边界条件和转移条件均含谱参数的二阶J-对称微分算子
Second-Order J-Symmetric Differential Operators with Eigenparameter-Dependent Boundary and Transmission Conditions
DOI: 10.12677/aam.2025.141037, PDF, HTML, XML,    国家自然科学基金支持
作者: 付慧洁, 许美珍*:内蒙古工业大学理学院,内蒙古 呼和浩特
关键词: 二阶复系数微分算子谱参数J-自伴性格林函数Second-Order Complex Coefficient Differential Operator Eigenparameter J-Self-Adjointness Green’s Function
摘要: 考虑一类耦合边界条件和转移条件均含谱参数的二阶复系数微分算子的J-自伴性和格林函数。在适当的Hilbert空间上定义一个与问题相关的线性算子,将所研究的问题转化为对此空间中算子的研究,并证明该算子是J-自伴的。另外,通过构造微分方程的基本解得到问题的格林函数。
Abstract: In this paper, we consider the J-self-adjointness and Green’s function of a class of discontinuous second-order complex coefficient differential operator with eigenparameters in boundary and transmission conditions. By introducing a linear operator related to the problem in a suitable Hilbert space, the considered problem can be interpreted as the study of the operator in this space, and this operator is proved to be J-self-adjoint. In addition, the Green’s function of the problem is obtained by constructing the fundamental solutions of the differential equation.
文章引用:付慧洁, 许美珍. 边界条件和转移条件均含谱参数的二阶J-对称微分算子[J]. 应用数学进展, 2025, 14(1): 374-385. https://doi.org/10.12677/aam.2025.141037

1. 引言

内部具有不连续性(即具有内部点条件或转移条件)的微分算子是解决热传导问题、弦的振动问题等物理问题的有力工具。例如在研究复合材料叠层板块的热量传导问题时,由于不同板块的热传导系数不同,板块与板块的结合部分热传导系数改变,则相应问题变为具有不连续性的问题[1];在研究中间有结点的弦振动问题时,需要考虑在一点处附加的质量,结点两侧会产生一定的关联关系,这种关系赋予了适当的“转移条件”[2]。经典的微分算子问题,谱参数只出现在微分方程中,但随着力学、数学物理等领域的发展,谱参数不仅出现在微分方程中,还可能出现在边界条件和转移条件中。

关于边界条件含谱参数的对称微分算子的研究,Mukhtaro和Hao等人考虑了边界条件一端含特征参数的二阶微分算子,得到了算子的谱性质以及格林函数和预解算子等[3] [4]。李昆和郑召文[5]进一步考虑了两端边界条件均含谱参数的不连续二阶微分算子的谱性质。随后,此类问题被推广到具有两个不连续点以及更高阶的情形[6] [7]

关于转移条件含谱参数的对称微分算子(边界条件可能含谱参数,也可能不含谱参数)的研究,2005年,Akdoğan [8]考虑了边界条件和转移条件均含谱参数的二阶边值问题的特征值及其对应特征函数的渐近性。2015年,上述问题被推广到具有两个转移点的情形[9]。同年,郭永霞[10]研究了多个转移条件含谱参数的二阶Sturm-Liouville算子的谱及逆谱问题。之后,关于内部点条件含有谱参数的对称微分算子问题又涌现出了一些较新的研究成果[11] [12]

另外,以上研究中微分算式系的数函数均为实值函数,当系数函数为复值函数时,由此生成的算子为非对称微分算子,其中,J-对称微分算子就是一类特殊的非对称微分算子。

关于J-对称微分算子的J-自伴扩张问题,Knowles I,Race D,Shang Z J等对J-对称微分算子J-自伴扩张域进行了解析刻画[13]-[15]。之后,J-对称微分算子的J-自伴扩张问题还被推广到具有转移条件的情形[16]。另外,关于J-对称微分算子其他方面的研究,包括格林函数及预解算子,谱的离散性等也有一些基础性的工作[17]。以上关于J-对称微分算子的研究中,谱参数只出现在微分方程中,于是受到边界条件和转移条件含有谱参数的对称微分算子研究成果的启发,我们要问,当边界条件和转移条件均含有谱参数时,一般的二阶复系数微分方程形式下所生成的微分算子是否具有J-自伴性?格林函数的表达式是什么?这就是本文将要考虑的问题。

2. 预备知识

本节给出C-自伴算子及J-自伴算子的相关定义和结论。

H是可分的Hilbert空间, ( , ) 表示H上的内积。

定义1H上的算子C满足: C 2 =I ,则C是幂等的;若

C( αx+βy )= α ¯ x+ β ¯ y, α,β,x,yH ,

C是反线性的;若

( x,y )=( Cy,Cx ), x,yH ,

C是等距的。H上幂等的等距反线性算子称为C-算子。

定义2A D( A )H 是闭稠密线性算子,CH上的C-算子,若 f,gD( A ) ,有

( CAf,g )=( CAg,f )

