基于NIG模型下可转换债券定价——以电气、电子及通讯设备制造业为例
Pricing of Convertible Bonds Based on the NIG Model—A Case Study of Electrical, Electronic, and Communication Equipment Manufacturing Industry
DOI: 10.12677/aam.2024.1310435, PDF, HTML, XML,   
作者: 胡超蕾:河北地质大学数理教学部,河北 石家庄
关键词: 可转换债券NIG模型快速傅里叶变换数值模拟Convertible Bond NIG Model Fast Fourier Transform Numerical Simulation
摘要: 随着金融市场的不断完善,可转换债券逐渐成为了投资者关注的热点。由于可转换债券是一种复杂的金融衍生品,如何对可转换债券进行价值估算成为一些学者和从业者深入探讨的问题。基于可转换债券的基本特性,一般而言,可将可转换债券的价值拆分为债券价值和期权价值。在此基础上,本文首先结合NIG过程的特征函数推导出期权部分的定价公式,然后结合债券票面的贴现价值对可转换债券进行定价。在实证部分,对电气、电子及通讯设备制造业的部分可转换债券的正股价格进行数值模拟。结果表明,基于NIG模型得到的理论价值高于可转换债券上市当日的实际价格。
Abstract: With the continuous improvement of the financial market, convertible bonds have gradually become a hot topic of concern for investors. As convertible bonds are a complex financial derivative, how to estimate the value of convertible bonds has become a topic of in-depth exploration for some scholars and practitioners. Based on the basic characteristics of convertible bonds, generally speaking, the value of convertible bonds can be divided into bond value and option value. On this basis, this article first derives the pricing formula for the options part by combining the characteristic function of the NIG process. Then it prices the convertible bonds based on the discounted value of the bond face. In the empirical part, numerical simulations are conducted on the underlying stock prices of some convertible bonds in the electrical, electronic, and communication equipment manufacturing industry. The results indicate that the theoretical value obtained based on the NIG model is higher than the actual price of convertible bonds on the day of listing.
文章引用:胡超蕾. 基于NIG模型下可转换债券定价——以电气、电子及通讯设备制造业为例[J]. 应用数学进展, 2024, 13(10): 4547-4554. https://doi.org/10.12677/aam.2024.1310435

1. 引言

可转换债券(Convertible Bond),简称可转债,是一种介于股票和债券之间的混合金融产品。随着金融市场的不断完善,可转债逐渐成为了投资者关注的热点。因此,可转债的定价过程也成为了学者们深入研究的一大课题。

在研究可转债定价问题时,Ingersoll首次将Black-Scholes期权定价理论应用到可转债定价中。Tsiveriotis和Fernandes [1]则提出可转债是一种混合债券,由直接债券和对基础股票的看涨期权组成,因此可将可转债价值分解为债券价值和期权价值。

一般而言,金融市场往往是不完全的。这意味着并不是所有的未定权益都可以完美对冲。Harrison和Kreps [2]提出了一个等价的鞅测度,在该测度下资产的贴现值是鞅。有许多等价鞅测度变换的方法,如何选择一个合适的测度成为一个关键问题。Gerber和Shiu [3] [4]提出了Esscher变换的方法来确定一个等价的鞅测度。在研究中发现用一类具有独立平衡增量并且无限可分的Levy模型可以更好地拟合市场数据.Albrecher和Predota [5]假定资产价格过程为指数Levy型,对数收益服从正态逆高斯(NIG)分布,比较并分析了NIG平均期权价格与相对的B-S价格。Ahlip和King [6]利用特征函数和傅里叶逆变换给出了外汇利率期权定价的解析结果。

可转债作为国家调控经济的一种灵活的金融工具,在社会发展进程中发挥着重要的经济职能。近年来,电气、电子及通讯设备制造业在政治、经济等领域也发挥着重要作用。孔令夷[7]基于剖析行业发展现状和梳理全球价值链治理文献,指出当前阻碍中国电子通讯制造企业向全球价值链高端升级并实施主导性治理的主要因素。魏明亮和吴旺延[8]利用近年省区截面数据,研究我国电子及通讯设备制造业的空间集聚特征和空间布局优化,缩小地区发展差距,优化产业空间布局,应加大力度吸引国际产业资本在中西部地区投资。李娜和陈波[9]以电子及通讯设备制造业为例,基于创新协同视角,主要考察财政政策对军民融合创新协同的影响。

由于可转债具有债券和股票的双重特性,因此在定价过程中可以将可转债的价值拆分为债券价值和期权价值。在对可转债定价问题进行研究时,许多学者发现可转债的理论价格往往会高于真实市场价格[10]。在本文中首先结合NIG过程的特征函数推导出期权部分的定价公式,然后结合债券票面的贴现价值对可转债进行定价。在实证分析中,选取了电气、电子及通讯设备制造业在2019~2023年上市具有代表性的6支可转债,来分析其理论价值与实际价格。

