拓扑空间上一类函数的极限及连续性

Limit and Continuity of a Class of Functions on Topological Spaces

摘要: 极限和连续是实数集理论最重要的概念，而实数集可以看作特殊的拓扑空间，因此如何定义拓扑空间到实数域上函数的极限及连续是具有重要研究意义的。本文借助于拓扑空间中邻域的概念给出了极限和连续的定义，证明了它们的充要条件并讨论了相关性质。

Abstract: Limit and continuity are the most important concepts in the theory of the real number set, and the real number set can be regarded as a special topological space, so how to define the limit and con-tinuity of the function from the topological space to the real number field is of great research sig-nificance. In this paper, we give the definition of limit and continuity by means of the concept of neighborhood in topological space, prove their sufficient and necessary conditions, and discuss their related properties.

1. 引言

众所周知，拓扑空间是一种数学结构，可以在上面形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。连续映射理论是拓扑学中最重要的研究内容之一。不少学者在拓扑空间中引入了各种各样的极限和连续性的概念，并系统研究了各种连续的性质及其应用(参考文献 [1] - [9] 等)，丰富了拓扑空间理论。本文在此研究基础上对拓扑空间到拓扑空间，实数到实数的连续函数和恒等映射等概念进行推广给出了拓扑空间到实数域上极限和连续函数等概念(参考文献 [10] [11] [12] )，研究了拓扑空间上连续映射的等价条件，并讨论了拓扑空间中连续函数的基本性质。本文进一步丰富和完善了连续映射理论，为深入研究拓扑空间理论提供了新的理论工具。

2. 预备知识

本节给出实数集上极限和连续函数以及拓扑空间中的基本概念，更多结果见参考文献 [10] [11] [12] ：

定义2.1. [10] 设函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域 $U_{\delta \left(x_0\right)}$ 中有定义，如果函数 $f\left(x\right)$ 当 $x\to x_0$ 时有极限存在且等于它在点 $x_0$ 处的函数值 $f\left(x_0\right)$ ，即 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ ，那么我们就称函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 处连续。

定义2.2. [10] (函数极限的 $\epsilon —\delta$ 定义)设函数f在点 $x_0$ 的某个空心邻域 $U^{°}\left(x_0;{\delta }^{\prime }\right)$ 内有定义，A为定数。若对任给的 $\epsilon >0$ ，存在正数 $\delta \left(<{\delta }^{\prime }\right)$ ，使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时有 $\left|f\left(x\right)-A\right|<\epsilon$ 则称函数f

当x趋于 $x_0$ 时以A为极限，记作 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A$ 。

定义2.3. [11] 设X和Y是两个拓扑空间， $f:X\to Y$ ，如果Y中每一个开集U的原像 $f^{-1}\left(U\right)$ 是X中的一个开集，则称f是从X到Y的一个连续映射，简称映射f连续。

定义2.4. [11] 设X是一个拓扑空间，如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间。

定义2.5. [11] 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集。如果Y作为X的子空间是一个紧致子空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集。

3. 主要结果与证明

实数集上极限可用邻域来刻画，即 $f:X\to Y$ 在x趋于 $x_0$ 时以有极限，而拓扑空间天然有邻域的定义，即 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A$ 的充要条件 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ 使得当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时有 $\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon$ 。类似可给出拓扑空间到实数域上函数极限的定义：

定义3.1. 当 $f:X\to R$ ， $x_0\in X$ 时， $\forall \epsilon >0$ ， $\exists U^{°}{}_{x_0}$ ，使得 $\forall x\in U^{°}{}_{x_0}$ ， $\left|f\left(x\right)-A\right|<\epsilon$ ，则称拓扑连函数f在 $x_0$ 的极限为A，记作 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A=f\left(x_0\right)$ 。

