基于深度学习的初中数学几何题解题策略研究

Research on the Strategy of Solving Mathematical Geometry Problems in Junior Middle School Based on the Deep Learning

摘要: 文章阐述了对深度学习理论的理解以及该理论在教育研究领域的应用成果，同时，本文也列举了以往学者对初中数学几何题解题策略的研究成果，不难发现，基于深度学习的几何题解题策略研究尚不多见，因此，本文主要针对基于深度学习的初中数学几何题解题进行了研究，并提出了相应的策略。

Abstract: This paper expounds the understanding of the deep learning theory and its application in the field of education research. At the same time, this paper also enumerates the research achievements of the former scholars on the strategy of solving mathematical geometry problems in junior middle school. It is not difficult to find that the research on the strategy of solving geometry problems based on deep learning is rare. Therefore, this paper mainly studies the strategy of solving geometry problems based on deep learning in junior middle school mathematics and puts forward the corresponding strategy.

1. 引言

解题策略研究不是总结生搬硬套的解题套路，而是将利于学生素养提升的学习理论融入到解题当中，从而促进学生思维能力发展的研究。本文将深度学习理论与初中数学几何题解答相结合，并提出了三个解题策略。

2. 深度学习理论

“数学深度学习”是指学习者在学习方式上具有主动性、钻研性，思维品质上具有深刻性、宽阔性、延续性，知识建构上具有反思性、批判性并且学习全程体现沉浸性和监控性的数学学习方式[1]。

深度学习的关键词包括“知识结构”“学习动机”和“解决复杂问题”等，所以深度学习是理解性学习，强调的是解释、思辨、推理、应用等更复杂的学习结果，这样的过程离不开有意义的知觉模式、大量的知识经验存储、很强的计划和监控能力；深度学习强调高层次的认知目标，强调高级思维能力的培养，强调学习过程中的反思与元认知[2]。

关于深度学习理论在教育研究领域的研究，常见以下几种：一是基于相关文献的梳理，结合学科课程要求及自身经验，总结提取出促进课程深度学习的可行性路径与有效的教学策略；二是从深度学习理论出发，转化与归结出引领学生深度理解的内生性学习路径和教学策略；三是从深度学习理论内涵、本质特征、信息资源及应用条件和学习评价进行深度剖析，从学习者情感投入和认知特点出发，简明论述深度学习路径与教学策略[3]。

3. 深度学习与几何题解题策略

在初中数学中，几何问题是一个非常重要的板块，具有较高的难度；有学者根据几何教学现状，对初中数学几何证明题解题思维培养策略进行了研究[4]；有学者从“几何、代数、三角”三个不同维度探寻几何计算思路进行了研究，让学生感受几何计算的多种解法，把学生引入一个几何计算领域，提高学生解题能力和核心素养[5]；还有学者从转化文字语言、建立发散型几何知识体系、培养一题多解与一题多变能力、归纳解题策略这四个方面对几何题解题策略进行了研究[6]。但基于深度学习的几何题解题策略尚不多见，如何利用深度学习的相关理论，通过教学的有效渗透，提高初中生的几何题解题能力，是一个亟待解决的重要问题。因此，本文主要针对基于深度学习的初中数学几何题解题策略进行了研究。

4. 基于深度学习的初中数学几何题解题策略

深度学习强调理解与思维，初中数学的几何题解答也是训练学生思维能力的一种途径，以下的解题策略是基于深度学习理论提出的。

4.1. 建立知识框架

在解答几何题时，往往需要根据题干所给的已知条件推导出一些潜在的结论，或者运用逆向思维，思考所要解答的问题是否还能转化成其它的形式，这个过程需要学生对学过的知识进行融会贯通，解题思路才能畅通无阻，而通过建立知识框架，学生就能够有意识地建立联系、建构意义，不仅使得知识结构更加清晰，思维过程得到外化的同时思维也得到了强化，对知识的理解应用也能更到位。思维导图是一种常见的形式。比如：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的概念关系图。

