随机环境中两性分枝过程的偏差不等式

Deviation Inequalitie for a Supercritical Bisexual Branching Process in a Random En-vironment

摘要: 考虑到自然界中种群繁衍法则，引入雌雄配对机制，从而将随机环境中分枝过程推广到随机环境中两性分枝过程。令为独立同分布环境中的一个上临界两性分枝过程，本文给出在Bernstein条件下的一个偏差不等式。

Abstract: We consider the law of population reproduction in nature and introduce the male-female pairing mechanism, so as to generalize the branching process in a random environment (BPRE) to the bi-sexual branching process in a random environment (BBPRE). Set is a supercritical bi-sexual branching process in a independent and identically distributed (i.i.d.) random environment , and we will give a deviation inequalitie for under Bernstein condition.

1. 引言

分枝过程是一种常用的随机过程，用于描述个体的繁殖和扩散过程，而雌雄配对是自然界中生物繁殖的基本机制之一。因此，将这两个概念结合起来，引入两性分枝过程来研究生物群体的繁殖过程是非常自然的。对于两性分枝过程的研究是从1968年Daley [1] 首次引入其概念开始的，相对于传统的分枝过程，两性分枝过程更加符合生物繁殖的真实情况。1986年Daley [2] 讨论了几类特殊的配对函数解决了两性分枝过程的分类问题，并对两类特殊的配对函数 $L\left(x,y\right)=x\min \left(1,y\right)$ 和 $L\left(x,y\right)=\min \left(x,y\right)$ 给出必然灭绝的条件。在此之后，越来越多的学者开始关注到两性分枝过程这一领域。1997年Molina [3] [4] 研究了两性分枝过程的规范化后的极限性质，包括雌性和雄性规范化序列的极限问题。1998年Molina等人 [5] [6] [7] 研究了两性分枝过程的收敛问题。在2006年Ma [8] 首次提出了随环境中两性分枝过程这一概念，并讨论了其几乎必然灭绝的充要条件；2008年Ma [9] 将随机环境弱化，在平稳遍历环境中讨论了其必然灭绝问题。在解决了随机环境中两性分枝过程的必然灭绝问题后，学者们开始研究随机环境中两性分枝过程的一些其他性质。2010年李应求等 [10] 在此基础上给出了随机环境中两性分枝过程和马氏链的关系；2020年李应求、肖胜等 [11] 给出了规范化后的种群数量 $L^{\alpha }-\left(\alpha >1\right)$ 收敛的充要条件。

偏差不等式在许多数学和统计学领域中都有应用。在随机环境中的两性分枝过程中，我们可以使用偏差不等式来描述繁殖过程中可能存在的误差。在本文中，我们考虑了Bernstein条件下的偏差不等式。这个条件指的是一个随机变量的范围被有限地限制住，并且它的期望值和方差可以估计出来。在这种情况下，我们可以使用Bernstein条件下的偏差不等式来估计随机变量与其期望值之间的偏差程度。

2. 模型描述

令 $\xi =\left({\xi }_0,{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots \right)$ 为独立同分布的环境序列。假设每个定义在 $\mathbb{N}=\left\{0,1,2,\cdots \right\}$ 上的 ${\xi }_n$ 对应一个概率分布 $p\left({\xi }_n\right)=\left\{p_i\left({\xi }_n\right):i\in \mathbb{N}\right\}$ ，其中

$p_i\left({\xi }_n\right)\ge 0,{\displaystyle \underset{i}{\sum }{p}_i}\left({\xi }_n\right)=1$ 及 ${\displaystyle \underset{i}{\sum }i}{p}_i\left({\xi }_n\right)\in \left(0,\infty \right).$

随机环境中两性分枝过程( $Z_n$ )可以通过下列关系来定义：

$Z_0=1,\left(F_{n+1},M_{n+1}\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{Z_n}{\sum }}\left(f_{ni},m_{ni}\right)},Z_{n+1}=L\left(F_{n+1},M_{n+1}\right),n\in \mathbb{N},$ (1)

