一类非线性复微分方程亚纯解的情况

Meromorphic Solutions of a Class of Nonlinear Complex Differential Equations

摘要: 本文旨在研究形如f(z)ⁿ+p_d(f)=p₁e^α₁z+p₂e^α₂z+p₃e^α₃z的复微分方程亚纯解的存在性问题及解的形式和性质，用f(z)ⁿf′(z)替换原方程的f(z)ⁿ，推广了陈敏风和陈宗煊的结果，得到方程的亚纯解情况，并举例进行说明。

Abstract: The article explores the existence, form, and properties of meromorphic solutions to complex differential equations of the form f(z)ⁿ+p_d(f)=p₁e^α₁z+p₂e^α₂z+p₃e^α₃z. By replacing f(z)ⁿ in the original equation with f(z)ⁿf′(z), the chapter extends the results of Minfeng Chen and Zongxuan Chen. It presents the conditions for the equation’s meromorphic solutions and provides examples for illustration.

1. 引言与定理

1879年Picard的大小定理，为经典值分布理论的发展奠定了基础。20世纪初，Rolf Nevanlinna提出了Nevanlinna值分布理论[1]，主要通过亚纯函数的特征函数研究复变函数以及亚纯函数的值分布性质的理论。Nevanlinna理论的核心是两个基本定理：第一基本定理和第二基本定理，关注亚纯函数在其定义域内取某些值的频率以及这些频率与函数的增长速度之间的关系。1929年，Nevanlinna将值分布理论用于研究复微分方程的解[2]。通过研究微分方程的亚纯函数解，可以利用Nevanlinna理论中的结果来判断解的存在性并研究这些解的特定性质，例如它们的增长速度、零点和极点的分布等。

特别地，在2011年李平[3]研究了一类微分方程，得到如下结果。

定理A [3] 设$n\ge 2$ 为正整数，$p_d\left(f\right)$ 为关于$f$ 的微分多项式，次数为$d\le n-2$ ，$p_j,{\alpha }_j\left(j=1,2\right)$ 为非零常数且${\alpha }_1\ne {\alpha }_2$ 。如果$f$ 为微分方程

$f{\left(z\right)}^n+p_d\left(f\right)=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}$ (1.1)

的亚纯解并满足$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，则以下三种情况之一成立：1) $f\left(z\right)=c_0+c_1{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_1}{n}z}$ ；2) $f\left(z\right)=c_0+c_2{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_2}{n}z}$ ；3) $f\left(z\right)=c_1{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_1}{n}z}+c_2{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_2}{n}z}$ ，且${\alpha }_1+{\alpha }_2=0$ ，其中$c_0$ 为$f\left(z\right)$ 的小函数，${\text{c}}_j$ 为常数并满足${\text{c}}_j^n=p_j,j=1,2$ 。

2020年，刘慧芳和毛志强[4]减弱定理A中的限制条件$d\ge n-2$ ，证明了如下定理。

定理B [4] 设$n\ge 2$ 为正整数，$p_d\left(z,f\right)$ 为关于$f$ 的微分多项式，次数为$d\le n-1$ ，系数为多项式，$p_j,{\alpha }_j\left(j=1,2\right)$ 为非零常数且满足

$\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}\in \left\{\frac{t}{n},\frac{n}{t}:1\le t\le n\right\},$

如果$f\left(z\right)$ 为方程(1.1)的亚纯解并满足$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，则以下两种情况之一成立：1) $f\left(z\right)={\gamma }_1\left(z\right)+c_1{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_1}{n}z},\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}=\frac{n}{t}$ ；2) $f\left(z\right)={\gamma }_2\left(z\right)+c_2{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_2}{n}z},\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}=\frac{t}{n},$ 其中${\gamma }_j\left(z\right)$ 为$f\left(z\right)$ 的小函数，${\text{c}}_j$ 为常数并满足${\text{c}}_j^n=p_j,j=1,2.$

通过观察上述结论，可以发现方程(1.1)的右边包含两项线性无关的指数型函数，自然要问，如果方程(1.1)的右边包含三项线性无关的指数型函数，方程的解又将如何呢？

2020年，陈俊凡和连桂[5]研究了这个问题。接着2023年，陈敏风和陈宗煊[6]进行改进并得到如下结果。

定理C [6] 设$n\ge 3$ 为正整数，$p_d\left(z,f\right)$ 为关于$f$ 的微分多项式，次数为$d\le n-1$ ，系数为小函数，$p_j\left(j=1,2,3\right)$ 为非零常数，${\alpha }_j\left(j=1,2,3\right)$ 为互异的非零常数。如果$f$ 为方程

$f{\left(z\right)}^n+p_d\left(f\right)=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z}$ (1.2)