图片示例如下：

定理3.1. (极限的唯一性)设 $A,B$ 都是连续函数f在点 $x_0$ 处的极限，则 $A=B$ 。

证明：根据拓扑连续函数极限的定义可知： $\forall \epsilon >0$ ， $\exists U^{°}{}_1\left(x_0\right)$ 。 $\forall x\in U^{°}{}_1\left(x_0\right):\left|f\left(x\right)-A\right|<\frac{\epsilon }{2}$ ， $\forall \epsilon >0$ ， $\exists U^{°}{}_2\left(x_0\right)$ 。 $\forall x\in U^{°}{}_2\left(x_0\right):\left|f\left(x\right)-B\right|<\frac{\epsilon }{2}$ 取 $U^{°}\left(x_0\right)=\min \left\{U^{°}{}_1\left(x_0\right),U^{°}{}_2\left(x_0\right)\right\}$ ，当 $\forall x\in U^{°}\left(x_0\right)$ 时由于 $\epsilon$ 可以任意接近于0可知 $A=B=f\left(x_0\right)$ 。

定理3.2. (局部保号性)若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)>0$ ， $\exists U^{°}{}_{x_0}$ ，使得当 $\forall x\in U^{°}\left(x_0\right)$ 时， $f\left(x\right)>0$ 成立。

证明：取 $\epsilon =\frac{f\left(x_0\right)}{2}$ ，由 $\forall \epsilon >0$ ， $\exists U^{°}{}_{x_0}$ ，使得 $\forall x\in U^{°}{}_{x_0}$ 时，有 $\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon =\frac{f\left(x_0\right)}{2}$ 即 $f\left(x_0\right)-\frac{f\left(x_0\right)}{2}<f\left(x\right)<f\left(x_0\right)+\frac{f\left(x_0\right)}{2}$ ，当 $\forall x\in U^{°}\left(x_0\right)$ 时，有 $f\left(x\right)>\frac{f\left(x_0\right)}{2}>0$ 。

推论3.1. (线性关系)若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ ， $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=g\left(x_0\right)$ ，由此可推出下列式子也成立

$\underset{x\to x_0}{\lim }\left(k_{1}f\left(x\right)+k_{2}g\left(x\right)\right)=k_{1}f\left(x_0\right)+k_{2}g\left(x_0\right)$ 。

证明： $\forall \epsilon >0$ ， $\exists U^{°}{}_{x_0}$ ，使得 $\forall x\in U^{°}{}_{x_0}$ 时，有 $\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\frac{\epsilon }{2\left|k_1\right|}$ ， $\left|g\left(x\right)-g\left(x_0\right)\right|<\frac{\epsilon }{2\left|k_2\right|}$ $\left|\left[k_{1}f\left(x\right)\pm k_{2}g\left(x\right)\right]-\left[k_{1}f\left(x_0\right)\pm k_{2}g\left(x_0\right)\right]\right|\le \left|k_{1}f\left(x\right)-k_{1}f\left(x_0\right)\right|+\left|k_{2}g\left(x\right)-k_{2}g\left(x_0\right)\right|<\frac{\left|k_1\right|\epsilon }{2\left|k_1\right|}+\frac{\left|k_2\right|\epsilon }{2\left|k_2\right|}=\epsilon$。

推论3.2. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A\ne 0$ ，则 $\exists U^{°}{}_{x_0}>0$ ，当 $x\in U^{°}\left(x_0\right)$ 时， $\left|f\left(x\right)\right|>\frac{\left|A\right|}{2}$ 成立。

证明：由 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A$ 及 $\left|\left|f\left(x\right)\right|-\left|A\right|\right|\le \left|f\left(x\right)-A\right|$ 可知 $\underset{x\to x_0}{\lim }\left|f\left(x\right)\right|=\left|A\right|$ 令 $g\left(x\right)=\frac{\left|A\right|}{2}$ ，由 $\frac{\left|A\right|}{2}<\left|A\right|$ 及定理3.2可知 $\exists U^{°}{}_{x_0}>0$ ，当 $x\in U_{x_0}$ 时成立 $\left|f\left(x\right)\right|>\frac{\left|A\right|}{2}$ 。

推论3.3. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A$ ， $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=B$ ，且 $\exists U^{°}{}_{x_0}$ ，使得 $x\in U^{°}\left(x_0\right)$ 时，成立 $f\left(x\right)>g\left(x\right)$ 则 $A>B$ 。