AC A C ,则AC-对称算子。若 A=C A C ,则AC-自伴算子。

定义3CH上的C-算子,H上的双线性型 [ , ] 表示为

[ x,y ]=( x,Cy ), x,yH,

如果 [ x,y ]=( x,Cy )=0 ,则称xy [ , ] 下是正交的或C-正交的。

定义4AH上的稠定线性算子,若

( Ax,Jy )=( x,JAy ),  x,yD( A ),

AJ-对称算子。其中JH上取复共轭的算子,即 xH, Jx= x ¯

引理1 [17] AJ-对称算子的充要条件是: JA A J ( AJ A J ,或 JAJ A )

定义5 如果 JA= A J ( A=J A J ,或 JAJ= A ),则AJ-自伴算子。

1 [17] C-对称和C-自伴有时也称为J-对称和J-自伴,但在Krein空间中C-自伴与J-自伴不同。

3. 新空间与新算子

考虑一般形式的二阶复系数阶微分方程

l( y ):= ( p( x ) y ) +q( x )y=λw( x )y, (1)

其中 xI=[ a,c )( c,b ] p 1 ( x ) q( x ) [ a,c ),( c,b ] 上的连续复值函数,且 lim xc± q( (x) )=q( c± ) 存在有限极限, w L 1 ( I, ),w>0 λ 是谱参数。

含有谱参数的耦合型边界条件为

AY( a )+BY( b )=0, (2)

含有谱参数的转移条件为

CY( c )+DY( c+ )=0, (3)

其中

A=( α 1 λ γ 1 α 2 β 1 0 ), B=( α 3 0 β 2 λ γ 2 β 3 ), C=( θ 1 λ δ 1 θ 2 σ 1 0 ), D=( θ 3 0 σ 2 λ δ 2 σ 3 ) ,

Y( )= ( y( ), y [ 1 ] ( ) ) T ,  y [ 1 ] =p y ,  α i , β i , θ i , σ i , γ j , δ j , i=1,2,3, j=1,2 ,

且假定

α 2 β 1 = θ 2 σ 1 =ρ>0,  α 3 β 3 = θ 3 σ 3 =η>0 . (4)

定义6 令微分算式 l( y ):= ( p( x ) y ) +q( x )y ,由微分算式 l( y ) 生成的最大算子 T M 的定义为

T M ( y )=l( y ),y D M ,  D M ={ y L w 2 ( I )|y, y [ 1 ] AC( I ),l( y ) L w 2 ( I ) },

其中 D M 称为 l( y ) 的最大算子域。

引理2 [18] 对于任意的复数组 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 , τ 1 , τ 2 , τ 3 , τ 4 ,一定存在一个函数 f D M ,使得

f( a )= ξ 1 ,f( b )= ξ 2 ,f( c+ )= ξ 3 ,f( c )= ξ 4 ,   f [ 1 ] ( a )= τ 1 , f [ 1 ] ( b )= τ 2 , f [ 1 ] ( c+ )= τ 3 , f [ 1 ] ( c )= τ 4 .

在空间 L w 2 ( I ) 中定义内积

f,g w =ρ a c f g ¯ wdx +η c b f g ¯ wdx , f,g L w 2 ( I ) ,

易知 H 1 ( L w 2 ( I ), , ) 是Hilbert空间。在直和空间 = H 1 4 中定义内积

F,G =f, g w + m 1 f 1 g 1 ¯ + m 2 f 2 g 2 ¯ + m 3 f 3 g 3 ¯ + m 4 f 4 g 4 ¯ ,

F= ( f, f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) T , G= ( g, g 1 , g 2 , g 3 , g 4 ) T ,

为Hilbert空间。其中

f( x ),g( x ) H 1 , f i , g i ,i=1,2,3,4,

f 1 = γ 1 f( a ), f 2 = γ 2 f( b ), f 3 = δ 1 f( c ), f 4 = δ 2 f( c+ ), g 1 = γ 1 g( a ), g 2 = γ 2 g( b ), g 3 = δ 1 g( c ), g 4 = δ 2 g( c+ ),

m 1 = ρ α 2 γ 1 , m 2 = η β 3 γ 2 , m 3 = ρ θ 2 δ 1 , m 4 = η σ 3 δ 2 ,

在Hilbert空间 上定义算子如下

TF=( l( f ) w α 1 f( a )+ α 2 f [ 1 ] ( a )+ α 3 f(b) β 1 f( a )+ β 2 f( b )+ β 3 f [ 1 ] ( b ) θ 1 f( c )+ θ 2 f [ 1 ] ( c )+ θ 3 f( c+ ) σ 1 f( c )+ σ 2 f( c+ )+ σ 3 f [ 1 ] ( c+ ) )=( λf λ f 1 λ f 2 λ f 3 λ f 4 )=λF ,