的有限级亚纯解，而且有$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，则有下面两种情况之一一定成立：

1) $f\left(z\right)=\gamma {\text{e}}^{\beta z}$ ，其中$\gamma ,\beta$ 为非零常数，且满足${\gamma }^n=p_1$ (或$p_2$ 或$p_3$ )，$n\beta ={\alpha }_1$ (或${\alpha }_2$ 或${\alpha }_3$ )。而且必有$p_d\left(z,0\right)\equiv 0$ ，并存在正整数$l_1,l_2,l_3$ 满足$\left\{l_1,l_2,l_3\right\}=\left\{1,2,3\right\}$ ，以及互异的正整数$k_1,k_2$ 满足$1\le k_1,k_2\le d$ ，使得${\alpha }_{l_1}:{\alpha }_{l_1}:{\alpha }_{l_1}=n:k_1:k_2$ 。

2) $T\left(r,f\right)\le 3\overline{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+S\left(r,f\right)$ 。

自然要问，在定理C中，如果方程中$f{\left(z\right)}^n$ 换成$f{\left(z\right)}^n{f}^{\prime }\left(z\right)$ ，则对于新的方程，是否有类似定理C的结论？在本文中，我们得到如下结果。

定理1.1 设$n\ge 3$ 为正整数，$p_d\left(z,f\right)$ 为关于$f$ 的微分多项式，次数为$d\le n-1$ ，系数为小函数，$p_j\left(j=1,2,3\right)$ 为非零常数，${\alpha }_j\left(j=1,2,3\right)$ 为互异的非零常数。如果$f$ 为方程

$f{\left(z\right)}^n{f}^{\prime }\left(z\right)+p_d\left(f\right)=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z}$ (1.3)

的有限级亚纯函数解，并满足$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，则以下两种情况之一成立：

1) $f\left(z\right)=\gamma {\text{e}}^{\beta z}$ ，其中$\gamma ,\beta$ 为非零常数，且满足${\gamma }^{n+1}=\frac{p_1}{\beta }$ (或$p_2$ 或$p_3$ )，$\left(n+1\right)\beta ={\alpha }_1$ (或${\alpha }_2$ 或${\alpha }_3$ )。而且必有$p_d\left(z,0\right)\equiv 0$ ，并存在正整数$l_1,l_2,l_3$ 满足$\left\{l_1,l_2,l_3\right\}=\left\{1,2,3\right\}$ ，以及互异的正整数$k_1,k_2$ 满足$1\le k_1,k_2,d$ ，使得${\alpha }_{l_1}:{\alpha }_{l_1}:{\alpha }_{l_1}=\left(n+1\right):k_1:k_2$ 。

2) $T\left(r,f\right)\le 4\overline{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+S\left(r,f\right)$ 。

下面给出例子说明定理1.1中结论的亚纯解确实存在。

例1.1 $f\left(z\right)={\text{e}}^z$ 为微分方程

$f{\left(z\right)}^3{f}^{\prime }\left(z\right)+2f^{\prime }\left(z\right){f^{\prime }}^{\prime }\left(z\right)+3f\left(z\right)={\text{e}}^{4z}+2{\text{e}}^{2z}+3{\text{e}}^z$

的解，此时$n=3$ ，$d=2$ ，${\alpha }_1=3$ ，${\alpha }_2=2$ ，${\alpha }_3=1$ ，满足${\alpha }_1:{\alpha }_2:{\alpha }_3=4:2:1$ ，这说明定理1.1的结论(1) 确实存在。

例1.2 $f\left(z\right)=1+{\text{e}}^z$ 为微分方程

$f{\left(z\right)}^3{f}^{\prime }\left(z\right)+f{\left(z\right)}^2-3f^{\prime }\left(z\right)-1={\text{e}}^{4z}+3{\text{e}}^{3z}+4{\text{e}}^{2z}$

的解，易知$T\left(r,f\right)=\overline{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+S\left(r,f\right)$ ，满足定理1.1的结论(2)。

例1.3 $f\left(z\right)={\text{e}}^z+{\text{e}}^{-z}$ 为微分方程

$f{\left(z\right)}^3{f}^{\prime }\left(z\right)+2{\left(f^{\prime }\left(z\right)\right)}^2+4={\text{e}}^{4z}+4{\text{e}}^{2z}+{\text{e}}^{-4z}$

的解，易知$T\left(r,f\right)=\overline{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+S\left(r,f\right)$ ，满足定理1.1的结论(2)。

2. 引理

引理2.1 [7] 令$f$ 是方程$f^n{f}^{(k)}=c{\text{e}}^{\alpha z}$ 的亚纯函数解并且$n\ge 1,k\ge 1$ 是整数，$\alpha ,c$ 是非零常数，则有$f\left(z\right)=c_1{\text{e}}^{\alpha z/(n+1)}$ ($c_1$ 是非零常数且$c_1{}^{n+1}=c{\left(n+1\right)}^k/{\alpha }^k$ )。

