mathcal{l}\left(I\right)\right\}}\min \left\{K\left(\frac{\left|x-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right),K\left(\frac{\left|y-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\right\}\text{d}z}\\ \ge K\left(\zeta \right)C_{\zeta ,n}\mathcal{l}\left(I\right).\end{array}$

注意到 ${\left|x-z\right|}^p\le \mathcal{l}{\left(I\right)}^p$，则对于一个足够小的 $\zeta >0$，可以得到

$\begin{array}{l}{\Vert f\Vert }_{BM{O}_{\lambda +1}^p\left(ℝ\right)}^p\\ \le \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda -1}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-1}{\displaystyle {\int }_{I}f\left(x\right)\text{d}y}-\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-1}{\displaystyle {\int }_{I}f\left(y\right)\text{d}y}\right|}^p\min \left\{K\left(\frac{\left|x-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right),K\left(\frac{\left|y-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\right\}\text{d}x\text{d}z}}\\ \lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-p-\lambda -1}[{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x\right)-f\left(z\right)\right|}^p}}}K\left(\frac{\left|x-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z+{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(y\right)-f\left(z\right)\right|}^p}}}K\left(\frac{\left|y-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z]\\ \lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-p-\lambda }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x\right)-f\left(z\right)\right|}^p}}K\left(\frac{\left|x-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}z\\ \lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(z\right)\right|}^p}{{\left|x-z\right|}^p}K}}\left(\frac{\left|x-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}z\lesssim {\Vert f\Vert }_{Q_{K,\lambda }^p\left(ℝ\right)}^p<\infty .\end{array}$

所以， $Q_{K,\lambda }^p\left(ℝ\right)\subseteq BM{O}_{\lambda \text{+1}}^p\left(ℝ\right)$。从而完成了定理2的证明。

当权函数K进一步满足特定条件时，可以证明：

定理3 如果 ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{K\left(t\right)}{t^p}\text{d}t}<\infty$，则有 $Q_{K,\lambda }^p\left(ℝ\right)=BM{O}_{\lambda \text{+1}}^p\left(ℝ\right)$。

证明 由定理2可知， $Q_{K,\lambda }^p\left(ℝ\right)\subseteq BM{O}_{\lambda \text{+1}}^p\left(ℝ\right)$，所以只需证 $BM{O}_{\lambda \text{+1}}^p\left(ℝ\right)\subseteq Q_{K,\lambda }^p\left(ℝ\right)$。

注意到，。而对于上的任意区间I和，

$\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)$，

$\begin{array}{l}\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y\right)-f\left(x\right)\right|}^p}\text{d}x\\ \lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\left(3\sqrt{n}\mathcal{l}\left(I\right)\right)}^{p+1}[{\left(3\sqrt{n}\mathcal{l}\left(I\right)\right)}^{-p-1}{\displaystyle {\int }_{3\sqrt{n}I}{\left|f\left(x+y\right)-f_{3\sqrt{n}I}\right|}^p\text{d}\left(x+y\right)}\\ +{\left(3\sqrt{n}\mathcal{l}\left(I\right)\right)}^{-p-1}{\displaystyle {\int }_{3\sqrt{n}I}{\left|f\left(y\right)-f_{3\sqrt{n}I}\right|}^p\text{d}x}]\\ \lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{p+1}{\Vert f\Vert }_{BM{O}_{\lambda +1}^p\left(ℝ\right)}^p.\end{array}$

所以，对任意，

$\begin{array}{l}\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}K}\left(\frac{\left|x-y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x}\text{d}y\\ \le \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(x+y\right)\right|}^p}{{\left|y\right|}^p}K}\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x}\text{d}y\\ \lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{p-1}{\Vert f\Vert }_{BM{O}_{\lambda +1}^p\left(ℝ\right)}^p{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}{\left|y\right|}^{-p}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}y}\\ \lesssim {\Vert f\Vert }_{BM{O}_{\lambda +1}^p\left(ℝ\right)}^p{\displaystyle {\int }_0^1\frac{K\left(t\right)}{t^p}\text{d}t}<\infty .\end{array}$

