1. 引言
多级传动条件下的齿轮结构参数优化设计是一个复杂的过程，需要综合考虑动态性能、传动精度、振动噪声控制以及制造和装配误差等多个因素。已有的文献中通常采用先进的数值分析方法、智能优化算法以及仿真技术开展研究，可以有效地进行齿轮结构参数的优化设计，提高齿轮传动系统的整体性能和可靠性[1]。针对多级齿轮传动系统中的振动和噪声等动态性能问题，可以通过建立动力学模型，并采用数值分析方法来优化设计变量，如齿数、模数、螺旋角等，以减少振动加速度和总质量，提高系统的动态性能[2]。
现存文献主要通过误差耦合补偿原理开展传动误差的研究，能够有效提高多级齿轮传动系统的传动精度；华东交通大学王朝兵等[3]提出了一种计算行星齿轮传动误差的方法，有效地提高了行星齿轮的传动精度[3]-[7]。斜齿轮副的时变啮合刚度计算方法主要包括轮齿啮合误差计算、副体刚度计算和时变啮合刚度计算等方面。齿轮的时变啮合刚度计算方法主要有3种，分别是有限元数值计算法、势能解析法和材料力学法。时变啮合刚度是齿轮传动中一个重要的动态性能参数，可以用于评估齿轮在实际运行中的运动特性和工作性能。
现有的文献大多运用几何学[8]、优化算法[9]、控制理论等多学科知识[10]开展多级齿轮传动系统优化方法研究，通过对齿轮传动系统的误差进行精确计算和补偿[11]，有效提高了多级齿轮传动系统的传动精度。另外，设计高重合度弧齿锥齿轮的齿面曲率修正方法能够有效降低高阶传动误差[12]。通过优化设计变量和利用遗传算法等优化工具，基于ease-off的高重合度弧齿锥齿轮全局设计技术[13]、基于齿长曲率修正的高重合度弧齿锥齿轮齿面设计技术[14]以及基于砂轮廓修形的高重合度弧齿锥齿轮齿面设计技术[13]等实现了对高重合度弧齿锥齿轮的齿面优化设计[15]。
本文以某型号附件传动齿轮系统为研究对象，采用有限元分析法建立多点接触有限元传动系统模型，同时针对传动系统工作负载情况对齿轮腹板采用斜向优化法进行优化设计，研究多级齿轮传动条件下齿面接触应力与齿根弯曲应力，完成了齿顶/齿根齿廓方向偏差修形量的优化设计，本文相关研究降低了齿面最大接触应力、齿根弯曲应力以及时变啮合刚度，有效地保证了齿轮的安全性，为多级传动条件下齿轮结构优化设计提供了工具与方法。
2. 附件传动系统
多级附件传动三维模型与链式结构简图如图1所示。齿轮链单元体上各传输的附件由中央齿轮轴直接驱动，各传输附件的轴线均与对应齿轮轴轴线平行；附件传动系统传输的功率通过2对弧齿锥齿轮(分别为中央传动齿轮副Z1/Z2及附件传动齿轮副Z3/Z4)从燃气轮机发动机输出轴提取。传动机匣内传动链由5件圆柱齿轮轴组成，驱动起动发动机、燃油齿轮泵、滑油泵、交流发电机以及滑油冷却装置，对应于负载关系如表1所示，以及齿轮轴的主要参数。齿轮链单元体中的5件齿轮轴(Z5~Z9)的模数和压力角均为1.775 mm和20˚。
(a) 3D model
(b) Structure sketch
Figure 1. 3D model and structure sketch of accessory drive gear chain
图1. 附件传动齿轮链三维模型和结构简图
3. 齿轮腹板优化方案
齿轮轴的腹板部分设计分为4种方案：方案一为直腹板结构，方案二~方案四均为斜腹板结构，其斜板面相对齿轮面的角度分别为30˚、20˚、10˚，可优化齿轮轴的腹板厚度为3 mm。由于Z5齿轮轴的齿轮腹板较厚(6 mm)且直径较小，可进行优化的空间不多，故保持原有结构不变。Z6、Z7、Z9齿轮轴优化方案如图2所示，Z8齿轮轴的优化方案如图3所示，其腹板面和轮齿面相对位置不同。
Table 1. Main performance parameters of cylindrical spur gears
表1. 圆柱直齿齿轮主要性能参数
No. |
Transmission accessory |
Number of teeth |
Shift coefficient |