F= ( f, f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) T ,

其中,算子T的定义域为

D( T )={ ( f( x ), f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) T |f, f [1] A C loc ( I ),l( f ) H 1 ,AF( a )+BF( b )=0, C F( c )+DF( c+ )=0, f 1 = γ 1 f( a ), f 2 = γ 2 f( b ), f 3 = δ 1 f( c ), f 4 = δ 2 f( c+ ) }.

为简便,令

M 1 ( f )= α 1 f( a )+ α 2 f [ 1 ] ( a )+ α 3 f( b ),  M 2 ( f )= β 1 f( a )+ β 2 f( b )+ β 3 f [ 1 ] ( b ), N 1 ( f )= θ 1 f( c )+ θ 2 f [ 1 ] ( c )+ θ 3 f( c+ ),  N 2 ( f )= σ 1 f( c )+ σ 2 f( c+ )+ σ 3 f [ 1 ] ( c+ ), (5)

M 1 ( f )= γ 1 f( a ),  M 2 ( f )= γ 2 f( b ),   N 1 ( f )= δ 1 f( c ),  N 2 ( f )= δ 2 f( c+ ), (6)

F= ( f, M 1 ( f ), M 2 ( f ), N 1 ( f ), N 2 ( f ) ) T ,

于是,问题(1)-(3)可转化为算子问题 TF=λF

4. 算子的J-自伴性

引理3 D( T ) 中稠密。

证明 F= ( f( x ), f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) T ,且 FD( T ) 。令 C 0 ˜ 表示下列函数的集合

ϕ( x )={ ϕ 1 ( x ),x[ a,c ), ϕ 2 ( x ),x( c,b ],

其中, ϕ 1 ( x ) C 0 [ a,c ), ϕ 2 ( x ) C 0 ( c,b ] 。于是, C 0 ˜ { 0 }{ 0 }{ 0 }{ 0 }D( T ),( 0 ) 。设 U=( u( x ),0,0,0,0 ) C 0 ˜ { 0 }{ 0 }{ 0 }{ 0 } 。则 FU 。由 F,U = f,u 1 =0 f( x ) H 1 中正交于 C 0 ˜ ,故 f( x ) 为零。设 G( x )=( g( x ), g 1 ,0,0,0 ) C 0 ˜ { 0 }{ 0 }{ 0 } ,则 F,G = f,g w + m 1 f 1 g 1 ¯ =0 ,由于 g 1 是任意选取的,故 f 1 =0 。设 G( x )=( g( x ),0, g 2 ,0,0 ) C 0 ˜ { 0 }{ 0 }{ 0 } ,则 F,G = f,g w + m 2 f 2 g 2 ¯ =0 ,由于 g 2 是任意选取的,故 f 2 =0 。同理可以证明 f 3 =0,  f 4 =0 。于是 F= ( 0,0,0,0,0 ) T 。所以与 D( T ) 正交的只有零元素,从而证得 D( T ) 中稠密。

定理1 算子T是定义在 中的J-自伴算子。

证明 F,GD( T ) ,由分部积分得

TF,JG = l( f ) w ,Jg w + m 1 M 1 ( f ) J M 1 ( g ) ¯ + m 2 M 2 ( f ) J M 2 ( g ) ¯ + m 3 N 1 ( f ) J N 1 ( g ) ¯ + m 4 N 2 ( f ) J N 2 ( g ) ¯ = F,JTG +ρ [ f,g ] a c +η [ f,g ] c+ b + m 1 [ M 1 ( f ) M 1 ( g ) M 1 ( f ) M 1 ( g ) ] + m 2 [ M 2 ( f ) M 2 ( g ) M 2 ( f ) M 2 ( g ) ]+ m 3 [ N 1 ( f ) N 1 ( g ) N 1 ( f ) N 1 ( g ) ] + m 4 [ N 2 ( f ) N 2 ( g ) N 2 ( f ) N 2 ( g ) ],

其中

[ f,g ]( x )=f( x ) g [ 1 ] ( x ) f [ 1 ] ( x )g( x ), (7)

