1. 引言
我国在疫情防控政策上经历了突发疫情的应急围堵、常态化疫情防控的探索、全方位综合防控等不同阶段。通过各项科学精准的高效防控措施，有效遏制了疫情大面积蔓延，降低了病毒的传播性和危险性，最大限度减少了疫情对人民群众生命和对经济社会发展的影响 [1] 。目前随着奥密克戎变异株的致病性逐步减弱，新冠疫苗接种的普及，疫情防控政策的不断改善，我国疫情防控已步入新阶段 [2] 。2023年1月8日，国家卫生健康委将新型冠状病毒感染调整为“乙类乙管”后，国家疫情政策逐步放开，后疫情时代到来。国内人员流动性加快，新冠、流感等病毒加速传播，药品需求急剧提升 [3] 。
目前市场上挂名生产布洛芬的药厂大多因为缺乏某种原料而停止布洛芬的生产 [4] 。生产布洛芬的药厂分布在全国不同省份，生产产量不同，各省份疫情开始蔓延的时间和速度也有差异，导致疫情突然爆发时，部分省份无法获得足够的药物供给，而一些疫情情况并不严重的省份有过量的药物资源。目前，药物方面的研究集中于，疫情时代下药物临床试验影响 [5] [6] 、药物管制 [7] 等。疫情援助方面的研究集中于，分析国际间援助物资带来的经济影响 [8] 、疫情防控中的社会和心理援助的重要性 [9] [10] 等。药物援助研究尚未有创新性的研究结果。为解决这一问题，优化药物资源在各省份的供给情况。本文将根据疫情防控政策放开后，以疫情第一次大规模爆发时的数据为基础，建立模型寻求药物援助方案，对接药物生产商，解决各省份药物短缺的问题。
2. 模型建立与求解
2.1. 问题描述
中国现有34个省级行政区，可以进行药物援助的供应商是有限的，考虑到一些行政区的特殊性和自身医疗资源较丰富，为了防止计算过程过于冗杂，本文将34个省级行政区缩减至25个省，并将其划分成六大片区(华北、华东、东北、中南、西北、西南)。研究发现，大规模且生产普遍功效的布洛芬供应商数量有限，需在全国省份中选择部分省份进行援助，此问题符合运筹学中的0-1规划问题；完成省份的选择后，在将各省份与供应商对应时，按照一个省份对应一个供应商，一个供应商只能援助一个省份的方法。此药物援助问题可以利用运筹学0-1规划问题求解。在建立模型的过程中需要考虑的因素：
1) 如何从34个省级行政区中选出16个进行药物援助；
2) 在药物援助过程中，着重考虑当地的医疗资源情况，疫情严重情况和人口占比，多因素综合评定需要药物援助的省级行政区；
3) 将供应商与省级行政区一一对应并确定各供应商分别援助的省级行政区；
4) 寻求合理援助方案，确保每个片区内药物资源充足。
2.2. 模型建立
2.2.1. 模型一：分配药物省份的确定
1) 问题分析
从25个省份中选择16个省份进行药物援助，选择时应考虑省份医疗资源情况，人口占比和疫情严重程度，且需确保六个片区能得到相对均等的药物援助，保证援助的公平性，有效性，助力缩小由于缺乏药物资源带来的不良后果。
2) 变量设定
设江苏、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江分别设为
。
其中，
(1)
3) 目标函数设定
此分配问题旨在改善疫情集中爆发时药物分配不均的情况，该地的医疗资源越落后说明越需要药物援助，完成药物援助后，可提高当地药物资源水平，因此当地的医疗资源水平应在价值系数中占较大比重。为了保证模型的合理性和有效性，在此设置综合分值为价值系数，即综合各省份医疗资源水平、疫情严重程度和人口占比三方面得出的分值。目标函数为找出最需援助的城市，即公式：
(2)
4) 约束条件确定
约束条件从省份医疗资源水平，疫情严重程度，人口占比三个方面考虑。根据表1，由各省份的疫情严重程度，人口占比数值，这两个指标数值越大，说明该地疫情爆发程度越大，未来感染人数的增长越快，药品供给需求增大。由此可知这两个数值大小与省份需要援助的缓急程度成正比，将疫情最严重省份参考数值设为100，再将第二严重的省份实际数值占最严重省份实际数值数比例的百分数设为第二严重省份的参考数值，以此类推。而医疗资源水平与省份需要援助缓急程度成反比，医疗资源越落后，参考数值越低，说明越需要援助。最后，将三个参考数值综合，以医疗资源水平占50%，疫情严重程度占30%，人口占比占20%，得出综合分值。
且考虑到疫情管控放松后，人员流动性变快，相邻城市爆发疫情时，同一片区内感染的可能性增大，导致药物供应量可能不足 [11] ，因此要保证片区内有充足的药物资源，在设立约束条件不等式时，考虑以片区为单位，一个片区内至少有2个城市被援助。
(3)
Table 1. Composite scores for each province
表1. 各个省份的综合分值
