随机环境中加权分枝过程的概率不等式

Probability Inequalities for Weighted Branching Processes in Random Environments

摘要: 令$\left\{Y_n,n\ge 0\right\}$ 表示独立同分布随机环境$\xi ={\left({\xi }_n\right)}_{n\ge 0}$ 中的加权分枝过程，本文针对统计量$log\left(\frac{\text{}{Y}_{n_0+n}}{Y_{n_0}}\right)$ ，借助Markov不等式建立了一个相关概率不等式，这一结果可以用于探索种群动态和概率特性，有助于深入理解随机环境中加权分枝模型的本质。

Abstract: Let $\left\{Y_n,n\ge 0\right\}$ denote the weighted branching process in independently and identically distributed random environments $\xi ={\left({\xi }_n\right)}_{n\ge 0}$ . In this paper, focusing on a statistic $log\left(\frac{\text{}{Y}_{n_0+n}}{Y_{n_0}}\right)$ , we establish a related probability inequality using Markov’s inequality. This result can be used to investigate population dynamics and probabilistic characteristics, contributing to a deeper understanding of the essence of weighted branching models in random environments.

1. 引言

概率不等式是概率论中常用的一类不等式，它们可以帮助我们对随机变量的概率分布进行估计和推断。如Chebyshev不等式给出了一个测量随机变量偏离其期望值的可能性的上界。它对于证明大数定律和中心极限定理是很有用的。1963年，Hoeffding [1]提出了有界随机变量之和的概率不等式；2006年，Nagaev [2]深入研究了临界的经典分枝过程(G-W过程)的概率不等式。概率不等式在概率论和统计学中扮演着重要角色，能帮助我们理解随机现象的分布特性和预测系统动态行为，从而进行推断和决策。

加权分枝过程(Weighted Branching Process, WBP)是一种随机过程模型，它是经典分枝过程的一种扩展。分枝过程描述了一个种群中个体的繁殖过程，每个个体可以产生随机数量的后代，这些后代数量服从特定的概率分布。在加权分枝过程中，每个个体的生殖率(或称为分枝率)不再是固定的，而是依赖于该个体的权重或状态，这些权重通常是随机变量。1992年，Rösler [3]首次对加权分枝过程模型进行介绍，2004年，Kuhlbusch [4]给出了平稳遍历的随机环境中加权分枝过程的定义，研究了非负鞅的极限非退化的充分和必要条件，加权分枝过程模型也叫作Mandelbrot鞅。2013年，Liang和Liu [5]展示了独立同分布随机环境下广义的Mandelbrot鞅极限变量矩和加权矩存在的充分和必要条件，2017年，Hao [6]在独立同分布随机环境的Mandelbrot鞅的模型中，得到了非负随机变量的大数定律和中心极限定理。2023年，邓[7]、鲁[8]分别研究了随机环境加权分枝过程的Fuk-Nagaev型不等式和偏差不等式。本文讨论了关于随机环境中加权分枝过程的概率不等式研究。这种模型在当前文献中关注度还不太高，因此本文想通过借鉴前人的成果，提出了一个新的概率不等式。

2. 模型的引入

假设随机环境$\xi =\left({\xi }_0,{\xi }_1,\cdots \right)$ 是独立同分布的，加权分枝过程$\left\{Y_n\right\}$ 定义如下：

$Y_n={\displaystyle \sum _{u\in {\mathbb{T}}_n}{X}_u},X_u=A_{u_1}\cdots A_{u_1\dots u_n},u=u_1\cdots u_n\in {\mathbb{N}}^n;$ (1)

令$Y_0=X_{\varnothing }=1$ 。$Y_n$ 表示第n代所有粒子所带的权重，$X_u$ 表示第n代中u粒子所带的权重，

$A_{ui}$ 表示第n代中u粒子的第i个后代所获得的权重，用$\left|u\right|=n$ 表示第n代粒子的长度，约定$\left|\varphi \right|=0$ .令${\mathbb{T}}_n=\left\{u\in \mathbb{T}:\left|u\right|=n\right\}$ 表示第n代粒子的权重树。

为了方便讨论，我们记：

$m_0=m_0\left(\xi \right)=E{\displaystyle \sum _{i=1}^N{A}_i},$

$m_n=m_n\left(\xi \right)=E_{\xi }{\displaystyle \sum _{i=1}^{N_u}{A}_{ui}^p},i=1,2,\cdots ,N_u,$

对$p\ge 0$ ，$n\ge 1$ ，我们定义：${\Pi }_0=1$ ，${\Pi }_n={\displaystyle \prod _{i=0}^{n-1}{m}_i}$ ，$E_{\xi }{Y}_n={\Pi }_n$ 。其规范化过程

$W_n=\frac{Y_n}{E_{\xi }{Y}_n}=\frac{Y_n}{{\Pi }_n},n\ge 0$

是关于

${ℱ}_0=\sigma \left\{\xi \right\},{ℱ}_n=\sigma \left\{\xi ;\left(N_u,A_{u1},A_{u2},\cdots \right):\left|u\right|<n\right\},n\ge 1,$