根据(4),(5),(6)式,经推导计算可得

m 1 [ M 1 ( f ) M 1 ( g ) M 1 ( f ) M 1 ( g ) ]+ m 2 [ M 2 ( f ) M 2 ( g ) M 2 ( f ) M 2 ( g ) ]=ρ[ f,g ]( a )η[ f,g ]( b ),

m 3 [ N 1 ( f ) N 1 ( g ) N 1 ( f ) N 1 ( g ) ]+ m 4 [ N 2 ( f ) N 2 ( g ) N 2 ( f ) N 2 ( g ) ]=η[ f,g ]( c+ )ρ[ f,g ]( c ),

因此

TF,JG = F,JTG ,

故算子TJ-对称的。接下来利用J-自伴算子的定义来证明算子TJ-自伴性。

下面只需证明:若对于任意的 F= ( f, M 1 ( f ), M 2 ( f ), N 1 ( f ), N 2 ( f ) ) T D( T ) ,有 TF,JG = F,Z 成立,则 GD( T ) JTG=Z ,其中 G= ( g, g 1 , g 2 , g 3 , g 4 ) T Z= ( z, z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) T ,即

(i) g( x ), g [ 1 ] ( x )A C loc ( I ), l( g ) w H 1 ;

(ii) g 1 = γ 1 g( a ), g 2 = γ 2 g( b ), g 3 = δ 1 g( c ), g 4 = δ 2 g( c+ ) ;

(iii) z 1 =J[ α 1 g( a )+ α 2 g [ 1 ] ( a )+ α 3 g( b ) ] , z 2 =J[ β 1 g( a )+ β 2 g( b )+ β 3 g [ 1 ] ( b ) ] ,

z 3 =J[ θ 1 g( c )+ θ 2 g [ 1 ] ( c )+ θ 3 g( c+ ) ] , z 4 =J[ σ 1 g( c )+ σ 2 g( c+ )+ σ 3 g [ 1 ] ( c+ ) ] ;

(iv) z( x )= ( p g ) +qg

F C 0 { 0 } 4 D( T ) ,由 TF,JG = F,Z 可得

ρ a c l( f )gwdx +η c b l( f )gwdx =ρ a c f z ¯ wdx +η c b f z ¯ wdx ,

l( f ) w ,Jg w = f,z w ,由标准Sturm-Liouville理论,(i)和(iv)成立。

TF,JG = F,Z 及(iv)可知

l( f ) w ,g w + m 1 M 1 ( f ) J g 1 ¯ + m 2 M 2 ( f ) J g 2 ¯ + m 3 N 1 ( f ) J g 3 ¯ + m 4 N 2 ( f ) J g 4 ¯ = f, Jl( g ) w w + m 1 M 1 ( f ) z 1 ¯ + m 2 M 2 ( f ) z 2 ¯ + m 3 N 1 ( f ) z 3 ¯ + m 4 N 2 ( f ) z 4 ¯ ,

所以

l( f ) w ,Jg w = f, Jl( g ) w w + m 1 [ M 1 ( f ) z 1 ¯ M 1 ( f ) g 1 ]+ m 2 [ M 2 ( f ) z 2 ¯ M 2 ( f ) g 2 ] + m 3 [ N 1 ( f ) z 3 ¯ N 1 ( f ) g 3 ]+ m 4 [ N 2 ( f ) z 4 ¯ N 2 ( f ) g 4 ].

另一方面,

l( f ) w ,Jg w = f, Jl( g ) w w +ρ[ f,g ]( c )ρ[ f,g ]( c )+η[ f,g ]( b )η[ f,g ]( c+ ),

因此,结合(7)式有

m 1 [ M 1 ( f ) z 1 ¯ M 1 ( f ) g 1 ]+ m 2 [ M 2 ( f ) z 2 ¯ M 2 ( f ) g 2 ] + m 3 [ N 1 ( f ) z 3 ¯ N 1 ( f ) g 3 ]+ m 4 [ N 2 ( f ) z 4 ¯ N 2 ( f ) g 4 ] =ρ[ f,g ]( c )ρ[ f,g ]( a )+η[ f,g ]( b )η[ f,g ]( c+ ) =ρ G T ( c )( c )ρ G T ( a )( a )+η G T ( b )( b )η G T ( c+ )( c+ ). (8)

其中, = ( f, f [ 1 ] ) T , G=( g, g [ 1 ] ) , =( 0 1 1 0 )

根据引理2,结合J-自伴算子的定义可知,存在函数 D( T ) ,使得

( c+ )=( c )=( b )=0,f( a )=0, f ( a )= γ 1 ρ ,

此时

M 1 ( f )= M 2 ( f )= N 1 ( f )= N 2 ( f )= M 2 ( f )= N 1 ( f )= N 2 ( f )=0,M( f )= α 2 γ 1 ρ ,

于是结合(8)式可知 g 1 = γ 1 g( a ) 。同理,根据引理2,令

( c+ )=( c )=( a )=0,f( b )=0, f [ 1 ] ( b )= γ 2 η , (9)

