1. 引言
在教育部的指导下，课程思政的试点工作于2014年在上海开展。取得初步成效后，课程思政的实践很快向全国推广。在2016年的全国高校思想政治工作会议上，习近平总书记要求“其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应”[1]。教育部2020年印发《高等学校课程思政建设指导纲要》，对我国高校的课程思政建设提出了高屋建瓴的指导性意见。时至今日，课程思政在我国已历经10年的教学研究与实践。虽然我国教育的指导方针与目标相对稳定——最终都是要为社会主义事业培养建设者和接班人，然而由于我们身处的世界瞬息万变，教育发生的背景和面临的挑战都处于不断的变化之中，所以课程思政其实是一个历久弥新的研究话题。
《概率论与数理统计》课程中的许多原理和概念富有哲学内涵，统计技术在人们的日常生活中的广泛应用则很好地体现了格物致知、知行合一的实践精神，这使得此课程具有丰富的课程思政元素。大学本科《概率论与数理统计》课受众广泛，以此为载体开展课程思政研究具有重要意义。
2. 既有研究回顾与反思
2.1. 思政元素融入专业课程的理论依据与路径
文献中有一些将思政元素融入《概率论与数理统计》课程的方法论，如将思政元素的切入点概括为与概率统计有关的发展史、名人故事、哲学思想、实际应用和热点问题[2]；根据思政教育内容，将思政元素分为三大类型：科学家的钻研精神与爱国主义情怀、辩证唯物主义哲学思想、正确的世界观、人生观、价值观[3]。这些研究可以帮助教师发掘思政元素，为课程思政建设提供理论基础与方向。
本文则从实践层面出发，将《概率论与数理统计》课程思政元素的融入路径分为4种：
1) 在讲解概率统计原理的过程中引申出思政元素。如独立性是概率统计中的一个重要概念，在讲解事件独立性时，可引导学生思考独立思考的价值与意义，怎样的思考才能构成独立思考，培养学生的批判性思维。把这类思政元素与课程内容本就蕴含的哲学思想紧密联系起来，可促进学生对课程知识的理解。但在教学过程中要注意讲解方式不能过于刻意，否则就起不到“盐溶于水”的效果。
2) 在练习题的讲解过程中引申出思政元素。如通过计算特定赌博游戏的胜率，让学生从理论层面理解为什么不能指望赌博致富，从而引导学生形成正确的价值观。由练习题引申出的思政元素，虽不直接来源于课程知识点蕴含的哲学思想，但其得出往往需要学生自己解决数学问题。思政结论只是由数学题的答案附带引出，不显得刻意，学生由于自己的付出有成就感，也更容易接受。
3) 从教师自主设计的案例中发掘思政元素。这里的案例不是练习题，而是为了帮助学生理解专业知识而引入的一些现实生活中发生的事例。如讲解假设检验的p值时，引入辉瑞制药公司在进行治疗新冠的药物Paxlovid的临床试验中进行p值操纵的案例，帮助学生树立正确的科学伦理与价值观，同时对西方文化祛魅，有助于学生树立对我国的文化自信。这种课程思政元素的引入方式比较灵活，且可以结合时事，做到与时俱进。
4) 介绍学科发展历史时引申出思政元素。如讲解多维随机变量时，可介绍我国多元统计分析的奠基人许宝騄先生的生平。许宝騄先生是概率统计方面第一个具有国际声望的中国数学家，开创了中国的概率论、数理统计的教学与研究工作。他自幼学习中国传统的四书五经，后又接受西式数理教育，并掌握英、法、德、俄等多国语言。他治学严谨，对成果发表要求极高，曾说“我不希望自己的文章登在有名的杂志上因而出了名；我希望一本杂志因为刊登了我的文章而出名”[4]。通过讲解许宝騄先生的事迹，让学生体会老一辈知识分子勤奋刻苦的治学态度和感人至深的家国情怀。