Figure 1. Relation concept diagram of quadrangle diagonal line

图1. 四边形对角线的关系概念图

Figure 2. Relation concept diagram of quadrilateral angle

图2. 四边形角的关系概念图

例1：关于平行四边形ABCD是叙述，正确的是(C)。

A. 若AB ⊥ BC，则平行四边形ABCD是菱形

B. 若AC ⊥ BD，则平行四边形ABCD是正方形

C. 若AC = BD，则平行四边形ABCD是矩形

D. 若AB = AD，则平行四边形ABCD是正方形

分析：由图1可知，AB、BC不是对角线，所以结论不成立，A错误；对角线AC、BD互相垂直，但对角线是否相等未知，由图1可知，结论不一定成立，B错误；由图2可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，D错误。由此可见，知识结构的清晰是解决问题的基础，它可以帮助学生快速分析和判断。

4.2. 积累辅助线经验

解答几何题时，如果单纯地从题目已知条件出发，有时会发现题中所问的问题与已知条件之间没有解题的联系，解题思路无法展开，就像陷入了“僵局”不知道下一步应该干什么，要想顺利解答，辅助线就是打开思路的关键。这个过程中，需要我们通过深度思考去敏锐地感知与分析有效辅助线的位置。如何做出最合适有效的辅助线，需要解决复杂几何题的知识经验上的储备，学生应该在日常的学习与练习当中主动地有意识地总结辅助线的经验，这样，在解决复杂几何题时才能进一步深度思考。通过归纳和总结，我们可知解答题目时做辅助线的方法有以下几种方式：将两条线段的中点进行连接或者做中线、给线段添加垂线、给线段添加平行线、添加角平分线、给图形添加对称轴等[7]，例如下题中的辅助线就是给线段添加的平行线。

例2：已知ΔABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE = AD，连接DE交射线AC于点F。

1) 如图3，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；

2) 如图4，当点D在线段AB的延长线上时，

① 线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由。

② 如图5，连接AE，设AB = 4，若$\angle \text{AEB}=\angle \text{DEB}$ ，求四边形BDFC的面积。

Figure 3. Picture of item (1)

图3. 第(1)题图

Figure 4. Picture of item ①

图4. 第①题图

Figure 5. Picture of item ②

图5. 第②题图

解：1) $\text{CF}=\frac{1}{2}\text{BD}$ 。理由如下：

过点D作DH // BC交AC于点(所有辅助线均作在原图上，为蓝色虚线)，

∴ΔADH ∽ ΔABC

∵ΔABC是等边三角形，

∴ΔADH是等边三角形。

∴DH = AD = EC，AD = AH，BD = CH

在ΔDHF与ΔECF中，有

$\{\begin{array}{l}\angle \text{DHF}=\angle \text{ECF}\\ \angle \text{HFD}=\text{CFE}\\ \text{DH}=\text{EC}\end{array}$

所以ΔDHF ≌ ΔECF。

∴$\text{CF}=\text{HF}=\frac{1}{2}\text{CH}$

∴$\text{CF}=\frac{1}{2}\text{BD}$

2) ①仍然成立。理由如下：

过点D作DN // BC交AC的延长线于点N，

∴ΔADN ∽ ΔABC。

∵ΔABC是等边三角形，

∴ΔADN是等边三角形。

∴AD = AN，BD = CN。

∴DN = AD = EC。

在ΔDNF与ΔECF中，有

$\{\begin{array}{l}\angle DNF=\angle ECF\\ \angle NFD=\angle CFE\\ DN=EC\end{array}$

所以ΔDNF ≌ ΔECF。

∴$CF=NF=\frac{1}{2}CN$

∴$CF=\frac{1}{2}BD$

分析：

在第一问中，过点D作DH // BC交AC于点H，所以ΔADH ∽ ΔABC，易得CH = BD，通过AAS易证得ΔDHF ≌ ΔECF，根据全等三角形的性质易得$CF=FH=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}DB$ 。在第二问中，过点D作DN // BC交AC的延长线于点N，所以ΔADN ∽ ΔABC，可证得BD = CN，通过AAS易证得ΔDNF ≌ ΔECF，最终得到结论。