2. 模型假设

2.1. 市场假设

假设标的资产(金融资产)的价格过程满足

S t = S 0 e L( t ) ,t>0. (1)

其中 { L( t ) } t0 是概率空间 ( Ω,F,P ) 的独立平稳增量过程,且 L( 0 )=0 F t 表示由 { L( t ) } t[0,T] 产生的自然流域(natural filtration)。

在概率测度P下,若 { L( t ) } t0 是服从参数为 α,β,δ 的NIG过程,即 L( t )~NIG( α,β,tδ ) ,可得 L( t ) 的特征函数为

φ( u )=E[ e iuL(t) ]=exp( tδ α 2 β 2 α 2 ( β+iu ) 2 ). (2)

2.2. 均值矫正鞅测度

根据风险中性定价理论,为了讨论金融衍生品的定价问题,需要寻找风险中性概率测度Q,使得在此概率测度下标的资产满足鞅的性质。事实上,寻找风险中性概率测度方法不唯一,比如Esscher鞅测度、最小熵鞅测度和均值鞅测度等等。在本节中,主要利用均值矫正鞅测度进行讨论。

定义 如果概率测度Q满足以下条件:(1) QP等价;(2)在Q下,标的资产的贴现过程 { e rt S( t ) } t0 是鞅,则称Q为风险中性测度。

假设 S T 是鞅过程,满足 e r(Tt) E Q ( S T | F t )= S t ,因此有

E Q [ e rt S t ]= S 0 . (3)

S t = S 0 e (rt+wt+L(t)) , (4)

其中 L( t ) 是NIG过程, w=ln( φ( i ) )=δ( α 2 β 2 α 2 ( β+1 ) 2 )

2.3. 风险中性测度下标的资产的特征函数

引理 如果股票的收益率服从NIG过程,那么在风险中性测度下的股票价格为

S T = S 0 e (rt+wt+L(t)) , (5)

其中 w=δ( α 2 ( β+1 ) 2 α 2 β 2 ) 。再令 H T =ln S T ,有 ln S T =ln S 0 +rt+wt+L( t ) ,则股票价格取对数后的特征函数为

φ( u )=exp( iuln S 0 +iut( r+w )δt( ( α 2 ( β+iu ) 2 α 2 β 2 ) ) ) =exp( iuln S 0 +iut( r+δ( α 2 ( β+1 ) 2 α 2 β 2 ) ) ) exp( δt( α 2 ( β+iu ) 2 α 2 β 2 ) ). (6)

3. 可转换债券定价

在计算可转换债券定价时将可转债分解,拆分为债券和期权[11],即 CB=B+C ,其中CB表示可转债的价值,B是债券部分价值,C是期权部分价值。

3.1. 债券部分价值

息债券部分的价值,等于未来各期现金流贴现至当前时点的价值,其贴现率参照财政部同期发行的国债的即期收益率。债券价值B的计算公式表示如下

B= i n1 I i ( 1+r ) i + FV ( 1+r ) n . (7)

其中 I i 是未来i期的利息收入,r是无风险利率,FV为未来到期时本金和利息的总额,另外n则代表可转债的存续时间。

3.2. 期权部分价值

按照NIG模型使用的前提条件,在估计转股期权价值时,可将转股视为欧式看涨期权定价模型(不支付股息)。令 C( S t ,t,K ) 表示标的资产为 S t 的看涨期权在t时刻的价格,则该看涨期权的到期收益为

C( S T ,T,K )=max( S T K,0 )= ( S T K ) + . (8)

在风险中性测度Q下,在目前时刻t下,期权部分的计算公式为

C( S t ,t,K )= e r(Tt) E[ C( S T ,T,K )| F t ].

然后能够得到如下的转股期权的贴现值

C( S T ,T,K )= e rτ [ K+ e λk S t 2π + e iuk F( u )du ], (9)

其中 τ=Tt k=lnKln S t λ 为修正参数,并且满足 λ>0

F( u )= φ( ui( λ+1 ) ) ( iu+λ )( iu+λ+1 ) .