引理2.2 [7] [8] 设${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是互不相同的非零常数且$n\ge 3$ ，则有

$f^n{f}^{\prime }=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z},$

$f^n{f}^{\prime }=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$

两个方程没有亚纯函数解($p_j\left(j=1,2,3\right)$ 为非零常数)。

引理2.3 [9] 假设$f_1,f_2,\cdots ,f_n\left(n\ge 2\right)$ 是亚纯函数，且$g_1,g_2,\cdots ,g_n$ 是整函数，满足以下条件：

$f_1\left(z\right){\text{e}}^{g_1(z)}+f_2\left(z\right){\text{e}}^{g_2(z)}+\cdots +f_n\left(z\right){\text{e}}^{g_n(z)}\equiv 0$ ；

当$1\le j<k\le n$ 时，$g_j\left(z\right)-g_k\left(z\right)$ 不是常数；

当$1\le j\le n$ 且$1\le h<k\le n$ 时，$T\left(r,f_j\right)=o\left(T\left(r,{\text{e}}^{g_h(z)-g_k(z)}\right)\right)\left(r\to \infty ,r\notin E\right)$ ，

其中$E\subset \left(r,\infty \right)$ 是有限线性测度或对数测度集，那么$f_j\left(z\right)\equiv 0\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 。

3. 定理1.1的证明

记$F_1=f{\left(z\right)}^n{f}^{\prime }\left(z\right),G_1=P_d\left(z,f\right)$ ，则(1.3)可化为

$F_1+G_1=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.1)

微分(3.1)得

$F_1{}^{\prime }+{G^{\prime }}_1={\alpha }_1{p}_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+{\alpha }_2{p}_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+{\alpha }_3{p}_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.2)

由(3.1)及(3.1)消去${\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}$ 得

${\alpha }_1{F}_1-F_1{}^{\prime }+{\alpha }_1{G}_1-{G^{\prime }}_1=\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+\left({\alpha }_1-{\alpha }_3\right)p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.3)

记$F_2={\alpha }_1{F}_1-{F^{\prime }}_1,G_2={\alpha }_1{G}_1-{G^{\prime }}_1$ ，则(3.3)可写为

$F_2+G_2=\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+\left({\alpha }_1-{\alpha }_3\right)p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.4)

微分(3.4)得

${F^{\prime }}_2+{G^{\prime }}_2={\alpha }_2\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+{\alpha }_3\left({\alpha }_1-{\alpha }_3\right)p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.5)

由(3.4)及(3.5)消去${\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}$ 得

${\alpha }_2{F}_2-{F^{\prime }}_2+{\alpha }_2{G}_2-{G^{\prime }}_2=\left({\alpha }_2-{\alpha }_3\right)\left({\alpha }_1-{\alpha }_3\right)p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.6)

记$F_3={\alpha }_2{F}_2-{F^{\prime }}_2,G_3={\alpha }_2{G}_2-{G^{\prime }}_2$ ，则(3.6)可写为

$F_3+G_3=\left({\alpha }_2-{\alpha }_3\right)\left({\alpha }_1-{\alpha }_3\right)p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.7)

微分(3.7)得

${F^{\prime }}_3+{G^{\prime }}_3={\alpha }_3\left({\alpha }_2-{\alpha }_3\right)\left({\alpha }_1-{\alpha }_3\right)p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.8)

由(3.7)及(3.8)消去${\text{e}}^{{\alpha }_{3}z}$ 得

${\alpha }_3{F}_3-{F^{\prime }}_3+{\alpha }_3{G}_3-{G^{\prime }}_3=0.$ (3.9)

以下分两种情况讨论：

情形1 ${\alpha }_3{F}_3-{F^{\prime }}_3$ 恒等于零。将$F_3={\alpha }_2{F}_2-{F^{\prime }}_2,F_2={\alpha }_1{F}_1-{F^{\prime }}_1$ 代入得

${\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{F}_1-\left({\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_2{\alpha }_3+{\alpha }_1{\alpha }_3\right){F^{\prime }}_1+\left({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\right){F^{″}}_1-{F^{‴}}_1=0,$ (3.10)

方程(3.10)的一般解为

$F_1=c_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+c_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+c_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.11)

其中$c_1,c_2,c_3$ 为常数。又因为$F\left(z\right)=f^n\left(z\right)f^{\prime }\left(z\right)$ ，由引理2.1及2.2可得