( c+ )=( a )=( b )=0,f( c )=0, f [ 1 ] ( c )= δ 1 ρ , (10)

( c+ )=( a )=( b )=0,f( c )=0, f [ 1 ] ( c )= δ 1 ρ , (11)

将(9)~(11)式分别代入(8)式,即可求得

g 2 = γ 2 g( b ),  g 3 = δ 1 g( c ),  g 4 = δ 2 g( c+ ),

所以(ii)成立。

利用与(ii)的证明类似的方法,可以证明(iii)成立。事实上,根据引理2,选取

( c+ )=( c )=0,f( b )=0,f( a )=1, f [ 1 ] ( a )= α 1 α 2 , f [ 1 ] ( b )= β 1 β 3 , (12)

( c+ )=( c )=0,f( a )=0,f( b )=1, f [ 1 ] ( a )= α 3 α 2 , f [ 1 ] ( b )= β 2 β 3 , (13)

( a )=( b )=0,f( c+ )=0,f( c )=1, f [ 1 ] ( c )= θ 1 θ 2 , f [ 1 ] ( c+ )= σ 1 σ 3 , (14)

( a )=( b )=0,f( c )=0,f( c+ )=1, f [ 1 ] ( c )= θ 3 θ 2 , f [ 1 ] ( c+ )= σ 2 σ 3 , (15)

将(12)~(15)式分别代入(8)式,可以得到

z 1 ¯ = α 1 g( a )+ α 2 g [ 1 ] ( a )+ α 3 g( b ), z 2 ¯ = β 1 g( a )+ β 2 g( b )+ β 3 g [ 1 ] ( b ) ,

z 3 ¯ = θ 1 g( c )+ θ 2 g [ 1 ] ( c )+ θ 3 g( c+ ), z 4 ¯ = σ 1 g( c )+ σ 2 g( c+ )+ σ 3 g [ 1 ] ( c+ ) ,

所以(iii)成立。

综上所述,算子TJ-自伴算子。

根据定义3及Hilbert空间 中内积的定义可得:

推论1 λ 1 λ 2 是算子T两个不同的特征值,则相应的特征函数 f( x ) g( x ) 在如下内积意义下是C-正交的:

ρ a c fgwdx +η c b fgwdx + m 1 M 1 ( f ) M 1 ( g )+ m 2 M 2 ( f ) M 2 ( g )+ m 3 N 1 ( f ) N 1 ( g )+ m 4 N 2 ( f ) N 2 ( g )=0 .

5. 格林函数

首先,定义微分方程(1)的基本解为 φ( x,λ )={ φ 1 ( x,λ ),  x[ a,c ) φ 2 ( x,λ ),  x( c,b ] χ( x,λ )={ χ 1 ( x,λ ),  x[ a,c ) χ 2 ( x,λ ),  x( c,b ]

φ 1 ( x,λ ), χ 1 ( x,λ ) 是方程(1)在区间 [ a,c ) 上满足如下初始条件的线性无关解

φ 1 ( a,λ )=1, φ 1 [ 1 ] ( a,λ )=0, χ 1 ( a,λ )=0, χ 1 [ 1 ] ( a,λ )=1,

其中 φ [ 1 ] =p φ ,它们的Wronski行列式独立于变量x,记为 ω 1 ( λ ) ,且

ω 1 ( λ )= ω 1 ( λ )| x=a =| φ 1 ( a,λ ) φ 1 [ 1 ] ( a,λ ) χ 1 ( a,λ ) χ 1 [ 1 ] ( a,λ ) |=1 .

φ 2 ( x,λ ), χ 2 ( x,λ ) 是方程(1)在区间 ( c,b ] 上满足如下初始条件的解

φ 2 ( c+,λ )= 1 θ 3 [ ( θ 1 λ δ 1 ) φ 1 ( c,λ )+ θ 2 φ 1 [ 1 ] ( c,λ ) ], (16)

φ 2 [ 1 ] ( c+,λ )= 1 η { [ ( σ 2 λ δ 2 )( θ 1 λ δ 1 ) θ 3 σ 1 ] φ 1 ( c,λ )+( σ 2 λ δ 2 ) θ 2 φ 1 [ 1 ] ( c,λ ) }, (17)

χ 2 ( c+,λ )= 1 θ 3 [ ( θ 1 λ δ 1 ) χ 1 ( c,λ )+ θ 2 χ 1 [ 1 ] ( c,λ ) ], (18)