2.2. 文献中主要的课程思政元素
在知网数据库中，我们用高级查询命令“FT% = (‘思政’)*(‘概率论与数理统计’ + ‘概率统计’)”，查询全文包括“概率论与数理统计”或“概率统计”以及“思政”的文献，经阅读筛选，最终得到160篇相关文献。在本节，我们将相关文献中《概率论与数理统计》课程主要的思政元素按其归属的课程知识点进行列示，并结合我们在文献阅读中发现的一些问题提出相应的意见。
1) 频率与概率的辩证关系。
体现偶然与必然的辩证统一。
2) 古典概型。
计算出买彩票中奖的概率极小，引导学生不要有凭运气一夜暴富的不切实际的幻想，要脚踏实地。
3) 小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎不会发生。但当独立重复实验的次数趋向无穷时，小概率事件至少发生一次的概率趋于1。
(a) 将小概率事件视为臭皮匠作出正确决策，得出“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，体现合作的力量。
(b) 将小概率事件视为冒险中的失误，得出“常在河边走，哪有不湿鞋”，推出“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”，对风险采取防微杜渐的谨慎态度。
(c) 将小概率事件的发生视为成功，得出“锲而不舍，金石可镂”，坚信坚持能获得回报。
4) 贝叶斯公式。
(a) 用贝叶斯公式计算在《狼来了》的寓言故事中，村民们对放羊娃是否诚实的先验判断如何随着其撒谎次数的增多而降低，来树立诚信意识。也有的材料使用周幽王烽火戏诸侯的故事，或借款人信用记录对银行放款决策的影响。
(b) 从核酸检测阳性结果，计算实际感染的概率。引申出新冠抗疫的背景与我国一直秉持的人民立场，激发爱国情感。
5) 二项分布。
(a) 计算依靠纯粹猜测通过考试的概率，引导学生一分耕耘一分收获，应踏实学习。
(b) 已知若干台相同的机器出故障的数量服从二项分布，计算得出在1个人负责维修x台机器，和n人共同负责维修(n + 1) x台机器的两种安排下，第一种情况中出现机器出故障而无法被及时维修的概率更大，说明团结合作的集体能发挥出比构成团队的单独个体的简单和更强大的力量。
6) 期望。
(a) 计算在某个具体赌博规则下庄家与赌客的期望收益，说明久赌必输，树立正确的是非观。
(b) 计算核酸检测中混检策略的期望检验次数，引申出新冠抗疫的背景与我国一直秉持的人民立场，激发爱国情感。
7) 大数定律与中心极限定理。
(a) 根据大数定律，独立同分布随机变量的平均值依概率收敛到期望的道理，我们应当目光放长远，不要过于在意一时得失。
(b) 根据中心极限定理，独立同分布的随机变量的平均数依分布收敛到正态分布，体现了由量变到质变的原理：多个类似的独立因素叠加，即使各自并非正态，但综合作用下的结果服从正态分布。
8) 学科发展与科学家故事。
(a) 讲述以许宝騄为代表的、为我国概率统计事业发展作出巨大贡献的科学家的生平事迹，激发学生的家国情怀。
(b) 从费马、帕斯卡、拉普拉斯、柯尔莫哥洛夫等科学家探索概率定义，高斯发现正态分布，戈赛特发现t分布，皮尔森、费雪奠定假设检验基础等故事中，发掘科学家对真理不懈追求的钻研精神，激励学生勇攀科学高峰。
2.3. 关于思政元素运用的建议
1) 介绍学科历史、科学家事迹时，信息应真实准确。