给定环境 $\xi$ ， $\left(f_{ni},m_{ni}\right)\left(n\ge 0,i\ge 1\right)$ 是独立同分布的随机向量； $p\left({\xi }_n\right)$ 是每一个 $f_{ni}+m_{ni}$ 的分布。定义中的 $\left(f_{ni},m_{ni}\right)$ 表示第n代的第i个配对单元产生的雌性和雄性后代个体数； $\left(F_n,M_n\right)$ 表示第n代所有的雌性和雄性个体数。

记 $r_k$ 为配对单元的均值增长率，有：

$r_k\left({\xi }_n\right)=k^{-1}{E}_{\xi }\left(Z_{n+1}|Z_n=k\right),k\ge 1,n\ge 0,$ (2)

$r_1\left({\xi }_n\right)=\underset{k>0}{\inf }{r}_k\left({\xi }_n\right),r\left({\xi }_n\right):=\underset{k\to \infty }{\lim }{r}_k\left({\xi }_n\right)=\underset{k>0}{\sup }{r}_k\left({\xi }_n\right),n\ge 0.$ (3)

令 ${\mathcal{F}}_0=\mathcal{F}\left(\xi \right)=\sigma \left(\xi \right)$ ， ${\mathcal{F}}_n={\mathcal{F}}_n\left(\xi \right)=\sigma \left(\xi ;f_{ki},m_{ki},0\le k\le n-1,i=1,2,\cdots \right),n\ge 1$ ，因此 $Z_n$ 是 ${\mathcal{F}}_n$ 可测的。对 $n\ge 0$ ，设

$I_n={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\prod }}{r}_1}\left({\xi }_i\right),S_n={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\prod }}r}\left({\xi }_i\right),{\bar{W}}_n=\frac{Z_n}{I_n},{\hat{W}}_n=\frac{Z_n}{S_n},$

约定 ${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{-1}{\prod }}=1}$ 。标准化种群数量( ${\bar{W}}_n$ )是一个非负下鞅，如果有

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\prod }}E\left[r_1^{-1}\left({\xi }_k\right)r\left({\xi }_k\right)\right]}<\infty ,$ (4)

那么我们就有 $\underset{n\ge 0}{\sup }E{\bar{W}}_n<\infty$ ( [12] 定理4.2)。因此我们总是假设(4)式成立。

在本文中我们考虑 $\mu :=E\log r_1\left({\xi }_0\right)>0$ ，这代表分枝过程( $Z_n$ )会以一个正的概率存活下来。

3. 基本结果及证明

为方便起见，我们记

$Z_{n_0,n}:=\frac{\log \left(\frac{Z_{n_0+n}}{Z_{n_0}}\right)-n\mu }{\sigma \sqrt{n}},n_0,n\in \mathbb{N}.$

本节主要讨论 $Z_{n_0,n}$ 在Bernstein条件下的偏差不等式。

由 ${\bar{W}}_n=\frac{Z_n}{I_n}$ 可得到分解式

$\log Z_n={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}+\log {\bar{W}}_n,$

其中 $X_i=\log r_1\left({\xi }_{i-1}\right)\left(i\ge 1\right)$ 。 $X_i$ 为独立同分布的随机变量序列且只依赖于环境。反过来， $\log Z_n$ 的渐进性为会受到随机游动 $Q_n={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}=\log I_n,n\in \mathbb{N}$ 的影响。因此，我们记

${\eta }_{n,i}=\frac{X_i-\mu }{\sigma \sqrt{n}},i=1,\cdots ,n_0+n$ ， ${\bar{W}}_{n_0,n}=\frac{{\bar{W}}_{n_0+n}}{{\bar{W}}_{n_0}}$ 和 ${\hat{W}}_{n_0,n}=\frac{{\hat{W}}_{n_0+n}}{{\hat{W}}_{n_0}}.$