Width /mm |
Z5 |
Fuel Gear Pumps |
25 |
0.325 |
10 |
Z6 |
Slick Oil Pumps |
66 |
0.021 |
8 |
Z7 |
AC Engine |
43 |
0.155 |
6 |
Z8 |
Oil Cooling Unit |
37 |
0.201 |
6 |
Z9 |
Starting Engine |
61 |
0.050 |
6 |
因此，在优化方案结果分析中，Z5齿轮不采用任何腹板结构；方案一：Z6、Z7、Z8、Z9齿轮轴腹板均采用直腹板结构；方案二：Z6、Z7、Z8、Z9齿轮轴腹板均采用斜形A类腹板结构(斜向角度为30˚)；方案三：Z6、Z7、Z8、Z9齿轮轴腹板均采用斜形B类腹板结构(斜向角度为20˚)；方案四：Z6、Z7、Z8、Z9齿轮轴腹板均采用斜形C类腹板结构(斜向角度为10˚)。
Figure 2. Optimization of the Z6, Z7 and Z9 gear
图2. Z6、Z7、Z9齿轮腹板的优化方案
Figure 3. Optimization of the Z8 gear
图3. Z8齿轮腹板的优化方案
4. 传动系统有限元建模
为了便于有限元计算分析并进行合理的结果验证，在不影响最终结果的情况下，建立Z5~Z9齿轮的三维模型时忽略了部分圆角和一些非关键要素，最大程度提高计算效率。附件传动链输入输出设置如图1(b)所示，传动链有Z5/Z9、Z5/Z6、Z6/Z7、Z7/Z8啮合齿轮副；严格按照齿轮装配位置(图4(a))，不考虑腹板传动轴等结构，构建附件传动系统的有限元网格模型，如图4(b)所示；另外，根据不同斜类构型的优化方案，分别进行每对齿轮副啮合位置有限元网格的细节进行建模，其中Z5/Z9齿轮副齿面啮合位置的细节如图5所示。
(a) Assembly position of gears (b) Finite element model
Figure 4. Gear transmission system
图4. 齿轮传动系统
Figure 5. Finite element mesh detail of gear pair meshing position
图5. 齿轮副啮合位置有限元网格
利用Abaqus有限元分析软件对不同齿轮副啮合齿面进行静态接触分析，从接触分析的角度考虑传动误差影响下齿轮啮合处最优性能，主要对比因素为时变啮合刚度、接触应力以及弯曲应力。
根据传动输出功率设置负载扭矩等系统激励参数，如表2所示。提取对应齿轮副啮合点位中齿面接触应力与齿根弯曲应力，对4种齿轮腹板结构优化设计方案进行对比分析，主要对比各方案多级齿轮系统负载激励下的齿面接触应力、齿根弯曲应力。
Table 2. Loads on each transmission attachment in the accessory drive gear chain
表2. 附件传动齿轮链中各传输附件的负载情况
Transmission accessory |
Power (KW) |
Speed (r/min) |
Torque (N∙m) |
Fuel gear pumps (Z5) |
4.53 |
11984 |
3.61 |
Slick oil pumps (Z6) |
1.4 |
11984 |
1.12 |
AC engine (Z7) |
0.3 |
19757 |
0.15 |
Oil cooling unit (Z8) |
5 |
19757 |
2.42 |
Starting engine (Z9) |
17.14 |
11076 |
14.78 |
5. 结果与分析
5.1. 腹板优化分析结果
根据前述系统负载激励参数设置，对比在4种优化方案下齿轮啮合副(Z5/Z9、Z5/Z6、Z6/Z7、Z7/Z8齿轮副)的齿面接触应力和齿根弯曲应力，结果如图6所示。其他优化方案相对于方案一结果的对比值如表3所示。齿面最大接触应力和齿根弯曲应力是齿轮设计和分析中直接影响齿轮的使用寿命和安全性能[7]。