陶行知先生说“千教万教教人求真，千学万学学做真人”。真实是对教学的最基本要求，开展课程思政所运用的历史故事也应力求真实，教师应做好相关信息核对与交叉验证。若使用有事实错误的材料，一旦被发现，学生可能怀疑教师的治学态度，甚至怀疑教师讲授的其他知识的真实性，对思政教育反而会起到负面效果。例如，有文献提到泊松分布产生的背景，是科学家对放射性物质在一段时间内发射的粒子数进行数千次观察，最终得出这个数服从泊松分布。但人类在19世纪末才发现放射性现象(1896年法国物理学家贝可勒尔在研究物质的荧光时发现铀盐存在放射性)，而泊松分布名字由来于的法国科学家泊松在1840年就已去世。显然泊松分布产生的背景应当早于人类对放射性物质的研究。
2) 应用题目或案例应确实具有现实意义。
讲解概率统计原理在现实生活中的应用实例，能让学生体验到课程确实能解决现实生活中的问题，从而增强学习的兴趣和动力，是一种有效的教育方式，也是近来流行的基于问题的学习(PBL)的教学理念的核心。但要注意，选取的案例应当确实具有现实意义。一些题目看似有实际场景，内里却是脱离现实的。如有这样一道英国考题[5]：报童小宝在工作日给一条街的住户送报纸，记送完报纸所需要的时间为随机变量X，单位为分钟。已知X服从正态分布，均值为，标准差为2.35。小宝送完报纸所花时间超过17分钟的概率是0.1。报童阿兰在周末给这条街送报，他的送报时间Y服从分布N (13, 9)。该题有2问：
(a) 证明μ = 14。
(b) 设X，Y相互独立，计算小宝比阿兰所花时间至少多5分钟的概率。
这道题目被人诟病之处在于，在现实生活中，人们不会花心思去测量一个报童完成工作所需时间的分布，因此X的分布其实难以得到。其次，现实生活中也没有人对(b)中计算的概率究竟是多少感兴趣，即使是阿兰和小宝本人。因此，这样的题目看似将正态分布的知识点置于生活场景中，但实际上并没有真正地将理论与现实生活结合。
若要通过现实应用讲解正态随机变量标准化的知识，不如讲解大学英语四六级分数的计算方式。我国多数大学要求学生参加英语四六级考试，该考试的分数如何计算，是大多数学生感兴趣的话题。根据中国教育考试网的官方解释，四六级成绩单上的分数并不是学生的卷面得分X，而是用X根据下列常模转换公式计算得出：
其中Mean和SD分别是此次四六级考试样本考生群体分数的均值与标准差。中国教育考试网还公布了成绩单分数与分位数的对照表，便于学生根据考试分数判断自己在当年考生中的相对排名。根据前述背景知识，教师可以提出3个层层递进的问题：
(1) 这一分数计算公式的逻辑是什么？
(2) 为什么报告常模转换后得到的分数，而不是Z分数？
(3) 为什么报告常模转换后得到的分数，而不是卷面分数X？
通过这些问题，教师可以引导学生辨识出成绩单分数就是一般正态标准化后得到的Z分数；但Z分数可能为负值，不符合人们对分数的习惯认知，因此要在Z分数的基础上乘以标准差、加均值得到一个符合人们预期的正值；不同年份的四六级考卷难度可能不同，使得不同年份参加考试的考生的卷面分没有可比性，而常模转换得到的分数反映的是考生在当年所有考生中的相对排名，使得各届考生的分布能够比较公平地进行比较。通过这个来源于现实生活的案例，学生会发现正态分布的标准化原来是能在实际生活中如此应用的，学问就应该学以致用，且要做到以人为本。
1) 思政元素的融入要自然。
理想情况下，思政元素应当与学科知识具有很强的关联性，思政教育的内容是课程知识的自然延伸。如此一来，课程思政教育能促进学生对学科固有知识的消化吸收，教师也只要在讲授学科知识的基础上略微点拨，就能达成盐溶于水、润物无声的思政教育效果。