证明：(反证法)若 $B>A$ ，则由定理3.2知，当 $x\in U^{°}{}_{1\left(x_0\right)}$ 时 $\exists U^{°}{}_{1\left(x_0\right)}$ ， $g\left(x\right)>f\left(x\right)$ 取 $U^{°}{}_2\left(x_0\right)=\min \left\{U^{°}\left(x_0\right),U^{°}{}_1\left(x_0\right)\right\}$ ，则当 $x\in U^{°}{}_{2\left(x_0\right)}$ 时，既有 $g\left(x\right)>f\left(x\right)$ 又有 $g\left(x\right)\le f\left(x\right)$ 从而产生矛盾。

推论3.4. (局部有界性)若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A$ ，则 $\exists U^{°}{}_{x_0}$ 使得 $f\left(x\right)$ 在 $U^{°}{}_{x_0}$ 中有界。

证明：取常数M和m，满足 $m<A<M$ ，令 $g\left(x\right)=m$ ， $h\left(x\right)=M$ 为两个常拓扑算子，由定理3.2可知 $\exists U^{°}{}_{x_0}$ ，当 $x\in U^{°}{}_{x_0}$ 时成立 $m<f\left(x\right)<M$ 。

顺便指出，如果 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 处有定义，我们可以取 $G=\max \left\{\left|m\right|,\left|M\right|,\left|f\left(x_0\right)\right|\right\}$ ，则当 $x\in U^{°}{}_{x_0}$ 时成立 $\left|f\left(x\right)\right|\le G$ 。

定理3.3. (迫敛性)若 $\exists U^{°}{}_{x_0}$ ，使得 $x\in U\left(x_0\right)$ 时成立 $g\left(x\right)\le f\left(x\right)\le h\left(x\right)$ ， $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }h\left(x\right)=A$ ，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A$ 。

证明： $\forall \epsilon >0$ ，由 $\underset{x\to x_0}{\lim }h\left(x\right)=A$ ，可知 $\exists U^{°}{}_{1\left(x_0\right)}$ ， $\forall x\in U^{°}\left(x_0\right):\left|h\left(x\right)-A\right|<\epsilon$ ，从而 $h\left(x\right)<A+\epsilon$ 由 $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=A$ 可知 $\exists U^{°}{}_{2\left(x_0\right)}>0$ ， $\forall x\in U^{°}{}_{2\left(x_0\right)}:\left|g\left(x\right)-A\right|<\epsilon$ ，从而 $A-\epsilon <g\left(x\right)$ 取 $U^{°}{}_3\left(x_0\right)=\min \left\{U^{°}{}_1\left(x_0\right),U^{°}{}_2\left(x_0\right),U^{°}\left(x_0\right)\right\}$ ， $\forall x\in U^{°}{}_3\left(x_0\right):A-\epsilon <g\left(x\right)\le f\left(x\right)\le h\left(x\right)<A+\epsilon$ 时 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A$ 。

实数集上连续函数也可用邻域来刻画，即 $f:X\to Y$ 在 $x\in X$ 处连续，而拓扑空间天然有邻域的定义，具体见参考文献 [10] ，因此给出拓扑空间上连续函数的定义：

定义3.2. 设 $\left(X,\tau \right)$ 是个拓扑空间，我们有映射 $f:X\to R$ ， $x\mapsto f\left(x\right)$ ，则称f为拓扑空间 $\left(X,\tau \right)$ 上的一个拓扑连续函数。

定义3.3. 设f为拓扑空间 $\left(X,\tau \right)$ 上的一个拓扑连续函数， $x_0\in X$ 若 $\forall \epsilon >0$ ， $\exists x_0$ 的一个开邻域 $U_{x_0}$ ，使得当 $x\in U_{x_0}$ 时， $\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon$ ，则称f在 $x_0$ 处连续。若 $\forall x\in X$ ，f在处连续，则称f为拓扑的连续函数。

图片示例如下：

例3.1. $X=\left\{a,b,c\right\}$ $\tau =\left\{\varnothing ,\left\{a\right\},\left\{b,c\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$ $f\left(a\right)=1$ ， $f\left(b\right)=2$ ， $f\left(c\right)=3$ 则f在 $x=a$ 处连续，f在 $x=b$ 及 $x=c$ 处不连续。