针对这两小问而言，题干中只有两个确切的已知条件，即等腰三角形ΔABC，且CE = AD，在这个基础上，无法直接推导出CE与AD之间的线段长度的关系；若从逆向推导的角度出发，我们也无法将CE与AD之间数量关系的问题转化成其它形式来解决，既然正向和逆向推导都无法解决问题，那势必需要用到辅助线；若没有做辅助线的经验或者平常不注重做辅助线的经验积累，学生就无法迅速判断做辅助线的最合适的位置，甚至都不会想到要做辅助线；积累辅助线经验并不代表要生搬硬套，反而是突破难点，明确解题思路的必要途径。

4.3. 监控思维的逻辑性和发散性

几何题的解答往往伴随着一定篇幅的证明与计算，而同样的题目，有的学生的作答思维清晰且作答过程精简，但也有学生的作答思维混乱且作答过程冗长，造成这种结果的主要原因有两种：首先，学生还不会用数学语言简约精确地表达数量关系和空间形式，也没有形成一定的理性精神和有条理的数学思维品质，因此，在具体的作答过程中，学生在作答的同时也要反思每个步骤，将多余的表达进行删减，将表达意义重复的步骤适当合并，每个步骤之间要注意前后的逻辑连贯性。

除此之外，思维具有发散性，有时候学生能想到的解题思路不止一种，而学生却没有对每种解题思路的正确性和难易程度加以判断和评价，再选择性地采用，针对这一问题，也需要用到基本的元认知策略，对自己的思维进行即时的监控和评价，从而从多种解答思路中选择出最精简的思路进行作答，这是对学生思维能力的锻炼与考验。具体来说可以有意识地从不同的条件切入，从而得到不同的解答路径，如在原图的基础上作不同的辅助线可以得到不一样的图形。

以下是例2最后一个小题的解答。

解：②在ΔDBE与ΔACE中，有

$\{\begin{array}{l}\angle DEB=\angle AEC\\ \angle DBE=\angle ACE=120˚\end{array}$

∴ΔDBE ∽ ΔACE

∴$\frac{\text{DB}}{\text{AC}}=\frac{\text{EB}}{\text{EC}}$

设DB = x，则

$\frac{x}{4}=\frac{x+4+4}{x+4}$ ，

解得$x=4\sqrt{2}$ ，即$\text{DB}=4\sqrt{2}$ ，

$\therefore \text{FC}=\frac{1}{2}\text{DB}=2\sqrt{2}$

过点A作$\text{AG}\perp \text{BC}$ 于G，过点F作$\text{FK}\perp \text{AD}$ 于K。

在RtΔABG中，

$\text{AG}=\text{AB}\cdot \sin {60}^{\circ }=\frac{4\times \sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ ，

$S_{\Delta \text{ABC}}=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

在RtΔAFK中，

$\text{FK}=\text{AF}\sin {60}^{\circ }=\left(\text{AC}+\text{CF}\right)\sin {60}^{\circ }=\left(4+2\sqrt{2}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}+\sqrt{6}$

$\therefore S_{\Delta \text{ADF}}=\frac{1}{2}\text{AD}\cdot \text{FK}=\frac{1}{2}\times \left(4+4\sqrt{2}\right)\times \left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)=8\sqrt{3}+6\sqrt{6}$

$S_{四�形\text{BDFC}}=S_{\Delta \text{ADF}}-S_{\Delta \text{ABC}}=\left(8\sqrt{3}+6\sqrt{6}\right)-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}+6\sqrt{6}$

分析：

以上作答步骤已经精简到每一步都不可再省，每一个关键步骤又环环相扣：由三角形相似可得到DB和CF的长，从而为求得ΔADF的面积作铺垫，然后做出辅助线，求出垂线段AG、FK的长度，之后就可直接求出相对应三角形的面积，这些步骤不可错位，若是不重视逻辑顺序，盲目地想的到哪里就写到哪里，即使计算结果是正确的，这也不能称之为一个完美的作答过程。

几何题的作答需要把解题思路精确表达出来，步骤太过简单则容易出现思维漏洞；另一方面，在思考问题的时候，我们确实应该要面面俱到，但是若板书太过冗长的话，又容易导致详略不得当、思路不清晰；所以，学生要实时监测自己的作答过程。

除了这一种解题思路之外，还有另外一种思路，方法2见图6。

Figure 6. Method 2 diagram

图6. 方法2图

②如图，过点G作DG // BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN ⊥ DG，交BC于点H，交DE于点N，则AN ⊥ BC