与课程固有知识联系不明显、甚至比较牵强的思政元素，则最好不要使用。如有的文献提到，讲解一般规定用英文大写字母表示随机事件，体现了一种规则，可由此培养学生的规则意识。还有文献将样本空间的划分与我国的行政区划相联系，认为可以培养学生的家国情怀。这些例子都显得有点牵强。一方面，为了思政而思政的强行引入容易引起学生的反感，另一方面，花时间在和课程知识关联性不强的内容上是对宝贵课时的浪费。
2) 本科《概率论与数理统计》应考虑与高中数学重合的教学内容，在课程思政建设上作相应详略安排。
大学、高中都讲授的概率统计知识包括随机事件及其运算，等可能概型，常用离散分布，抽样统计等，这意味着高中与本科的课程思政建设可能也有重合之处，如[6]在高中概率统计教学中融入了数学家拉普拉斯、伯努利家族的成就与钻研精神来激励学生的奋斗精神，通过计算买彩票的小概率引导学生脚踏实地、不要存有侥幸心理。这些思政元素也同样适用于大学的《概率论与数理统计》。本科教学应充分考虑这些因素，在授课与课程思政的详略程度上作出相应安排。
3. 《概率论与数理统计》课程思政元素挖掘及运用实例
基于既有研究与作者的教学实践，我们以学科发展历史、课程知识中本身蕴含的原理、习题、现实案例等为切入点，整理了《概率论与数理统计》课程的31个思政元素，呈现在表1中，并选取部分在其他研究中少见或未见的思政元素，就其蕴含的思政要点进行了详细分析。
Table 1. Ideological and political elements in the course “Probability and Mathematical Statistics”
表1. 《概率论与数理统计》课程思政元素
章 |
知识点 |
讲解内容 |
思政要点 |
融入类型 |
1. 随机事件与概率 |
概率的公理化定义 |
概率的频率学说、贝叶斯学说与公理化定义 |
理论不等同于事实真理； 对理论应大胆假设，小心求证 |
原理 |
排列组合 |
计算买彩票中大奖的概率 |
君子爱财，取之有道 |
练习 |
脑筋急转弯：如何在1小时内作出1万首诗 |
将10首绝句用乘法原理组合为1万首，领略古诗之美 |
练习 |
事件独立性 |
计算仅凭随机猜测通过考试的概率 |
学习没有捷径，要脚踏实地，不可投机取巧 |
练习 |
小概率事件在大量独立重复实验中至少发生一次的概率趋于1 |
锲而不舍，金石可镂 |
原理 |
计算串联系统与并联系统失效的
概率 |
引入独立性使系统更稳健 |
练习 |
互斥事件不是独立事件 |
独立思考不是人云亦云，也不是故意唱反调 |
原理 |
计算坚持100年买彩票，至少中一次一等奖的概率 |
要把有限的人生投入有意义的伟大事业中，而不是浪费在无意义的小概率事件上 |
练习 |
条件概率 |
估计B站用户与新闻联播观众中二次元用户的比例 |
人们被推荐算法困于信息茧房，从而对真实世界产生误判，应多关注现实 |
原理 |
全概率公式 |
全概率公式的含义 |
将复杂事物分解为相对简单的部分，便于分析、解决问题 |
原理 |
贝叶斯公式 |
计算寓言故事《狼来了》中村民对牧童可信程度的变化 |
用数据更新先验知识，得到后验知识，反映了实践是认识的来源和基础。做人应诚实守信 |
原理/练习 |
老赵温和而又井井有条，老赵更可能是知识分子还是农民？ |
贝叶斯公式是全面思考问题、用实践经验更新先验知识的方法论 |
原理 |
计算肝癌首次检查呈阳性情况下真阳性的概率，计算复查也是阳性情况下真阳性的概率 |