χ 2 [ 1 ] ( c+,λ )= 1 η { [ ( σ 2 λ δ 2 )( θ 1 λ δ 1 ) θ 3 σ 1 ] χ 1 ( c,λ )+( σ 2 λ δ 2 ) θ 2 χ 1 [ 1 ] ( c,λ ) }. (19)

函数 φ 2 ( x,λ ), χ 2 ( x,λ ) 的Wronski行列式独立于变量x,记为 ω 2 ( λ )

引理4对任意的 λ ,有 η ω 2 ( λ )=ρ ω 1 ( λ ) 成立。

证明 因为Wronski行列式独立于变量x,所以有

ω 2 ( λ )= ω 2 ( λ )| x=c =| φ 2 ( c+,λ ) φ 2 [ 1 ] ( c+,λ ) χ 2 ( c+,λ ) χ 2 [ 1 ] ( c+,λ ) |,

将(16)~(19)代入上式,经计算化简得

ω 2 ( λ )= 1 θ 3 η { | θ 2 φ 1 [ 1 ] ( c,λ ) 0 ( σ 2 λ δ 2 ) θ 2 φ 1 [ 1 ] ( c,λ ) θ 3 σ 1 χ 1 ( c,λ ) | + | 0 θ 2 χ 1 [ 1 ] ( c,λ ) θ 3 σ 1 φ 1 ( c,λ ) ( σ 2 λ δ 2 ) θ 2 χ 1 [ 1 ] ( c,λ ) | } = ρ η ω 1 ( λ ).

引理5

y( x,λ )={ y 1 ( x,λ ),  x[ a,c ), y 2 ( x,λ ),  x( c,b ],

是微分方程(1)的任意一个解,则此解可以表示为

y( x,λ )={ d 1 φ 1 ( x,λ )+ d 2 χ 1 ( x,λ ),   x[ a,c ), d 3 φ 2 ( x,λ )+ d 4 χ 2 ( x,λ ),  x( c,b ],

y( x,λ ) 满足转移条件(3),则 d 1 = d 3 , d 2 = d 4

证明 y( x,λ ) 的表达式代入转移条件(3),有

( θ 1 λ δ 1 θ 2 σ 1 0 )( d 1 φ 1 ( c,λ )+ d 2 χ 1 ( c,λ ) d 1 φ 1 [ 1 ] ( c,λ )+ d 2 χ 1 [ 1 ] ( c,λ ) )+( θ 3 0 σ 2 λ δ 2 σ 3 )( d 3 φ 2 ( c+,λ )+ d 4 χ 2 ( c+,λ ) d 3 φ 2 [ 1 ] ( c+,λ )+ d 4 χ 2 [ 1 ] ( c+,λ ) )=0, (20)

将(16)~(19)代入(20)式,得到关于 d 1 d 3 , d 2 d 4 的方程组

{ [ ( θ 1 λ δ 1 ) φ 1 ( c,λ )+ θ 2 φ 1 [ 1 ] ( c,λ ) ]( d 1 d 3 )+[ ( θ 1 λ δ 1 ) χ 1 ( c,λ )+ θ 2 χ 1 [ 1 ] ( c,λ ) ]( d 2 d 4 )=0, σ 1 φ 1 ( c,λ )( d 1 d 3 )+ σ 1 χ 1 ( c,λ )( d 2 d 4 )=0. (21)

方程组(21)的系数行列式为

| ( θ 1 λ δ 1 ) φ 1 ( c,λ )+ θ 2 φ 1 [ 1 ] ( c,λ ) ( θ 1 λ δ 1 ) χ 1 ( c,λ )+ θ 2 χ 1 [ 1 ] ( c,λ ) σ 1 φ 1 ( c,λ ) σ 1 χ 1 ( c,λ ) |=ρ ω 1 ( λ )0,

从而可得 d 1 = d 3 , d 2 = d 4

Φ 1 ( x,λ )=( φ 1 ( x,λ ) χ 1 ( x,λ ) φ 1 [ 1 ] ( x,λ ) χ 1 [ 1 ] ( x,λ ) ) Φ 2 ( x,λ )=( φ 2 ( x,λ ) χ 2 ( x,λ ) φ 2 [ 1 ] ( x,λ ) χ 2 [ 1 ] ( x,λ ) ) ,则有

定理2复数 λ 是问题(1)~(3)的特征值,当且仅当 λ 满足 Δ( λ )=det( A+BΦ( b,λ ) )=0

证明 λ 0 是问题(1)~(3)的特征值, y( x, λ 0 ) 为相应的特征函数。由引理5知,存在不全为零的常数 c 1 , c 2 ,使得

y( x, λ 0 )={ c 1 φ 1 ( x, λ 0 )+ c 2 χ 1 ( x, λ 0 ),x[ a,c ), c 1 φ 2 ( x, λ 0 )+ c 2 χ 2 ( x, λ 0 ),x( c,b ].