∵由①知：ΔADG为等边三角形，$\Delta \text{DGF}\cong \Delta \text{ECF}\left(\text{AAS}\right)$

$\therefore \text{CF}=\text{FG}=\frac{1}{2}\text{BD}$

∵ΔABC为等边三角形，$\text{AH}=\sqrt{{\text{AB}}^2-{\text{BH}}^2}=2\sqrt{3}$

$\therefore \text{BH}=\text{CH}=2$ ，$\text{AH}=\sqrt{{\text{AB}}^2-{\text{BH}}^2}=2\sqrt{3}$

$\because \angle \text{AEB}=\angle \text{DEB}$ ，$\text{EH}=\text{EH}$ ，$\angle \text{AHE}=\angle \text{MHE}={90}^{\circ }$

$\therefore \Delta \text{AEH}\cong \Delta \text{MEH}\left(\text{ASA}\right)$

$\therefore \text{MH}=\text{AH}=2\sqrt{3}$ ，$\text{AM}=2\text{AH}=4\sqrt{3}$

$\because \Delta \text{DGF}\cong \Delta \text{ECF}$

$\therefore \angle \text{CEF}=\angle \text{MDN}$ ，$\text{DG}=\text{CE}$

$\therefore \angle \text{AEH}=\angle \text{MDN}$

$\therefore \tan \angle \text{AEH}=\tan \angle \text{MDN}$

$\therefore \frac{\text{AH}}{\text{EH}}=\frac{\text{MN}}{\text{DN}}$

设$\text{MN}=y$ ，$\text{MN}=y$ ，则$\text{EH}=\text{CE}+\text{CH}=\text{2}+x$ ，$\text{DN}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{DG}=\frac{1}{2}x$

$\therefore \frac{2\sqrt{3}}{x+2}=\frac{y}{2}$

$\because$ DG平行于BC

$\therefore$ ΔABC与ΔADG相似

$\therefore \frac{\text{BC}}{\text{DG}}=\frac{\text{AH}}{\text{AM}+\text{MN}}$

即$\frac{4}{x}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}+y}$

联立两式，取$x=4\sqrt{2}+4$

$\therefore \text{DG}=\text{CE}=4\sqrt{2}+4$ ，$\text{DN}=2\sqrt{2}+2$ ，$\text{CF}=\text{FG}=2\sqrt{2}$

$\therefore \text{AN}=2\sqrt{6}+2\sqrt{3}$

$S_{\Delta \text{ACE}}=\frac{1}{2}\text{CE}\cdot \text{AH}=4\sqrt{6}+4\sqrt{3}$

$\therefore \frac{S_{\Delta \text{ACE}}}{S_{\Delta \text{CEF}}}=\frac{\text{AC}}{\text{CF}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}$

$\therefore S_{\Delta \text{CEF}}=2\sqrt{6}+4\sqrt{3}$

$\therefore S_{四�形\text{BDFC}}=S_{\Delta \text{ADG}}-S_{\Delta \text{ABC}}-S_{\Delta \text{CEF}}=6\sqrt{6}+4\sqrt{3}$

分析：由于思维的发散性，本题至少可以得到如上两种解法，同样是利用面积法解答，第一种解法只用了一次相似三角形的证明，而第二种解法用到了三次全等三角形的证明和一次相似三角形的证明，并且第二种解法所需作的辅助线更难想到，所以同第一种解法相比，明显第二种解法更加复杂，虽然无论哪一种解法，只要没有思维漏洞地将题目解答正确，这都是对思维的锻炼，但是，若能将可能的解法都考虑到，并对其做出对比与评价，然后再选择其中最易懂的一种解法，对思维进行即时监控与评价，这样的学习更是一种深度学习。

5. 总结

在解答较为复杂的几何大题时，学生可以通过建立几何知识框架，将多个知识点串联起来，在此基础上，做出合适的辅助线突破解题难点，并且在作答时监控思维的逻辑性和发散性。几何题解题策略既基于深度学习，同时也帮助学生学会深度学习。

基金项目

湖南省普通高等学校教学改革项目(202401001015)，株洲市教育科学“十四五”规划课题(ZJGH21-166)。

NOTES

^*通讯作者。