学以致用，理解首次检测阳性结果后复查的必要性 |
练习 |
2. 随机变量 |
随机变量概述 |
概率论无法确定每次随机试验的确切结果，但可以提供实验结果分布的规律性 |
坚持普遍与特殊相统一的方法论，用规律指导实践 |
原理 |
常用离散分布 |
故障机器的台数服从二项分布/泊松分布，求1个人负责修x台机器，和n人共同负责(n + 1)x台的情况下，故障得不到及时维修的概率 |
合作能提升效率，但权责不明晰也可能增加管理成本，由此体会管理的复杂性 |
练习 |
正态分布的3σ法则 |
标准正态的绝大部分数据集中在均值的2倍标准差内 |
抓主要矛盾 |
原理 |
正态分布 |
高斯如何通过数学推导出正态密度函数的表达式 |
体会数学的力量，激发求知热情 |
学科史 |
标准化在大学英语四六级分数报告中的应用 |
学以致用，使不同年份的分数可比 |
案例 |
3. 二维随机变量 |
多元统计概述 |
在多元统计方面进行了诸多开创性工作的中国研究者许宝騄先生的
生平 |
老一辈学者学贯中西、追求卓越的精神，激发学生的钻研精神 |
学科史 |
边际分布 |
联合分布可导出边际分布，但边际分布不能导出联合分布 |
系统往往并非部分地简单加和，有必要用系统的眼光从全局考虑问题 |
原理 |
4. 期望 |
期望的含义 |
计算“赌大小”游戏中赌客与赌场的期望收益 |
君子爱财，取之有道。赌博害人，不能致富 |
练习 |
计算不同疾病的流行率下，使得混合样本检测的期望检测次数最小的混合方案 |
学以致用，我国一直秉持的人民立场 |
练习 |
5. 极限理论 |
大数定律 |
样本均值趋于总体均值 |
路遥知马力，日久见人心 |
原理 |
经验分布函数依概率收敛到
分布函数 |
实践出真知 |
原理 |
中心极限定理 |
多个独立同分布的随机变量和的
分布趋于正态分布 |
中华传统哲学中的中庸思想 |
原理 |
6. 抽样理论 |
简单随机样本 |
美国《文学文摘》的调查样本没有代表性，错误预测总统选举的结果 |
样本应具有代表性，调查研究需要认真严谨 |
案例 |
t分布 |
英国科学家戈赛特发现t分布的
过程 |
大胆假设、小心求证的严谨治学精神 |
学科史 |
样本均值，样本方差 |
均值、方差反映分布的集中位置与分散性，是分布最为重要的两个
方面 |
抓主要矛盾 |
原理 |
7. 参数估计 |
点估计评价准则 |
偏差–方差平衡 |
鱼与熊掌不可得兼 |
原理 |
8. 假设检验 |
假设检验的基本思想 |
假设检验奠基人卡尔·皮尔森的刻苦工作的事迹 |
一万年太久，只争朝夕 |
学科史 |
正确理解p值 |
辉瑞在Paxlovid研发过程中控制
p值 |
坚守学术道德，对西方文明祛魅 |
案例 |
3.1. 通过概率定义树立对科学的正确认知
什么是概率？这是个至今仍未有定论的哲学问题。关于概率的哲学思想，可以概括为3类：
(1) 古典概型，当基本结果发生的概率相等时，事件的概率等于该事件包含的基本结果的数量占所有基本结果数量的比例。但除了赌博游戏，等可能概型很少出现，因此古典概型适用的范围也相当有限。
(2) 频率解释，认为在大量重复实验中，事件发生的频率会趋向一个稳定的值，这个值就是该事件的概率。但在许多社会经济场景中，如某运动员是否能在奥运会的某个项目中夺冠，我们无法进行重复试验，也就不能采用概率的频率解释。