因此，。综上所述，，证明完成。

3.空间的Carleson型测度刻画

设I是上任意区间，表示上半平面，定义如下Carleson方体：

为简便起见，我们用 $v\left(x\right)$ 表示点到其边界的距离， $v\left(y\right)$ 类似；，其中 $y^{*}$ 为关于坐标轴的对称点，即，如果 $y=\left(y_1,y_2\right)$，那么 $y^{*}=\left(y_1,-y_2\right)$。

下面引入 $\left(K,\lambda \right)$ -Carleson测度的定义以及有关 $\left(K,\lambda \right)$ - Carleson测度的刻画。

定义3 设 $\mu$ 是上的正Borel测度，则称 $\mu \left(\cdot ,\cdot \right)$ 是一个 $\left(K,\lambda \right)$ -Carleson测度，如果

类似于经典Q型空间，可以证明有类似的性质。

定理4 设 $\lambda <-1$，并且K满足 ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\phi }_K\left(s\right)}{s}\text{d}s}<\infty$，设 $\mu$ 是上的正Borel测度，则 $\mu$ 是一个 $\left(K,\lambda \right)$ - Carleson测度当且仅当。

证明 必要性 若 $\mu$ 是一个 $\left(K,\lambda \right)$ -Carleson测度，设I是上的区间，并且以 $\bar{y}$ 为中心，长度为 $v\left(y\right)$。对任意正整数K，定义 $I_{\zeta }$ 为与I中心相同且边长为 $2\zeta \mathcal{l}\left(I\right)$ 的方体。再者， $S\left(I_{\zeta }\right)$ 指对应的Carleson方体。

从而，易知 $\{\begin{array}{l}\delta \left(x,y^{*}\right)\ge v\left(y\right),x\in S\left(2I\right);\\ \delta \left(x,y^{*}\right)\approx 2^{\zeta }v\left(y\right),x\in S\left(I_{\zeta +1}\right)\backslash S\left(I_{\zeta }\right).\end{array}$

进而，

由假设知， $\mu$ 是一个 $\left(K,\lambda \right)$ -Carleson测度， ${\left(2^{\zeta }\mathcal{l}\left(I\right)\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{S\left(I_{\zeta }\right)}K\left(\frac{v\left(x\right)}{2^{\zeta }\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\mu \left(x\right)}\lesssim 1$。

综上所述，可以推出

充分性 下面，记Carleson方体 $S\left(I_{\zeta }\right)$ 的中心为y，那么可知，现在 $v\left(y\right)=\frac{\mathcal{l}\left(I\right)}{2}$。如果 $x\in S\left(I\right)$，

就有 $\left|x-y^{*}\right|\lesssim \mathcal{l}\left(I\right)$，因此可以得到，

(5)

此时，如果(5)式成立，则 $\mu$ 是一个 $\left(K,\lambda \right)$ -Carleson测度。从而定理4得证。

为了进一步研究的Carleson测度刻画，给出如下两个引理：

引理1 设 $1<p<\infty$，若K满足(3)，则 $\underset{0<s<1}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_s^1\frac{K\left(t\right)}{t^p}\text{d}t}\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_0^s{\left(K\left(t\right)\right)}^{1/\left(1-p\right)}\text{d}t}\right)}^{\left(p-1\right)/p}<\infty$。

引理2 令 $1<p<\infty ,1/p+1/q=1,0<b\le \infty$。设非负函数 $\mu$ 和h在 $\left(0,b\right)$ 上可测，对于所有可测函数 $f\ge 0$，可得到以下Hardy型不等式：