4. 实证分析

4.1. 样本信息

本文以电气、电子及通讯设备制造业作为可转债定价的代表进行测度,主要是因为该产业属于国家重点鼓励发展的行业,也是国家制造业和高端技术水平的标准。本文选取了电气、电子及通讯设备制造业在2019~2023年上市具有代表性的6支可转债作为样本,收集了样本可转债及对应的正股股票信息和样本可转债基本信息,统计得到的数据如表1,本文的实验数据均来自于大智慧365。

以样本中的奇精转债为例,选取了奇精转债所对应的标的股票在2019年1月7日上市前的126个数据来估计NIG模型中的参数。图1图2分别表示从2018年7月4日至2019年1月7日奇精机械股票价格的收盘价及其日对数收益率。通过对股票价格的统计分析,奇精机械股票价格的最大值、最小值和平均值分别为17.92、12.22和15.66。

选取了与奇精转债上市日期和存续的期限都较为相近的“18国债28”作为无风险利率。该国债于2018年12月10日正式进入证券交易市场,发行期限为7年,发行面值为100元,发行上市的国债利率

Table 1. Basic information of sample convertible bonds

1. 样本可转债基本信息

转债名称

上市日期

债券代码

正股名称

剩余年限

初始转股价

票面利率

奇精转债

2019-01-07

SH113524

奇精机械

0.290

14.76

0.4; 0.6; 1.0; 1.5; 1.8; 2.0

华体转债

2020-04-27

SH113574

华体科技

1.570

47.72

0.5; 0.7; 1.2; 1.8; 2.2; 2.7

世运转债

2021-02-19

SH113619

世运电路

2.381

25.50

0.3; 0.6; 1.0; 1.5; 1.8; 2.0

起帆转债

2021-06-17

SH111000

起帆电缆

2.732

20.53

0.4; 0.6; 1.0; 1.5; 2.0; 3.0

华正转债

2022-02-22

SH113639

华正新材

3.392

39.09

0.2; 0.4; 0.6; 1.5; 1.8; 2.0

盟升转债

2023-10-17

SH118045

盟升电子

5.025

42.72

0.2; 0.4; 0.6; 1.5; 1.8; 2.5

Figure 1. The daily closing price trend chart of Qijing machinery

1. 奇精机械日收盘价走势图

Figure 2. The daily logarithmic yield trend chart of Qijing machinery

2. 奇精机械日对数收益率走势图

是3.22%。通过公式

r= 1 n ln( 1+nR )

可得奇精转债无风险利率为2.90%。

通过极大似然估计法,得到奇精转债在NIG模型中参数的估计值分别为 α=15.6323 β=1.1042 σ=0.0183 。类似的,计算得到其他转债的相关参数如表2所示。

Table 2. Sample convertible bond related parameters

2. 样本可转债相关参数

转债名称

参考国债

发行年限

国债利率

无风险利率

α

β

σ

奇精转债

18国债28

7年

3.22%

2.90%

15.6323

−1.1042

0.0183

华体转债

20国债05

5年

1.99%

1.90%

26.4202

−0.6135

0.0270

世运转债

21国债02

5年

3.03%

2.82%

33.0039

−0.7217

0.0273

起帆转债

21国债07

7年

3.01%

2.73%

48.8654

−2.8449

0.0172

华正转债

22国债02

5年

2.37%

2.24%

29.4144

−3.6097

0.0229

盟升转债

23国债22

5年

2.55%

2.40%

18.1322

−2.5943

0.0272

4.2. 数值模拟

根据奇精转债相关资料,已知 I 1 =0.4 I 2 =0.6 I 3 =1.0 I 4 =1.5 I 5 =1.8 I 6 =2.0 FV=102 r=0.029 。根据式(7)可得奇精转债的债券部分价值为90.6941,其他转债的债券部分价值如表3

Table 3. Partial value of convertible bonds

3. 可转债债券部分价值

转债名称

I1

I2

I3

I4

I5

I6

FV

r

B

奇精转债

0.4

0.6

1.0

1.5

1.8

2.0

102

2.90%

90.6941

华体转债

0.5

0.7

1.2

1.8

2.2

2.7

102.7

1.90%

97.7037

世运转债

0.3

0.6

1.0

1.5

1.8

2.0

102

2.82%

91.0123

起帆转债

0.4

0.6

1.0

1.5

2.0

3.0

103

2.73%

92.6052

华正转债

0.2

0.4

0.6

1.5

1.8

2.0

102

2.24%

93.4286

盟升转债

0.2

0.4

0.6

1.5

1.8

2.5

102.5

2.40%

93.0031

已知 τ=0.290 K=14.76 S t =13.96 。根据式(9)利用matlab进行编程可得奇精转债的期权部分价值为14.8847,其他转债的期权部分价值如表4

图3可以看出,NIG模型所得出的6支可转债的理论价值与市场价格的变化趋势基本是一致的,通过计算可知二者之间的相关系数为0.9201,说明存在着很强的相关性,证明NIG模型对我国电气、电子及通讯设备行业的可转债的定价具有实用意义。