上表数据中，省份的医疗资源水平数据来源于国家统计局对各省三甲医院数量的统计数量；疫情严重程度数据来源于新浪疫情实时查中统计的2022年11月21日至12月20日之间各省上报的新冠疫情确诊人数。在选择数据时，为体现数据的可靠性，对于援助省份不仅只考虑一种因素，在疫情严重时期，省份的感染人数决定了药物需求量，当地医疗资源状况决定了当地药物的供应量，若是需求量远大于供给量时，需要对该省份进行药物援助 [12] 。为了增加数据的科学性，加入人口因素，省份人口越多说明人口流动性越强，病毒传播速度更快，且人口基数越大，药物需求量将相应增大，供不应求的可能性越大 [13] 。另外，在数据来源的选择上，在考虑医疗资源水平时，若将省份每年布洛芬的供给量作为参考标准，则使模型仅局限于该药物，缺乏可拓展性，因此选择省份三甲医院的数量作为参考标准 [14] 。
2.2.2. 模型二：确定援助模型
1) 问题分析
确定需要药物援助的省份后，需将供应商与省份一一对应(表2)，由分析可得，此问题可利用运筹学中的运输问题进行求解。
Table 2. Basic information of ibuprofen suppliers
表2. 布洛芬供应商基本信息
2) 变量设定
设
(4)
3) 目标函数设定
在设定价值系数时，主要考虑两个因素，第一供应商的生产地点与省份之间的距离问题，距离越近，资源耗费越少，援助效果越好；第二供应商的产量与省份人口数量之间的关联性，大批量生产的供应商应对应人口较多的省份。综合出各供应商与各省份之间的援助效果，绘制出援助评分表，具体如表4所示。其中每个数字
对应
援助
的援助效果，模型目标为确保援助效果达到最大。即目标函数为
(5)
4) 约束条件确定
确保每个供应商都能援助一个省份，每个省份都有供应商进行药物援助。则该模型约束条件如下：
(6)
2.3. 模型求解
2.3.1. 模型一求解：确定需要分配药物的省份
利用LINGO软件，如表3，解得需要援助的省份，在0-1规划问题中，“1”表示需要援助，“0”表示不需要援助。
2.3.2. 模型二求解：对应供应商和相应省份
利用LINGO软件求解，如表4，标色方格表示省份与供应商的对应，如亨迪药业援助贵州省，新华制药援助援助河南，以此类推。
2.4. 模型稳健性检验
利用运筹学中分配问题的匈牙利算法对模型进行有效性检验。主要思想为：分配问题的最优解的价值矩阵的每一行(列)的各元素减去该行(列)的最小元素，得到得新矩阵的最优解与原问题最优解相同。
因此具体步骤为将原价值矩阵进行缩减，再利用匈牙利法对矩阵进行标号调整，得出最优分配方案，若与软件解出答案相同，则可证模型的准确性。
公式(7)为行列缩减后的矩阵，经过行列标号，调整分配后得到公式(8)，最优分配与软件得出解相同，证明模型具有准确性。
Table 4. Aid model scoring form [15]
表4. 援助模型评分表 [15]
(7)
(8)
2.5. 进一步分析
本文在建立模型一的过程中，选择援助省份时经历了两次筛选，第一次筛选是从34个省级行政区中选出25个，此时主要考虑省份的地理位置，当地医疗资源和GDP情况。地理位置过于偏远，医疗资源和GDP同时排名较高的省份暂不作为援助省份。第二次筛选时，不仅从省份的感染人数、人口基数和医疗资源水平三方面综合考虑，同时保证六个划分区域中至少有2~3个省份被援助，提高药物援助模型的有效性和公平性。
建立模型二时，首先考虑供应商与援助省份之间的距离，得出第一个援助分值，相同省份则将援助效果设为100分，临近省份设为95分，距离越远依次降低分值。其次考虑供应商布洛芬产量与省份人口的关联性，得出第二个援助分值。将供应商以布洛芬产量为标准划分为不同层级，第一层级为产量最高的供应商，如新华制药，其援助所有省份都设为100分，第二层级设为95，以此类推。再将两个分值综合得到表中的援助效果aij。综合多因素考虑，使援助模型具有真实性和实用性。
3. 总结与展望
本文基于运筹学中分配问题和运输问题思想，根据2022年底新冠疫情爆发时的数据分析，构建并求解出0-1规划模型和援助分配模型。两个模型的建立过程中，均结合多因素考虑问题，最终由历史数据和数学理论的角度筛选出需要援助的省份，并确定其对应的供应商，使模型具有一定的有效性、合理性和公平性。在后续的研究中，可加入多因素综合考虑。同时引入智能监测系统，实时更新各省份疫情动态，不断修改数据，利用原有模型，得出适用于多种状况的最新援助方案。
此外，本文模型不仅适用于新型冠状病毒和布洛芬药品，可推广至每一种高发流感等病毒的传播与药品分配问题。即某种流感在全国范围内突发蔓延时，治疗相应症状的药品可能出现货源不足的情况，基于此模型，调整相应数据，解得新的援助方案。同时，可在模型基础上，构建跟踪预测模型，跟踪各省份得到药物援助后的感染人数的变化，由此不断优化完善模型。本文建立的模型具有可拓展性，随着相关数据的精确度和真实性的提高，模型的拟合性将会进一步提升。