(i) ${\displaystyle {\int }_0^b{\left({\displaystyle {\int }_0^{s}f\left(t\right)\text{d}t}\right)}^p}\mu \left(s\right)\text{d}s\le C{\displaystyle {\int }_0^b{f}^p\left(s\right)h\left(s\right)\text{d}s}$ 成立，当且仅当

$A:=\underset{0<s<b}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_s^b\mu }\left(t\right)\text{d}t\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_0^{s}h}{\left(t\right)}^{1-q}\text{d}t\right)}^{1/q}<\infty ,$

(ii) ${\displaystyle {\int }_0^b{\left({\displaystyle {\int }_s^{b}f\left(t\right)\text{d}t}\right)}^p}\mu \left(s\right)\text{d}s\le C{\displaystyle {\int }_0^b{f}^p\left(s\right)h\left(s\right)\text{d}s}$ 成立，当且仅当

$B:=\underset{0<s<b}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_0^s\mu }\left(t\right)\text{d}t\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_s^{b}h}{\left(t\right)}^{1-q}\text{d}t\right)}^{1/q}<\infty ,$

其中C的取值依赖于p，A或者B。

借助于上面给出的引理1和引理2，接下来利用Liitlewood函数 $\Phi$ 的性质给出本文的主要结果：

定理5 设并且满足(1)式，其中 $1<p<2$。假设K满足(3)，(4)，那么

(i) 如果，则 ${\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}t$ 是一个 $\left(K,\lambda \right)$ -Carleson测度；

(ii) 如果 $\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\Phi }_t\left(x-y\right)f\left(y\right)\text{d}y}=f\left(x\right)$，则若 ${\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}t$ 是一个 $\left(K,\lambda \right)$ -Carleson测度，有。

证明 (i) 设I和J都是上以 $x_0$ 为中点的区间，并且有 $\mathcal{l}\left(J\right)=3\mathcal{l}\left(I\right)$。不失一般性，我们假设 $x_0=0$。

设函数 $\tau$ 满足 $\{\begin{array}{l}\tau =1,在\left(2/3\right)J上;\\ \text{supp}\tau \subseteq \left(4/5\right)J,且0\le \tau \le 1,\end{array}$ 则有 $\left|\tau \left(x\right)-\tau \left(y\right)\right|\lesssim \mathcal{l}{\left(J\right)}^{-1}\left|x-y\right|$。

对f作分解， $f=f_1+f_2+f_3$，其中 $\{\begin{array}{l}{f}_1=f_J;\\ f_2=\left(f-f_J\right)\tau ;\\ f_3=\left(f-f_J\right)\left(1-\tau \right).\end{array}$

根据引言中Littlewood-Paley函数 $\Phi$ 的定义以及限制条件(2)，易知 $\{\begin{array}{l}\left|\frac{\partial {\Phi }_t\left(y\right)}{\partial y}\right|\lesssim {\left(t^2+{\left|y\right|}^2\right)}^{-1};\\ {\displaystyle {\int }_{ℝ}\frac{\partial {\Phi }_t\left(y\right)}{\partial y}\text{d}y=0.}\end{array}$

从而，

$\begin{array}{c}\left|\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x}\right|\le {\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|\frac{\partial {\Phi }_t\left(y\right)}{\partial y}\right|}\left|f\left(x\right)-f\left(x+y\right)\right|\text{d}y\\ \le \left|{\left(t^2+{\left|y\right|}^2\right)}^{-1}\right|\left|f\left(x\right)-f\left(x+y\right)\right|\text{d}y.\end{array}$