y( x, λ 0 ) 代入边界条件(2)可得

A( c 1 φ 1 ( a, λ 0 )+ c 2 χ 1 ( a, λ 0 ) c 1 φ 1 [ 1 ] ( a, λ 0 )+ c 2 χ 1 [ 1 ] ( a, λ 0 ) )+B( c 1 φ 2 ( b, λ 0 )+ c 2 χ 2 ( b, λ 0 ) c 1 φ 2 [ 1 ] ( b, λ 0 )+ c 2 χ 2 [ 1 ] ( b, λ 0 ) )=0,

( A+BΦ( b, λ 0 ) ) ( c 1 , c 2 ) T =0, (22)

反之,若 det( A+BΦ( b, λ 0 ) )=0 ,则关于 c 1 , c 2 的齐次线性方程组(22)有非零解 ( c 1 , c 2 ) T 。令

y( x, λ 0 )={ c 1 φ 1 ( x, λ 0 )+ c 2 χ 1 ( x, λ 0 ),x[ a,c ), c 1 φ 2 ( x, λ 0 )+ c 2 χ 2 ( x, λ 0 ),x( c,b ],

y( x, λ 0 ) 是方程(1)满足条件(2)和(3)的非零解。因此 λ 0 是问题(1)~(3)的特征值。

Ω={ λ|Δ( λ )0 } 。考虑非齐次微分方程

l( y )λwy=f( x )w,xI, (23)

具有边界条件和转移条件(2)~(3),其中 λΩ, fH

设齐次微分方程 l( y )λwy=0,xI 的通解为

y( x,λ )={ y 1 ( x,λ )= C 1 φ 1 ( x,λ )+ C 2 χ 1 ( x,λ ), x[ a,c ), y 2 ( x,λ )= C 3 φ 2 ( x,λ )+ C 4 χ 2 ( x,λ ), x( c,b ],

则非齐次微分方程(23)的通解为

y( x,λ )={ y 1 ( x,λ )= C 1 ( x,λ ) φ 1 ( x,λ )+ C 2 ( x,λ ) χ 1 ( x,λ ), x[ a,c ), y 2 ( x,λ )= C 3 ( x,λ ) φ 2 ( x,λ )+ C 4 ( x,λ ) χ 2 ( x,λ ),x( c,b ].

x[ a,c ) 时, C 1 ( x,λ ), C 2 ( x,λ ) 满足线性方程组

{ C 1 ( x,λ ) φ 1 ( x,λ )+ C 2 ( x,λ ) χ 1 ( x,λ )=0, C 1 ( x,λ ) φ 1 [ 1 ] ( x,λ )+ C 2 ( x,λ ) χ 1 [ 1 ] ( x,λ )=f( x )w( x ), (24)

x( c,b ] 时, C 3 ( x,λ ), C 4 ( x,λ ) 满足线性方程组

{ C 3 ( x,λ ) φ 2 ( x,λ )+ C 4 ( x,λ ) χ 2 ( x,λ )=0, C 3 ( x,λ ) φ 2 [ 1 ] ( x,λ )+ C 4 ( x,λ ) χ 2 [ 1 ] ( x,λ )=f( x )w( x ), (25)

x[ a,c ) 时,方程组(24)的解可以表示为

C 1 ( x,λ )= a x χ 1 ( t,λ )f( t )w( t )dt + k 1 , C 2 ( x,λ )= a x φ 1 ( t,λ )f( t )w( t )dt + k 2 ,

x( c,b ] 时,方程组(25)的解可以表示为

C 3 ( x,λ )= η ρ c x χ 2 ( t,λ )f( t )w( t )dt + k 3 , C 4 ( x,λ )= η ρ c x φ 2 ( t,λ )f( t )w( t )dt + k 4 ,

于是

y 1 ( x,λ )= a x [ φ 1 ( x,λ ) χ 1 ( t,λ ) χ 1 ( x,λ ) φ 1 ( t,λ ) ]f( t )w( t )dt + k 1 φ 1 ( x,λ )+ k 2 χ 1 ( x,λ ), (26)

y 2 ( x,λ )= η ρ c x [ φ 2 ( x,λ ) χ 2 ( t,λ ) χ 2 ( x,λ ) φ 2 ( t,λ ) ]f( t )w( t )dt + k 3 φ 2 ( x,λ )+ k 4 χ 2 ( x,λ ), (27)

其中 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 为任意常数。

下面求常数 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 。将(26),(27)代入转移条件(3),根据 φ 2 ( x,λ ), χ 2 ( x,λ ) 满足的初始条件(16)~(19)可得如下方程组