可以得到 $E{\eta }_{n,i}=0$ ， $Var\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E{\eta }_{n,n_0+i}^2}=1$ 。基于以上定义，我们有

$Z_{n_0,n}=\frac{{\displaystyle \underset{i=n_0+1}{\overset{n_0+n}{\sum }}{X}_i}+\log {\bar{W}}_{n_0,n}-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}+\frac{\log {\bar{W}}_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}.$ (5)

为得到定理1，我们给出下面两个引理。

引理1：( [13] 定理1.1)令 $X_i$ 为一列随机变量序列， $S_n={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}$ ， $E{X}_j=0$ ， $E{X}_j^2<\infty$ ， ${\sigma }_n^2={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}E{X}_j^2}$ ，进一步假设 $E{X}_j^k\le \frac{k!}{2}E{X}_j^2{H}^{k-2}$ ， $k>2$ ， $H>0$ ， $0<c<\infty$ 。则对所有的 $x>0$ 有

$P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i\ge x}\right)\le \exp \left\{-\frac{x^2}{2\left({\sigma }_n^2+Hx\right)}\right\}.$

引理2：如果(4)式成立，则 $\underset{n\ge 0}{\sup }E{\bar{W}}_{n_0,n}<\infty$ .

证明：由(2)和(3)可知

$\begin{array}{c}{E}_{\xi }\left({\hat{W}}_{n_0,n+1}|{\mathcal{F}}_{n_0+n}\right)=E_{\xi }\left(\frac{Z_{n_0+n+1}}{S_{n_0+n+1}{\hat{W}}_{n_0}}|{\mathcal{F}}_{n_0+n}\right)=\frac{1}{S_{n_0+n+1}{\hat{W}}_{n_0}}{r}_{Z_{n_0+n}}\left({\xi }_{n_0+n}\right)Z_{n_0+n}\\ \le \frac{1}{S_{n_0+n+1}{\hat{W}}_{n_0}}r\left({\xi }_{n_0+n}\right)Z_{n_0+n}=\frac{Z_{n_0+n}}{S_{n_0+n}{\hat{W}}_{n_0}}={\hat{W}}_{n_0,n}.\end{array}$ (6)

对(6)式两边取条件期望有 $E_{\xi }\left({\hat{W}}_{n_0,n}\right)\le E_{\xi }\left({\hat{W}}_{n_0,0}\right)=1$ 几乎必然成立，则 $E\left({\hat{W}}_{n_0,n}\right)\le 1$ ，通过计算可得

$E_{\xi }\left({\bar{W}}_{n_0,n}\right)=E_{\xi }\left(\frac{Z_{n_0+n}}{S_{n_0+n}}\frac{S_{n_0+n}}{I_{n_0+n}}\frac{S_{n_0}}{Z_{n_0}}\frac{I_{n_0}}{S_{n_0}}\right)\le E_{\xi }\left(\frac{{\hat{W}}_{n_0+n}}{{\hat{W}}_{n_0}}\frac{S_{n_0+n}}{I_{n_0+n}}\right)=\frac{S_{n_0+n}}{I_{n_0+n}}{E}_{\xi }\left({\hat{W}}_{n_0,n}\right)\le \frac{S_{n_0+n}}{I_{n_0+n}}.$ (7)

因为 $\xi$ 是独立的，对(7)式两边取期望，我们有

$E\left({\bar{W}}_{n_0,n}\right)\le E\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n_0+n-1}{\prod }}\frac{r\left({\xi }_i\right)}{r_1\left({\xi }_i\right)}}\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n_0+n-1}{\prod }}E\frac{r\left({\xi }_i\right)}{r_1\left({\xi }_i\right)}}\le {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\infty }{\prod }}E\frac{r\left({\xi }_i\right)}{r_1\left({\xi }_i\right)}.}$