又由Minkowski不等式，可得

$\begin{array}{c}{\Vert \frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x}\Vert }_{L^p\left(ℝ\right)}\lesssim {\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|{\left(t^2+{\left|y\right|}^2\right)}^{-1}\right|\left|f\left(x\right)-f\left(x+y\right)\right|\text{d}y}\right)}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \lesssim {\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|{\left(t^2+{\left|y\right|}^2\right)}^{-1}\right|}{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|f\left(x\right)-f\left(x+y\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\text{d}y\\ \lesssim t^{-2}{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|\le t}{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|f\left(x+y\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\text{d}y}\\ +{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|>t}{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|f\left(x+y\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}}{\left|y\right|}^{-2}\text{d}y\\ \lesssim t^{-2}{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_{\left|\xi \right|=1}{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|f\left(x+r\xi \right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\text{d}\xi \text{d}r}}\\ +{\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\displaystyle {\int }_{\left|\xi \right|=1}{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|f\left(x+r\xi \right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}}}{r}^{-2}\text{d}\xi \text{d}r,\end{array}$

这里 $r=\left|y\right|,\left|\xi \right|=1$，上述计算中的最后一步使用了球坐标变换。设

$\Psi \left(r\right):={\displaystyle {\int }_{\left|\xi \right|=1}{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|f\left(x+r\xi \right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\text{d}\xi },$

从而有

${\Vert \frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x}\Vert }_{L^p\left(ℝ\right)}\lesssim t^{-2}{\displaystyle {\int }_0^t\Psi \left(r\right)\text{d}r}+{\displaystyle {\int }_t^{\infty }\Psi \left(r\right)r^{-2}\text{d}r}.$

因此，

$\begin{array}{l}\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x}\right|}^{p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}t}\\ \le \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right){\Vert \frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x}\Vert }_{{}_{L^p\left(ℝ\right)}}^p}\text{d}t\\ \lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}{\left(t^{-2}{\displaystyle {\int }_0^t\Psi \left(r\right)\text{d}r}+{\displaystyle {\int }_t^{\infty }\Psi \left(r\right)r^{-2}\text{d}r}\right)}^p\text{d}t\\ \lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{1-p}\left(B_1+B_2\right),\end{array}$

其中，

$\{\begin{array}{l}{B}_1:=\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t\right)t^{-2p}{\left({\displaystyle {\int }_0^t\Psi \left(\mathcal{l}\left(I\right)r\right)\text{d}r}\right)}^p\text{d}t;}\\ B_2:=\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t\right){\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }\Psi \left(\mathcal{l}\left(I\right)r\right)r^{-2}\text{d}r}\right)}^p\text{d}t.}\end{array}$

对于 $B_1$，注意到

$\begin{array}{l}\underset{0<s<1}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_s^1\frac{K\left(t\right)}{t^{2p}}\text{d}t}\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_0^s\frac{{\left(K\left(t\right)\right)}^{1/\left(1-p\right)}}{t^{p/\left(1-p\right)}}\text{d}t}\right)}^{\left(p-1\right)/p}\\ \le \underset{0<s<1}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_s^1\frac{K\left(t\right)}{t^p}\text{d}t}\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_0^s{\left(K\left(t\right)\right)}^{1/\left(1-p\right)}\text{d}t}\right)}^{\left(p-1\right)/p}<\infty .\end{array}$

根据引理1，易得

$B_1\lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_0^1\frac{K\left(t\right)}{t^p}}{\left(\Psi \left(\mathcal{l}\left(I\right)t\right)\right)}^p\text{d}t.$

$\begin{array}{l}{B}_2\lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }K\left(t\right){\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }\Psi \left(\mathcal{l}\left(I\right)r\right)r^{-2}\text{d}r}\right)}^p}\text{d}t\\ \lesssim \mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{K\left(t\right)}{t^p}{\left(\Psi \left(\mathcal{l}\left(I\right)t\right)\right)}^p\text{d}t}.\end{array}$

因此，由Hölder不等式以及球坐标变换，可得

注意到， $\{\begin{array}{l}\left|\frac{\partial {\Phi }_t\left(y\right)}{\partial t}\right|\le t^{-n-1};\\ {\displaystyle {\int }_{ℝ}\frac{\partial {\Phi }_t\left(y\right)}{\partial t}\text{d}y=0,}\end{array}$ 可得 $\left|\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial t}\right|\le {\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|\frac{\partial {\Phi }_t\left(y\right)}{\partial t}\right|}\left|f\left(x+y\right)-f\left(x\right)\right|\text{d}y$。