{ χ 2 ( c+,λ ) a c φ 1 ( t,λ )f( t )w( t )dt φ 2 ( c+,λ ) a c χ 1 ( t,λ )f( t )w( t )dt +( k 3 k 1 ) φ 2 ( c+,λ )+( k 4 k 2 ) χ 2 ( c+,λ )=0, χ 1 ( c,λ ) a c φ 1 ( t,λ )f( t )w( t )dt φ 1 ( c,λ ) a c χ 1 ( t,λ )f( t )w( t )dt +( k 3 k 1 ) φ 1 ( c,λ )+( k 4 k 2 ) χ 1 ( c,λ )=0,

由此方程组求出

k 3 = k 1 + a c χ 1 ( t,λ )f( t )w( t )dt ,  k 4 = k 2 a c φ 1 ( t,λ )f( t )w( t )dt , (28)

将(28)代入(27)中,可得

y 2 ( x,λ )= a c [ φ 2 ( x,λ ) χ 1 ( t,λ ) χ 2 ( x,λ ) φ 1 ( t,λ ) ]f( t )w( t )dt + η ρ c x [ φ 2 ( x,λ ) χ 2 ( t,λ ) χ 2 ( x,λ ) φ 2 ( t,λ ) ]f( t )w( t )dt + k 1 φ 2 ( x,λ )+ k 2 χ 2 ( x,λ ).

从而 y( x,λ ) 可以表示为

y( x,λ )= a b K( x,t,λ )f( t )w( t )dt + k 1 φ( x,λ )+ k 2 χ( x,λ ), (29)

其中

K( x,t,λ )={ φ 1 ( x,λ ) χ 1 ( t,λ ) χ 1 ( x,λ ) φ 1 ( t,λ ), 0, 0, φ 2 ( x,λ ) χ 1 ( t,λ ) χ 2 ( x,λ ) φ 1 ( t,λ ), η/ρ [ φ 2 ( x,λ ) χ 2 ( t,λ ) χ 2 ( x,λ ) φ 2 ( t,λ ) ], atx<c, axt<c, ax<c,c<tb, at<c,c<xb, c<txb, 0, c<xtb.

将边界条件(2)表示为如下形式

U 1 ( y )=( α 1 λ γ 1 )y( a )+ α 2 y [ 1 ] ( a )+ α 3 y( b )=0, U 2 ( y )= β 1 y( a )+( β 2 λ γ 2 )y( b )+ β 3 y [ 1 ] ( b )=0, (30)

将(29)代入(30)可得

关于 k 1 , k 2 的方程组系数行列式为

| U 1 ( φ( x,λ ) ) U 1 ( χ( x,λ ) ) U 2 ( φ( x,λ ) ) U 2 ( χ( x,λ ) ) |=det( A+BΦ( b,λ ) )=Δ( λ )0 .

根据克莱姆法则可得

k 1 = Δ 1 ( λ ) Δ( λ ) ,   k 2 = Δ 2 ( λ ) Δ( λ ) ,

其中

Δ 1 ( λ )=| a b U 1 ( K )f( t )w( t )dt U 1 ( χ( x,λ ) ) a b U 2 ( K )f( t )w( t )dt U 2 ( χ( x,λ ) ) |,  Δ 2 ( λ )=| U 1 ( φ( x,λ ) ) a b U 1 ( K )f( t )w( t )dt U 2 ( φ( x,λ ) ) a b U 2 ( K )f( t )w( t )dt |,

k 1 , k 2 代入(29)中可得

y( x,λ )= a b K( x,t,λ )f( t )w( t )dt + 1 Δ( λ ) ( Δ 1 ( λ )φ( x,λ )+ Δ 2 ( λ )χ( x,λ ) ) = a b ( K( x,t,λ )+ 1 Δ( λ ) B( x,t,λ ) )f( t )w( t )dt .

进一步, y( x,λ ) 亦可表示为

y( x,λ )= a b G( x,t,λ )f( t )w( t )dt , (31)

其中

G( x,t,λ )=K( x,t,λ )+ 1 Δ( λ ) B( x,t,λ ) , B( x,t,λ )=| U 1 ( φ( x,λ ) ) U 1 ( χ( x,λ ) ) U 1 ( K ) U 2 ( φ( x,λ ) ) U 2 ( χ( x,λ ) ) U 2 ( K ) φ( x,λ ) χ( x,λ ) 0 | .

定义7 由式(31)表出的积分核 G( x,t,λ ) 称为算子T的格林函数。

基金项目

国家自然科学基金(12261066);内蒙古自然科学基金(2023LHMS01015);内蒙古自治区直属高校基本科研业务费项目(JY20240043)。

NOTES

*通讯作者。

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