Figure 6. Comparison of the maximum contact stress and the maximum bending stress of each gear pair
图6. 各齿轮副最大接触应力和最大弯曲应力对比
Table 3. Optimized solution for each gear pair versus solution 1
表3. 各齿轮副优化方案与方案一的对比值
Item |
Optimisation solutions |
Z5/Z6 |
Z5/Z9 |
Z6/Z7 |
Z7/Z8 |
Maximum contact stress ratio for each gear pair |
Option II |
+132.578% |
+10.060% |
+74.478% |
−1.170% |
Option III |
+20.874% |
+49.007% |
+30.949% |
−1.896% |
Option IV |
+128.501% |
+85.692% |
+157.479% |
−2.399% |
Maximum bending stress ratio for each gear pair |
Option II |
+18.436% |
+0.303% |
+26.802% |
+2.526% |
Option III |
+1.991% |
+3.184% |
+3.857% |
+1.435% |
Option IV |
+34.013% |
+8.493% |
+47.542% |
+0.701% |
对比静态接触分析中啮合齿面最大接触应力结果(图6(a))，相比于直腹板结构，采用斜腹板结构优化方案啮合齿面最大接触应力均有明显增大(表3)，其中，斜形C类腹板(方案四)的齿面接触应力最大；Z5/Z6、Z5/Z9、Z6/Z7齿轮副相应分别增大了128.5%、85.7%、157.5%。然而，由于Z8齿轮轴对应腹板斜向方向相对于其他齿轮轴方向相反，因此，Z7/Z8齿轮副啮合齿面最大接触应力相对减少。对比斜形类腹板优化结构，发现斜形B类腹板(方案三)各齿轮副啮合齿面接触应力增加最少。当齿轮的几何参数、运行条件和齿面粗糙度等物性条件一定的情况，不同齿轮腹板结构类型会产生不同的接触应力分布与最大接触应力值，其中，斜形腹板结构相比较于直形腹板结构大多会有更大的接触应力值，且斜形腹板类型中斜向的角度越大，齿轮啮合齿面接触应力值通常越大。
对比齿轮副啮合齿根处最大弯曲应力值(图6(b))，与最大接触应力结果类似，采用斜形腹板优化结构的齿轮副，最大弯曲应力均增大。其中，斜形B类腹板齿根弯曲应力增加最少，Z5/Z6、Z5/Z9、Z6/Z7、Z7/Z8齿轮副啮合齿根弯曲应力相应分别增大了2.0%、3.2%、3.9%、1.4%。对于Z7/Z8齿轮副，采用斜形C类腹板结构较优。因此，对于不同类型优化齿轮腹板结构的方案，直腹和斜腹结构，均会影响齿轮的接触应力分布和弯曲应力分布，但对弯曲应力分布影响较小。结合接触应力与弯曲应力对材料寿命影响，得出齿轮优化方案的合理性，从结果可以看出接触应力和弯曲应力的影响主要体现于结构设计上，不同的齿轮副运行方向和斜腹板结构的不同角度，均会影响齿轮副的使用寿命。
综合上述静态接触分析结果分析，最终选择如下优化方案：由于Z5齿轮轴自身厚度过大，不采取任何优化方案。Z7、Z8齿轮轴采用斜形C类腹板结构，即斜向角度为10˚，Z6、Z9齿轮轴采用直腹板结构。
5.2. 齿顶/齿根齿廓方向偏差修形量优化设计