借助智慧365调取历史交易数据,发现奇精转债在2019年1月7日收盘价时,股价达到95.52,运用NIG模型进行计算时,奇精转债的理论价值为105.5788。这个价格与奇精机械当天的收盘价相对比,偏离度达到了10.06%。分别计算剩下几支可转债理论价值与实际价值的偏离度,所得结果如表5,大部分都处于10%~25%,可以看出6支可转债的理论价值与市场价格相比,存在较大差异,可转债的价值明显被低估。

Table 4. The option portion value of convertible bonds

4. 可转债期权部分价值

转债名称

r

τ

K

St

C

奇精转债

2.90%

0.290

14.76

13.93

14.8847

华体转债

1.90%

1.570

47.72

43.00

49.1649

世运转债

2.82%

2.381

26.50

21.19

28.3404

起帆转债

2.73%

2.732

20.33

27.86

30.9722

华正转债

2.24%

3.392

39.09

33.77

42.1758

盟升转债

2.40%

5.025

42.72

44.24

59.2747

Figure 3. Theoretical value and actual price trend chart of sample convertible bonds

3. 样本可转债理论价值与实际价格趋势图

Table 5. Comparison between theoretical value and actual price of sample convertible bonds

5. 样本可转债理论价值与实际价格对比

转债名称

理论价值

实际价格

偏离度

奇精转债

105.5788

95.92

10.06%

华体转债

146.8686

118.78

23.65%

世运转债

119.3527

105.52

13.11%

起帆转债

115.8083

104.29

11.04%

华正转债

135.6044

118.74

14.20%

盟升转债

152.2778

144.488

5.39%

5. 结论

在金融市场中,可转债发展迅速,但是由于可转债的多重特性以及附有多种条款,使得可转债的定价问题难度提升。本文根据可转债的特性,对可转债的定价过程中拆分为债券价值和期权价值。

在计算债券部分价值时,在一般情况下可以用债券未来产生的现金流预测发行债券的价值。在计算期权价值部分,构建了基于正态逆高斯(NIG)模型下的期权定价模型,并得到了定价公式。最后,选取了电气、电子及通讯制造业6支具有代表性的可转债进行数值模拟,最后得到的理论价值与真实市场价格的变化趋势基本一致,通过计算可知理论价值与实际价格的偏离度大部分处于10%~25%,证明该模型方法贴合实际市场。进而可以通过电气、电子及通讯设备行业的可转债价格的变化来预测其对经济等方面的影响。

参考文献

[1] Tsiveriotis, K. and Fernandes, C. (1998) Valuing Convertible Bonds with Credit Risk. The Journal of Fixed Income, 8, 95-102.
https://doi.org/10.3905/jfi.1998.408243
[2] Harrison, J.M. and Kreps, D.M. (1979) Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Markets. Journal of Economic Theory, 20, 381-408.
https://doi.org/10.1016/0022-0531(79)90043-7
[3] Gerber, H.U. and Shiu, E.S.W. (1994) Option Pricing by Esscher Transforms. Transactions of the Society of Actuaries, 46, 99-191.
[4] Gerber, H.U. and Shiu, E.S.W. (1996) Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing. Insurance: Mathematics and Economics, 18, 183-218.
https://doi.org/10.1016/0167-6687(96)85007-4
[5] Albrecher, H. and Predota, M. (2004) On Asian Option Pricing for NIG Lévy Processes. Journal of Computational and Applied Mathematics, 172, 153-168.
https://doi.org/10.1016/j.cam.2004.01.037
[6] Ahlip, R. and King, R. (2010) Computational Aspects of Pricing Foreign Exchange Options with Stochastic Volatility and Stochastic Interest Rates. Journal of Statistical Planning and Inference, 140, 1256-1268.
https://doi.org/10.1016/j.jspi.2009.11.007
[7] 孔令夷. 中国电子及通讯制造企业GVC治理障碍与升级路线选择[J]. 科技管理研究, 2016, 36(8): 164-167.
[8] 魏明亮, 吴旺延. 电子及通讯设备制造业集聚特征与布局优化[J]. 江西社会科学, 2016, 36(9): 50-57.
[9] 李娜, 陈波. 财政政策对军民融合创新协同度的影响——以电子及通讯设备制造业为例[J]. 科技进步与对策, 2021, 38(21): 133-141.
[10] 郑振龙, 林海. 中国可转换债券定价研究[J]. 厦门大学学报(哲学社会科学版), 2004(2): 93-99.
[11] 赖其男, 姚长辉, 王志诚. 关于我国可转换债券定价的实证研究[J]. 金融研究, 2005(9): 105-121.