$f\left(z\right)={\gamma }_1{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_1}{n+1}z}$ 或$f\left(z\right)={\gamma }_2{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_2}{n+1}z}$ 或$f\left(z\right)={\gamma }_3{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_3}{n+1}z},$ (3.12)

其中${\gamma }_j^{n+1}=c_j\left(n+1\right)/{\alpha }_j\left(j=1,2,3\right).$

如果$f\left(z\right)={\gamma }_1{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_1}{n+1}z}$ ，把它代入(3.11)得

${\gamma }_1^{n+1}\frac{{\alpha }_1}{n+1}{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+{\displaystyle \sum _{j=0}^d{\phi }_j{\text{e}}^{\frac{j{\alpha }_1}{n+1}z}}=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z},$ (3.13)

其中${\phi }_j\left(j=1,2,\cdots ,d\right)$ 为亚纯函数且满足$T\left(r,{\phi }_j\right)=S\left(r,f\right)$ ，由(3.13)及引理2.3可得${\gamma }_1^{n+1}=p_1\frac{n+1}{{\alpha }_1},$ $p_d\left(z,0\right)\equiv 0$ ，存在正整数$k_1,k_2\in \left\{1,2,\cdots ,d\right\}$ ，使得${\alpha }_1:{\alpha }_2:{\alpha }_3=\left(n+1\right):k_1:k_2$ 。

同理，如果$f\left(z\right)={\gamma }_2{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_2}{n+1}z}$ ，则有${\gamma }_2^{n+1}=p_2\frac{n+1}{{\alpha }_2},$ $p_d\left(z,0\right)\equiv 0,$ ${\alpha }_2:{\alpha }_1:{\alpha }_3=\left(n+1\right):k_1:k_2,$ $k_1,k_2\in \left\{1,2,\cdots ,d\right\}$ 。

如果$f\left(z\right)={\gamma }_3{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_3}{n+1}z}$ ，则有${\gamma }_3^{n+1}=p_3\frac{n+1}{{\alpha }_3},$ $p_d\left(z,0\right)\equiv 0,$ ${\alpha }_3:{\alpha }_1:{\alpha }_2=\left(n+1\right):k_1:k_2,$ $k_1,k_2\in \left\{1,2,\cdots ,d\right\}$ 。

情形2 ${\alpha }_3{F}_3-F_3{}^{\prime }$ 不恒等于零。将(3.9)改写成

$f^{n+1}\phi \left(z\right)=-\left[{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{G}_1-\left({\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_2{\alpha }_3+{\alpha }_1{\alpha }_3\right){G^{\prime }}_1+\left({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\right){G^{″}}_1-{G^{‴}}_1\right],$ (3.14)

其中

$\begin{array}{c}\phi \left(z\right)={\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{f}^{\prime }-\left({\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_2{\alpha }_3+{\alpha }_1{\alpha }_3\right)\left(n\frac{f^{\prime }}{f}{f}^{\prime }+f^{″}\right)\\ +\left({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)\left[n\left(n-1\right){\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^2{f}^{\prime }+3n\frac{f^{\prime }}{f}{f}^{″}+f^{‴}\right]\\ -\left[n\left(n-1\right)\left(n-2\right){\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^3{f}^{\prime }+6n\left(n-1\right){\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^2{f}^{″}+4n\frac{f^{\prime }}{f}{f}^{‴}+f^{(4)}\right],\end{array}$ (3.15)

由(3.14)，(3.15)及Clunie引理得

$m\left(r,\phi \right)=S\left(r,f\right),$ (3.16)

由(3.15)，(3.16)，第一基本定理及$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ 得

$\begin{array}{c}T\left(r,f\right)\le m\left(r,\phi \right)+m\left(r,\frac{f}{\phi }\right)+S\left(r,f\right)\\ \le m\left(r,\frac{\phi }{f}\right)+N\left(r,\frac{\phi }{f}\right)+S\left(r,f\right)\\ \le N(r,{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3\frac{f^{\prime }}{f}-\left({\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_2{\alpha }_3+{\alpha }_1{\alpha }_3\right)\left(n{\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^2+\frac{f^{″}}{f}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}+\left({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)\left[n\left(n-1\right){\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^3+3n\frac{f^{\prime }{f}^{″}}{f^2}+\frac{f^{‴}}{f}\right]\\ -\left[n\left(n-1\right)\left(n-2\right){\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^4+6n\left(n-1\right){\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^2\frac{f^{″}}{f}+4n\frac{f^{\prime }{f}^{‴}}{f^2}+\frac{f^{(4)}}{f}\right])+S\left(r,f\right)\\ \le 4\overline{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+S\left(r,f\right).\end{array}$

故而定理1.1得证。

基金项目

2023年度广东省教育科学规划课题(高等教育专项) (2023GXJK517).

NOTES

^*通讯作者。