例3.2. 若X为离散拓扑空间，则X上任意拓扑函数必连续。

证明：(反证法)假设 $\exists x_1,x_2\in X$ ，使得 $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$ ，必 $\exists \epsilon >0$ 使得 $f\left(x_2\right)\notin U\left(f\left(x_1\right),\epsilon \right)$ 又因为f在 $x_1$ 处连续， $\exists x_1$ 使得 $\forall x\in U_{x_1}$ ，必有 $f\left(x\right)\notin U\left(f\left(x_1\right),\epsilon \right)$ ，得到 $f\left(x_2\right)\in U_{x_1}$ 所以 $f\left(x_2\right)\in U\left(f\left(x_1\right),\epsilon \right)$ ，与假设矛盾。

例3.3. 平庸拓扑空间上的拓扑连续函数必为恒等映射。

证明：已知 $\left(X,\tau \right)$ 为平庸拓扑空间，对 $\forall x\in X$ ， $f\left(x\right)\in X$ ， $\exists$ 映射 $f:X\to X$ ，定义 $f\left(x\right)=x$ ，则必为恒等映射。

推论3.5. 设 $f:X\to R$ 是一个映射，则以下两个条件等价：

(1) $f:X\to R$ 是拓扑连续函数；

(2) f为 $\left(X,\tau \right)$ 到 $\left(R,{\tau }_0\right)$ 上的拓扑连续映射。

证明：(1) $\Rightarrow$ (2)设 $V\in {\tau }_0$ ，令 $f^{-1}\left(V\right)=U$ ， $\forall x\in U$ ，即要证 $U\in \tau$ ， $\forall x\in U$ 有 $f\left(x_0\right)\in V$ $\exists a,b\in R$ 使得 $f\left(x_0\right)\in \left(a,b\right)\subseteq V$ 又因为f在 $x_0$ 处连续所以 $\exists U_{x_0}\in \tau$ 使得 $f\left(U_{x_0}\right)\in \left(a,b\right)\subseteq V$ 有 $U_{x_0}\subseteq U$ 所以 $U\in \tau$ 。

(2) $\Rightarrow$ (1) $\forall x_0\in X$ ， $\left(f\left(x\right)-\epsilon ,f\left(x\right)+\epsilon \right)\in {\tau }_0$ ，令 $\left(f\left(x\right)-\epsilon ,f\left(x\right)+\epsilon \right)=U$ 因为f为 $X\to R$ 上的拓扑连续映射，所以我们有 $f^{-1}\left(U\right)=V\in \tau$ ， $f\left(V\right)=U$ ， $x_0\in V$ 即 $f\left(V\right)\subseteq U=\left(f\left(x\right)-\epsilon ,f\left(x\right)+\epsilon \right)$ 因此f在 $x_0$ 处连续，又因为x的任意性，所以f在x处连续。

推论3.6. 设 $f:X\to R$ 是一个映射，若 $X\subseteq R$ ， ${\tau }_0$ 继承拓扑，则以下条件两两等价：

(1) $f:X\to R$ 是拓扑连续函数；

(2) $f:X\to R$ 拓扑连续；

(3) $f:X\to R$ 是连续函数。

证明：由推论3.5可知，(1) $\iff$ (2)显然成立.下面我们只证明(1) $\iff$ (3)便可全部证出(1) $\Rightarrow$ (3) $\exists U_{x_0}$ ，使得，当 $f\left(U_{x_0}\right)\subseteq \left(f\left(x\right)-\epsilon ,f\left(x\right)+\epsilon \right)$ 时有 $x_0\in \left(a,b\right)\subseteq U_{x_0}$ ， $\delta =\min \left\{x_0-a,b-x_0\right\}$ 所以 $x_0\in U\left(x_0,\delta \right)\subseteq \left(a,b\right)\subseteq U_{x_0}$ ， $f\left(U\left(x_0,\delta \right)\right)\subseteq f\left(U_{x_0}\right)\subseteq \left(f\left(x\right)-\epsilon ,f\left(x\right)+\epsilon \right)$ 我们得 $f:X\to R$ 是连续函数。