(3) 主观解释，即概率是人们对事物不确定性的一种主观认知，不过人们可以根据观测到的数据对其进行更新，更新的方法就是贝叶斯公式。概率的主观解释能够应对无法进行重复实验的场景，在一定程度上弥补频率解释的不足。但很多人难以接受“概率是主观”的这一观念，且贝叶斯方法本身也不能解决先验概率的估计问题。
俄国数学家柯尔莫哥洛夫建立的概率公理化体系，则不涉及任何哲学争论，而是从数学的角度规定理想的概率应当满足的性质：如果概率可以从数学的角度被分析和计算，则其应当满足非负性、正则性和可列可加性。事实上，前述3种关于概率的哲学解释，均与概率的公理化定义兼容。
古典概型，客观解释和主观解释，其复杂程度是逐步递增的，通过对概率哲学思想演变的介绍，可让学生体会到认识是一个发展变化的过程。
更重要的是，要使学生意识到这些对概率的阐释都是理论，或曰模型，而非真理。如统计学家乔治·博克斯所说，“所有模型都是错的，但有的模型是有用的”。这些理论能流传至今且被多数人接受，是因为它们在各自适用的场景中能给出比较令人满意的概率的计算方法或解释，经受了实践的检验。科学理论的正确与否，不是看支持人数的多寡，而是看其能否很好地指导实践。对学术理论要带着批判的眼光审视，不能盲信。再回顾2010年丁仲礼院士与柴静记者在央视《面对面》新闻中的对话，学生应该能更深刻地体会到柴静记者用“信仰”的态度认知所谓“主流科学界”基于计算机模拟的研究结论有什么问题，以及丁仲礼院士说的“科学不是以人多人少来判断”“科学是对真理的判断”的真意。对于科学理论，不可盲信，要抱有质疑的精神，实践才是检验真理的唯一标准。
3.2. 用乘法原理作1万首诗领略古诗之美
这个案例来自华东师范大学方方教授的《统计王国奇遇记》[7]。书中的主角高思被要求在一小时内创作出1万首诗。他将10首七言绝句边塞诗进行排列组合，得到104 = 10000首诗。10首诗有的描写战争的残酷，有的抒发浓浓的思乡之情、体现诗人渴望国家统一的家国情怀，有的写尽祖国边陲的苍凉辽阔，皆具文采之美。因它们都是七言绝句，且主题相近，故得以被随意组合而不破坏整体意蕴与节奏。通过此案例，能让学生在领会乘法原理的同时感受古诗的文采美与意境美。
3.3. 用事件独立类比独立思考
如果随机事件A，B相互独立，则事件A是否发生不改变事件B发生的概率大小。学生容易将独立事件误认为是互斥事件。对此，我们可以先用维恩图向学生说明互斥的两个事件并不独立，并请学生思考，与故意与别人唱反调，是否是独立思考？通过对“互斥事件不相互独立”的学习，学生不难发现人云亦云固然不是独立思考，故意唱反调也不是独立思考。只有基于自己或他人的实践经验，辅以科学的思考推断方法，才能形成真正属于自己的、有价值的独立判断。
大学生正年轻气盛，有的还处于青春期末期，出于逆反心理，可能对父母、师长等权威持“为了反对而反对”的态度。通过专业课知识自然地引导学生认识到盲目跟随和故意反对都不是独立思考，有助于其思想成熟。
3.4. 从条件概率的视角看待信息茧房
讲解条件概率的概念时，可以请学生估计B站用户和几乎每天都收看新闻联播的人群中，具有ACG (Animation，comics，games (动画，漫画，游戏))兴趣的人的比例。学生根据生活经验，很容易判断出B站用户中ACG用户的比例更大。教师再写出计算两个比例使用的表达式：
其中N(∙)表式满足条件∙的人数。学生应该能比较容易地将其与条件概率的定义公式
进行类比，从而通过这个具体的例子加深对条件概率含义的理解，也能体会到条件概率可能与无条件的总体概率迥然不同。而在大数据时代，信息超载和推荐算法使人们很容易接受过量的具有特定倾向性的信息，使得个人所处的小环境中的条件概率与代表现实世界真实状态的无条件概率差别较大，以至于让人们对真实世界的感知出现偏差，受困于“信息茧房”。为了不至于让“何不食肉靡”的荒诞发生在自己身上，我们应当减轻对手机的依赖，或有意识地主动搜索、接受舒适圈之外的信息，保有对现实世界的正确认知。