基于静态接触分析及各齿轮副齿面啮合的应力分布情况，选定基于系统负载激励情况下的腹板结构作为优化方案。本部分内容考虑多级传动条件下腹板优化结构的性能表现，系统传动误差主要体现在齿面切向和齿顶(或齿根)齿廓方向的边界值大小，因此，齿面切向和齿顶(或齿根)齿廓方向的边界值设置如表4所示，齿面切向方向的偏差修形量均为5 μm，齿顶或齿根齿廓方向偏差修形量分别设置为5、8 μm进行对比分析。因此，各齿轮副时变啮合刚度结果如图7所示。为便于对比时变啮合刚度的结果，截取3~4 s时的有效结果进行对比分析；时变啮合刚度平均值对比如图8所示。
Table 4. Optimisation scheme for gears based on transmission error point meshing
表4. 基于传动误差点啮合齿轮优化方案
Number |
Transmission Error |
Option 5~10 d |
Tangential direction (5) + Boundary value at the top (5) = 10 μm |
Option 5~10 d + g |
Tangential direction (5) + Boundary value at the root (5) = 10 μm |
Option 8~13 d |
Tangential direction (5) + Boundary value at the top (8) = 13 μm |
Option 8~13 d + g |
Tangential direction (5) + Boundary value at the root (8) = 13 μm |
Figure 7. Comparison of time-varying meshing stiffness of each gear pair
图7. 各齿轮副时变啮合刚度对比
Figure 8. Comparison of mean values of meshing stiffness for each gear pair
图8. 各个齿轮副啮合刚度均值对比
以附件传动齿轮链为研究对象，建立齿轮副接触分析模型，齿面最大接触应力和齿根最大弯曲应力如图9所示。时变啮合刚度随着时间的提高会极大增加齿轮单双齿交替啮合过程中发生破坏的风险，因此，时变啮合是评价多级传动条件下齿轮运动特性和工作性能的重要参数。时变啮合刚度的变化规律如图7所示，齿顶/齿根齿廓方向偏差修形量优化设计能够显著降低时，变啮合刚度可以优先降低单双齿面啮合出现磨损的风险。
基于4种腹板优化结构的静态接触分析结果，对比齿面最大接触应力和齿根最大弯曲应力结果，最终选定Z7、Z8齿轮轴采用斜形C类腹板结构，即腹板面相对轮齿面的斜向角度为10˚，Z6、Z9齿轮轴采用直腹板结构。系统传动误差体现于齿面、齿根齿廓方向边界修形量，多级传动条件会对齿轮啮合刚度产生一定的影响。对比4种修形方案的齿轮时变啮合刚度，发现齿顶/齿根齿廓方向偏差修形量优化设计能有效降低齿轮单双齿啮合运行时的磨损风险。
Figure 9. Comparison of maximum contact stress and maximum bending stress under the influence of transmission error
图9. 传动误差影响下最大接触应力和最大弯曲应力对比
6. 结论
1) 相比于直腹板结构，Z8齿轮轴斜腹板结构降低了齿面接触应力，这有助于减少齿轮在运行中的磨损，提高齿轮的耐久性；齿轮腹板优化设计能够有效地降低齿面接触应力和齿根弯曲应力，有助于保障齿轮安全稳定运行，进一步提高齿轮的承载力；为实现整体性能的最优化，文中齿轮腹板结构优化方案最终确定为：Z7、Z8齿轮轴采用斜形C类腹板结构，Z6、Z9齿轮轴采用直腹板结构。
2) 齿根齿廓边界修形量越大，单双齿啮合运行时变啮合刚度降低越显著。齿根齿廓边界修形量优化设计能有效降低齿面啮合磨损的风险，从而延长齿轮的使用寿命。
3) 这些优化方案对于改善齿轮的传动性能具有重大意义，既可保障齿轮安全稳定的运行，还可以增加齿轮的使用寿命，这也为未来提升机械设备的整体性能和可靠性提供了新的思路。