在假设(4)的条件下我们就有 $\underset{n\ge 0}{\sup }E{\bar{W}}_{n_0,n}<\infty$ 成立。

定理1：假设存在一个常数 $H>0$ ，使得对所有的 $k\ge 2$ 有

$E{\left(X-\mu \right)}^k\le \frac{1}{2}k!H^{k-2}E{\left(X-\mu \right)}^2,$

则对任意 $x>0$ 有

$P\left(Z_{n_0,n}\ge x\right)\le C\exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+6\left(1+H\right)\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\right\}.$

证明：我们先对 $0\le x<\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ 进行讨论。由(5)知，对所有的 $x\ge 0$ 有

$P\left(Z_{n_0,n}\ge x\right)=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}+\frac{\log {\bar{W}}_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}\ge x\right)\le I_1+I_2,$ (8)

其中

$I_1=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}\ge x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right),I_2=P\left(\frac{\log {\bar{W}}_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}\ge \frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right).$

因为 $E{\left({\displaystyle \underset{i=n_0+1}{\overset{n_0+n}{\sum }}{X}_i}-n\mu \right)}^k\le \frac{1}{2}k!H^{k-2}E{\left({\displaystyle \underset{i=n_0+1}{\overset{n_0+n}{\sum }}{X}_i}-n\mu \right)}^2$ ，即

$E{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}\right)}^k\le \frac{1}{2}k!{\left(\frac{H}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^{k-2}E{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}\right)}^2,$

由引理1及 $Var\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}\right)=1$ 有

$I_1=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}\ge \left(x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\right)\le \exp \left\{-\frac{x^2{\left(1-\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^2}{2\left(1+\frac{H}{\sigma \sqrt{n}}x\left(1-\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right)}\right\}\le \exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+6\left(1+H\right)\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\right\}.$ (9)

由马尔可夫不等式及引理2，对 $0\le x<\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ ，我们有

$I_2=P\left({\bar{W}}_{n_0,n}\ge \exp \left\{x^2\right\}\right)\le \exp \left\{-x^2\right\}E{\bar{W}}_{n_0,n}\le C\exp \left\{-x^2\right\}\le C\exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+6\left(1+H\right)\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\right\}.$ (10)

将(8)、(9)、(10)合起来我们可以得到对 $0\le x<\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ ，有

$P\left(Z_{n_0,n}\ge x\right)\le C\exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+6\left(1+H\right)\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\right\}.$

当 $x\ge \frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ 时，有

$P\left(Z_{n_0,n}\ge x\right)\le I_3+I_4,$

其中

$I_3=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}\ge \frac{x}{2}\right),I_4=P\left(\frac{\log {\bar{W}}_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}\ge \frac{x}{2}\right).$

再由引理1，对所有 $x\ge \frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ 我们有

$I_3\le \exp \left\{-\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}{2\left(1+\frac{H}{\sigma \sqrt{n}}\frac{x}{2}\right)}\right\}\le \exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+6\left(1+H\right)\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\right\}.$

由马尔可夫不等式及引理2，对 $x\ge \frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ ，我们有

$\begin{array}{c}{I}_4=P\left(W_{n_0,n}\ge \exp \left\{\frac{x\sigma \sqrt{n}}{2}\right\}\right)\le \exp \left\{-\frac{x\sigma \sqrt{n}}{2}\right\}E{W}_{n_0,n}\\ \le C\exp \left\{-\frac{x\sigma \sqrt{n}}{2}\right\}\le C\exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+6\left(1+H\right)\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\right\}.\end{array}$

因此对于 $x\ge \frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ ，有

$P\left(Z_{n_0,n}\ge x\right)\le C\exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+6\left(1+H\right)\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\right\}.$

这就完成了定理1的证明。

基金项目

国家自然科学基金面上项目“随机矩阵乘积与随机环境中多型分枝过程”(12271062)。

NOTES

^*通讯作者。