3.5. 贝叶斯公式蕴含的认识论
贝叶斯公式的本质是用数据(条件概率)更新先验知识(无条件概率)，得到后验概率的方法，反映了实践是认识的来源的马克思主义观点。我们可以用一个具体的例子促进学生对贝叶斯公式的理解1。
已知条件1：老赵是一个温和且有条理的人。请学生判断老赵更可能是农民，还是图书馆管理员。学生一般能依据两种职业的刻板印象推出老赵更可能是图书馆管理员。现追加两个条件，请学生再次判断老赵的职业：
条件2：老赵所在地区的农民与图书馆管理员人数比例为8:2；
条件3：图书馆管理员中，温和且有条理的人的比例为0.6；在农民中，这一比例为0.2。
教师将条件3表示为条件概率的形式：
P (温和且有条理|图书馆管理员) = 0.6
P (温和且有条理|农民) = 0.2
引导学生将问题转换为对条件概率P (图书馆管理员|温和且有条理)和P (农民|温和且有条理)的计算与比较，由此自然地推导出贝叶斯公式。
根据给定的条件，老赵是农民的概率为4/7，是图书馆管理员的概率为3/7，结论是老赵更可能是农民。为什么现在的结果与之前相反？因为我们追加了两种职业的从业人口比例信息。一般情况下，人们只依据条件概率作出判断，此案例中的条件概率即关于两种职业从业者性格倾向性的刻板印象。而贝叶斯公式考虑问题的角度就更加全面，不仅考虑刻板印象，还考虑从事两种职业的人口比例。
我们还可以从先验概率向后验概率转换的角度来看待这个案例。在没有更具体的信息前，我们只能根据2:8的先验信息认为老赵更可能是农民。如果我们有更具体的信息，如老赵性情温和且做事井井有条，结合具有该特质的人在两种职业中的分布比例数据，就可以将0.2与0.8的先验概率更新为3/7与4/7的后验概率。这反映出实践是认识的来源与基础，利用实际数据(老赵的性格特点)对先验知识(两种职业从业人数比例的人口学统计数据)进行更新，可以将先验知识(老赵更可能是农民)修正为更符合现实的后验知识(老赵是图书馆里管理员的概率3/7与是农民的概率4/7接近，尽管后者的概率仍然更高)。
3.6. 方差–偏差权衡中的辩证思想
无偏性和有效性都是点估计的评价准则。无偏性要求估计量的期望与参数真值相等；在满足无偏的基础上，方差越小的估计量越有效。我们当然希望估计量的偏差和方差都尽可能小，但鱼和熊掌不可兼得。有时无偏估计的方差很大，得到的估计量可能与真值相差极大。这时不如主动引入一些偏差来减小方差，得到一个大概率与真值更接近的估计。
我们在学习中也面临与参数估计类似的权衡，不过是付出–收获进行权衡。在数学类课程的学习中，有不少同学因为个别知识点一时无法理解就被卡住了，甚至索性放弃整个课程的学习。而对于计算机类课程，有时为了完全理解目标知识需要了解许多背景知识，一级背景知识又包含众多次级背景知识。如果一直挖掘下去，就会被各种信息淹没，无法聚焦于目标知识的学习。对于第一种情况，可以先跳过不懂的知识点，继续学习其他知识，往后再回顾当初不懂的地方，理解的概率通常会增加，“书读百遍，其义自现”就是如此。当关联知识点过多的时候，我们可以去适当了解这些新知，但要控制住自己的好奇心，时刻记得回归学习的主线。人都有追求完美的倾向，但在很多时候实现完美是不可能的，或代价极大，譬如有的无偏估计方差极大，有的知识难以一步到位地理解。这需要我们克制对完美的渴望，理性地把主要目标的完成放在第一位。