的非负鞅，存在非负随机变量$W={\lim }_{n\to \infty }{W}_{n}a.s.$ ，且有$EW\le 1$ 。

3. 基本结果及证明

令

$X=X_1=\log m_0,\mu =EX,{\sigma }^2=E{\left(X-\mu \right)}^2,$

在本文中，我们假定$\mu >0,0<{\sigma }^2<\infty$ 。记

$Y_{n_0,n}:=\frac{\log \left(\frac{\text{}{Y}_{n_0+n}}{Y_{n_0}}\right)-n\mu }{\sigma \sqrt{n}},n_0,n\in \mathbb{N}.$

由$W_n=\frac{Y_n}{{\Pi }_n}$ 可得到下面这个分解式

$\log Y_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}+\log W_n,$

其中$X_i=\log m_{i-1}\left(i\ge 1\right)$ ，$X_i$ 为只依赖于环境的独立同分布随机变量序列。$\log Y_n$ 的渐进性为会受到相关随机游动$S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}=\log {\Pi }_n,n\in \mathbb{N}$ 的影响。

${\eta }_{n,i}=\frac{X_i-\mu }{\sigma \sqrt{n}},i=1,\cdots ,n_0+n,W_{n_0,n}=\frac{W_{n_0+n}}{W_{n_0}},$

可以知道$E{\eta }_{n,i}=E\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right)=0$ ，$Var\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\eta }_{n,n_0+i}}\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E{\eta }_{n,n_0+i}^2}=1$ 。

基于以上定义，我们有

$Y_{n_0,n}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=n_0+1}^{n_0+n}{X}_i}+\log W_{n_0,n}-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}={\displaystyle \sum _{i=n_0+1}^{n_0+n}\frac{X_i-\mu }{\sigma \sqrt{n}}}+\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\eta }_{n,n_0+i}}+\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}.$ (2)

定理1：假设存在$\alpha \in \left(0,1\right)$ ，使得$E\left[{\left(X-\mu \right)}^2\exp \left\{{\left({\left(X-\mu \right)}^{+}\right)}^{\alpha }\right\}\right]<\infty$ ，则$\forall x>0$ ，

$P\left(Y_{n_0,n}\ge x\right)\le 3\exp \left\{-\frac{x^2}{8{\left(u+(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha })}\right\},$

其中$u=\frac{1}{{\sigma }^2}E\left[{\left(X-\mu \right)}^2\exp \left\{{\left({\left(X-\mu \right)}^{+}\right)}^{\alpha }\right\}\right]$ 。

证明：对$x\ge 0$ 有，根据式(2)有

$P\left(Y_{n_0,n}\ge x\right)=P\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\eta }_{n,n_0+i}}+\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}\ge x\right)\le I_1+I_2,$ (3)

其中

$I_1=P\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\eta }_{n,n_0+i}}\ge x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right),I_2=P\left(\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}\ge \frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right).$

因此当$0<x\le \frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ ，

$\begin{array}{c}{I}_1=P\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(X_{n_0+i}-\mu \right)}\ge \sigma \sqrt{n}\left(x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right)\\ \le 2\exp \left\{-\frac{{\left(\sigma \sqrt{n}\left(x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right)}^2}{2\left(u_n+{\left(\sigma \sqrt{n}\left(x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right)}^{2-\alpha }\right)}\right\}\\ =2\exp \left\{-\frac{x^2{\left(1-\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^2}{2\left(\frac{u_n}{{\sigma }^{2}n}+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }{\left(1-\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^{2-\alpha }\right)}\right\}\\ \le 2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\},\end{array}$ (4)

其中$u_n=nE\left[{\left(X-\mu \right)}^2\exp \left\{{\left({\left(X-\mu \right)}^{+}\right)}^{\alpha }\right\}\right]$ 。由Markov不等式及$E{W}_n=1$ ，对$0\le x<\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ ，我们有

$I_2\le \exp \left\{-x^2\right\}.$ (5)

由式(3)~(5)，对$0\le x<\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ ，有

$\begin{array}{c}P\left(Y_{n_0,n}\ge x\right)\le 2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\}+\exp \left\{-x^2\right\}\\ \le 3\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\},\end{array}$

类似地，当$x>\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ ，有

$P\left(Y_{n_0,n}\ge x\right)\le I_3+I_4,$ (6)

其中

$I_3=P\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\eta }_{n,n_0+i}}\ge \frac{x}{2}\right),I_4=P\left(\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}\ge \frac{x}{2}\right).$

所以

$\begin{array}{c}{I}_3=P\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(X_{n_0+i}-\mu \right)}\ge \sigma \sqrt{n}\frac{x}{2}\right)\\ =2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(\frac{u_n}{{\sigma }^{2}n}+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2-\alpha }\right)}\right\}\\ \le 2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\}\end{array}$ (7)

以及

$I_4\le \exp \left\{-\frac{x\sigma \sqrt{n}}{2}\right\}.$ (8)

因此，综合式(6)~(8)，对$x>\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$ ，有

$\begin{array}{c}P\left(Z_{n_0,n}\ge x\right)\le 2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\}+\exp \left\{-\frac{x\sigma \sqrt{n}}{2}\right\}\\ \le 3\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\}.\end{array}$

证毕。

基金项目

国家自然科学基金面上项目“随机矩阵乘积与随机环境中多型分枝过程”(12271062)。

NOTES

^*通讯作者。