同理可得， ${\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial t}\right|}^{p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}\text{d}x\text{d}t\lesssim {\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|f\left(x+y\right)-f\left(x\right)\right|}^{p}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}{\left|y\right|}^{-p}\text{d}x\text{d}y}$。

因此， ${\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla f_2\left(x,t\right)\right|}^{p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}\text{d}x\text{d}t\lesssim C_1+C_2+C_3$，其中，

$\{\begin{array}{l}{C}_1:={\displaystyle {\int }_{y\in J}{\displaystyle {\int }_{x\in J}\frac{{\left|f_2\left(x\right)-f_2\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}K\left(\frac{\left|x-y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}y;}}\\ C_2:={\displaystyle {\int }_{y\in \left(4/5\right)J}{\displaystyle {\int }_{x\notin J}\frac{{\left|f_2\left(x\right)-f_2\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}K\left(\frac{\left|x-y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}y;}}\\ C_3:={\displaystyle {\int }_{y\notin J}{\displaystyle {\int }_{x\in \left(4/5\right)J}\frac{{\left|f_2\left(x\right)-f_2\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}K\left(\frac{\left|x-y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}y.}}\end{array}$

类似于上面的过程，继续将其分解讨论，如此进行下去，最终可得

$\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}t\lesssim {\Vert f\Vert }_{Q_{K,\lambda }^p\left(ℝ\right)}^p.$

(ii) 由三角不等式，易知

，

其中， $\{\begin{array}{l}{A}_1:=\underset{I}{\sup }\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}{\left|y\right|}^{-p}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x,\left|y\right|\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y;}\\ A_2:=\underset{I}{\sup }\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}{\left|y\right|}^{-p}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y,\left|y\right|\right)-f\left(x+y\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y;}\\ A_3:=\underset{I}{\sup }\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}{\left|y\right|}^{-p}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y,\left|y\right|\right)-f\left(x,\left|y\right|\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y.}\end{array}$

对于 $A_1$，根据Minkowski不等式易知

$\begin{array}{c}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x,\left|y\right|\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\le {\left({\displaystyle {\int }_I{\left({\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}\left|\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial t}\right|\text{d}t}\right)}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial t}\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\text{d}t}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\text{d}t.}\end{array}$

所以，由引理1和引理2我们可以得到

$\begin{array}{c}{A}_1\le \underset{I}{\sup }\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}{\left|y\right|}^{-p}{\left({\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\text{d}t}\right)}^P\text{d}y\\ \lesssim \underset{I}{\sup }\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda +1}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{K\left(r\right)}{r^p}{\left({\displaystyle {\int }_0^r{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla f\left(x,\mathcal{l}\left(I\right)s\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}}\text{d}s\right)}^p\text{d}r}\\ \lesssim \underset{I}{\sup }\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda +1}{\displaystyle {\int }_0^1\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla f\left(x,\mathcal{l}\left(I\right)r\right)\right|}^p\text{d}x}\right)K\left(r\right)\text{d}r}\\ \lesssim \underset{I}{\sup }\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^{p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}t<\infty .}\end{array}$

同理， $A_3\lesssim \underset{I}{\sup }\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^{p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}t<\infty }$。

对于 $A_2$，易知 $A_2\le \underset{I}{\sup }\mathcal{l}{\left(I\right)}^{-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}{\left|y\right|}^{-p}{\displaystyle {\int }_{3I}{\left|f\left(x,\left|y\right|\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y}\lesssim A_1<\infty$。

因此，。这就完成了定理5的证明。

致谢

作者衷心感谢李澎涛教授的指导与建议。

基金项目

山东省自然科学基金(项目编号：ZR2020MA004)；国家自然科学基金(项目编号：11471176)。

参考文献