3.7. 假设检验奠基人卡尔·皮尔森的自律事迹
卡尔·皮尔森(1857~1936)是假设检验的奠基人之一，提出用卡方统计量进行拟合优度检验。他对于研究工作非常勤奋，一生发表了超过650篇论文，实际完成的研究工作更多。即使考虑到他自己是Biometrika期刊的主编，还有帮助其进行计算的研究团队，这一数量仍然十分惊人。以一篇论文从构思到完成平均花费30天计算，完成这些论文也需要53年多。对此皮尔森自己的解释是“我从不接电话，也从不参加委员会会议”[8]。放在今天的时代，可以对应为“我从不刷手机”。普通人当然不需追求产出几百篇论文，但也应养成自律的习惯，节约时间用于有意义的事，主动支配自己的人生，而不要让自己被手机支配。
3.8. 通过辉瑞p值操纵事件对西方祛魅
2019年末，传染性极强的新冠病毒肆虐全球，给人类造成了惨重的生命财产损失。美国的跨国制药巨头辉瑞公司开发了新冠治疗药物Paxlovid。根据临床试验报告的结果，对于具有发展为重症的风险因素的高危病人，Paxlovid确实具有降低住院与死亡概率的作用，但对于不具有重症风险的标准风险人群，Paxlovid的效果并不理想：在出现症状3日内和5日内给药的两个队列中，控制组与对照组的平均症状持续时间都是13天，p值分别为0.335与0.469，均完全不显著。面对广阔的标准风险患者市场的诱惑，辉瑞公司没有及时终止试验来止损，而是毅然实施了一系列典型的p值操纵措施，包括：修改入组标准(本来允许入组的注射过新冠疫苗的受试者现被排除)，延长所有受试者访试实验截止时间(从2021年12月13日延长到2022年7月20日)，增加入组人数(从1140人增加到1980人)。这些对试验方案的修改都被美国临床试验注册库记录在案。如果把Paxlovid与安慰剂比作两个射击运动员，把对标准风险患者的治疗效果比作他们射击比赛的成绩，原本定下的规则是根据10发子弹的成绩定胜负。眼看比赛就要结束，两人比分不相上下，辉瑞就临时要求把10发子弹增加到40发，还要求把靶子换成Paxlovid更容易射中的那种，希望以此增大Paxlovid获胜的概率。药物研发中的p值操纵尤为有害，它不仅破坏科研的可信度，更可能导致无效或有害的药物被误认为有效，从而威胁患者健康。幸运的是，Paxlovid针对标准风险人群的实验最终还是因为数据过于不理想而终止。
此案例是很好的对美西方进行祛魅的教材，能告诉学生不要被国际知名、世界巨头的光环给唬住：名声赫赫如辉瑞公司，在利益驱使下也明目张胆地进行p值操纵。“国际”、“欧美”这些字眼，都不能与更先进的文明或道德划等号。恰恰相反，可追溯到16世纪的全球殖民掠夺狂潮中弱肉强食的野蛮，才更像其一以贯之的精神底色。我们应当对中华民族的文化更有信心，积极参与到中华民族伟大复兴的历史进程。
4. 结语
本文在分析既有的《概率论与数理统计》课程思政的研究基础上，提出了将思政元素融入课程的具体路径，就思政元素的运用提出了一些建议，挖掘并梳理了此课程的31个思政元素，并对部分思政元素进行了详细剖析，供广大教育工作者参考。随着时代的前进，课程思政也是一个需要与时俱进的课题，需要广大一线教师对其不断地进行更新与完善。
基金项目
2023年上海高校青年教师培养资助计划(项目编号：A-0201-283-23421)。
NOTES
1此例来源于数学科普博主3Blue1Brown的视频https://www.bilibili.com/video/BV1R7411a76r/。