(3) $\Rightarrow$ (1) $\forall \epsilon >0$ ， $\exists \delta >0$ ，当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时有 $\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon$ 当 $x\in U\left(x_0,\delta \right)$ 时有 $f\left(x\right)\in \left(f\left(x\right)-\epsilon ,f\left(x\right)+\epsilon \right)$ 因为 $U\left(x_0,\delta \right)$ 为包含 $x_0$ 的一个邻域，所以 $\exists$ 开集 $U_{x_0}$ 使得 $x_0\in U_{x_0}\subseteq U\left(x_0,\delta \right)$ ， $f\left(U_{x_0}\right)\subseteq f\left(U\left(x_0,\delta \right)\right)\subseteq \left(f\left(x\right)-\epsilon ,f\left(x\right)+\epsilon \right)$ 因此对 $\forall x_0\in x$ ， $\exists x_0$ 的开邻域 $U_{x_0}$ 使得当 $x\in U_{x_0}$ 时有 $\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon$ 因此得到 $f:X\to R$ 是拓扑连续函数。

定理3.3. 若 $f:X\to R$ 为拓扑连续函数， $\forall D\subseteq X$ ，若D为X中的一个紧集，则 $f\left(D\right)$ 为R中的一个紧集。

证明：D为X中的一个紧集，又因为 $f:X\to R$ 为拓扑连续函数由推论3.6知 $f:X\to R$ 为拓扑连续映射因此得出 $f\left(D\right)$ 为R的一个紧集。

定理3.4. (有界定理)设 $f:X\to R$ 为拓扑连续函数， $\forall D\subseteq X$ ，若D为X中的一个紧集，则 $f\left(D\right)$ 有界。

证明：D为X中的一个紧集， $f:X\to R$ 为拓扑连续函数，由定理3.3.知 $f\left(D\right)$ 为R的一个紧集，所以 $f\left(D\right)$ 为R上的闭区间，因此 $f\left(D\right)$ 有界。

定理3.5. (最值定理)设 $f:X\to R$ 为拓扑连续函数， $\forall D\subseteq X$ ，若D为拓扑空间X上的一个紧致子集，则 $f\left(D\right)$ 在R上必能取到最大值和最小值。

证明：由定理3.4知 $R_f=\left\{f\left(x\right)|x\in D\right\}$ 是有界的，所以必有上确界 $M=\sup R_f$ 和下确界 $m=\inf R_f$ 现在证明 $\exists y\in D$ ，使得 $f\left(y\right)=M$ 。设，对于 $\forall x\in D$ 有 $f\left(x\right)<M$ ，令 $g\left(x\right)=\frac{1}{M-f\left(x\right)}$ ， $\forall x\in D$ ，因为 $R_f$ 有界，所以对 $\forall x\in D$ ， $\exists g_1,g_2$ 使得 $g_1<\frac{1}{M-f\left(x\right)}<g_2$ ， $M-\frac{1}{g_1}<f\left(x\right)<M-\frac{1}{g_2}$ 得到 $\left(M-\frac{1}{g_1},M-\frac{1}{g_2}\right)$ 为 $f\left(x\right)$ 的一个邻域，又因为f为拓扑连续函数，所以一定 $\exists x$ 的一个邻域 $U_x$ 使得 $f\left(U_x\right)\subseteq \left(M-\frac{1}{g_1},M-\frac{1}{g_2}\right)$ ， $g\left(U_x\right)\subseteq \left(g_1,g_2\right)$ ，由于g在点x处连续得到g在D上连续，所以对 $\forall x\in D$ ， $g\left(x\right)$ 在R上有界 $R_g=\left\{g\left(x\right)|x\in D\right\}$ 。令 $G=\sup R_g$ ， $0<\frac{1}{M-f\left(x\right)}<G$ 对 $\forall x\in D$ 成立， $f\left(x\right)<M-\frac{1}{G}$ 与M为 $f\left(x\right)$ 的上确界矛盾，因此 $\exists y\in D$ ，使得 $f\left(y\right)=M$ 。

基金项目

湖南省自然科学基金青年项目：Domain理论中一类新近似算子的研究(项目编号：2019JJ50505)。