三维不可压Leray-α-MHD方程的正则性准则——基于Triebel-Lizorkin空间的研究

Regularity Criteria for the Three-Dimensional Incompressible Leray-α-MHD Equations—A Study Based on Triebel-Lizorkin Spaces

摘要: 本文围绕三维不可压Leray-α-MHD方程的正则性准则展开研究。基于变量分解思想，借助Littlewood-Paley分解理论将$\nabla b$ 分解为三个子模块开展分析，再利用Bernstein不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式的组合估计方法，推导得到该方程在Triebel-Lizorkin空间内的正则性判定条件。研究证实，Leray-α-MHD方程的解$\left(u,v,b\right)$ 当$\nabla b\in L^{\frac{4q}{3q-3}}\left(0,T;{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0\left({ℝ}^3\right)\right)$ 时，其光滑性可突破给定时间区间的限制实现延拓。

Abstract: This paper conducts a research on the regularity criterion for the three-dimensional incompressible Leray-α-MHD equations. Based on the idea of variable decomposition, we decompose $\nabla b$ into three sub-modules for analysis by means of the Littlewood-Paley decomposition theory. Then, we employ the combined estimation method of the Bernstein inequality and the Gagliardo-Nirenberg inequality to derive the regularity judgment condition for the equation in the Triebel-Lizorkin space. It is verified that when the solution $\left(u,v,b\right)$ of the Leray-α-MHD equation satisfies $\nabla b\in L^{\frac{4q}{3q-3}}\left(0,T;{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0\left({ℝ}^3\right)\right)$ , its smoothness can be extended beyond the limitation of the given time interval.

1. 引言

磁流体动力学是流体力学与电磁学交叉融合形成的重要学科分支，其核心方程MHD方程能够精准刻画等离子体运动、地球磁场演化、太阳风与行星相互作用等复杂物理过程。Leray-α-MHD方程作为经典MHD方程的正则化修正模型，通过引入过滤算子有效改善了方程解的光滑性，为研究MHD方程的本质特性提供了理想的数学框架。

Leray-α-MHD方程能够精准刻画流体运动与磁场耦合作用下的各类物理过程，同时可用于模拟解析湍流演化、边界层分离等多种复杂流动现象。该方程的爆破判别准则，为阐释MHD方程所对应复杂物理现象提供了坚实的理论支撑，是当前流体力学领域的研究热点。由此可见，对Leray-α-MHD方程正则性准则开展探究，具备重要的理论价值与应用前景。

本文探究定义在${ℝ}^3$ 上的不可压Leray-α-MHD方程

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\begin{array}{l}{\partial }_{t}v+\left(u\cdot \nabla \right)v-\Delta v+\nabla \pi +\frac{1}{2}\nabla {\left|b\right|}^2=\left(b\cdot \nabla \right)b,\\ {\partial }_{t}b+\left(u\cdot \nabla \right)b-\left(b\cdot \nabla \right)v-\Delta b=0，\end{array}\end{array}\hfill \\ v=\left(Id-{\alpha }^2\Delta \right)u，\hfill \\ \nabla \cdot u=\nabla \cdot v=\nabla \cdot b=0,\hfill \\ v\left(x,0\right)=v_0\left(x\right),b\left(x,0\right)=b_0\left(x\right)\hfill \end{array}$ (1.1)

其中$v=\left(v_1,v_2,v_3\right)$ 是流体速度场，$u=\left(u_1,u_2,u_3\right)$ 表示“过滤的”流体速度，$b=\left(b_1,b_2,b_3\right)$ 表示磁场。$\pi$ 表示流体压力，$\alpha >0$ 代表过滤器宽度的长度尺度参数，该参数的取值直接影响方程解的正则化程度。

定义1.1 [1] 对于$s\in ℝ,p,q\in \left[1,\infty \right]$ ，齐次Triebel-Lizorkin空间${\dot{F}}_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)$ 定义如下

$f\in {{\mathcal{S}}^{\prime }}_h:{\Vert f\Vert }_{{\dot{F}}_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)}<\infty$

其中

${\Vert f\Vert }_{{\dot{F}}_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)}=\{\begin{array}{c}{\Vert {\left({\displaystyle \sum _{j\in Z}{2}^{jsq}}{\left|{\dot{\Delta }}_{j}f\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\Vert }_{L^p},1\le q<\infty ,\\ {\Vert \underset{j\in Z}{\sup }\left|2^{js}{\dot{\Delta }}_{j}f\right|\Vert }_{L^p},q=\infty ,\end{array}$

这里${{\mathcal{S}}^{\prime }}_h$ 表示速降函数空间Schwartz类的对偶空间，${\dot{\Delta }}_j$ 是定义在环形区域$\left|\xi \right|~2^j$ 上的时频投影算子，其作用是将函数分解为不同频率的分量。

注1.2 [2] 当$1<p<\infty$ 时，${\dot{F}}_{p,2}^0\left({ℝ}^n\right)$ 和$L^p\left({ℝ}^n\right)$ 空间等价。当$0<p\le 1$ 时，${\dot{F}}_{p,2}^0\left({ℝ}^n\right)$ 和$H^p\left({ℝ}^n\right)$ 空间等价。这一等价关系搭建起了Triebel-Lizorkin空间与经典函数空间之间的桥梁，为相关问题的研究提供了灵活的工具选择。

定义1.3 [1] 对于$s\in ℝ,p,q\in \left[1,\infty \right],L^r\left(0,T;{\dot{F}}_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)\right)$ 空间定义如下：

$f:{\Vert f\Vert }_{L^r\left(0,T;{\dot{F}}_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)\right)}<\infty$

其中

${\Vert f\Vert }_{L^r\left(0,T;{\dot{F}}_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)\right)}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\Vert f\Vert }_{{\dot{F}}_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)}^r}\text{d}t\right)}^{\frac{1}{r}},1\le r<\infty ,\hfill \\ \underset{0\le t\le T}{\text{esssup}}{\Vert f\Vert }_{{\dot{F}}_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)},r=\infty ,\hfill \end{array}$

这里${\dot{F}}_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)$ 表示齐次Triebel-Lizorkin空间，该时空空间能够同时刻画函数在时间与空间上的正则性。

在该方程的研究进程中，Linshiz和Titi [3]于2006年率先运用能量估计与紧致性方法，论证了Leray-α-MHD方程弱解的全局存在性。2011年，Zhou和Fan [4]针对速度变量构建了多类正则性准则，明确了速度在正则性定理中的核心地位。考虑到Leray-α-MHD方程的解比MHD方程的解更光滑，2009年Fan和Ozawa [5]利用这一点借助局部化与Boney仿积分解，考虑磁场光滑解的爆破准则，更精确地说，他们得到若$b$ 满足${\displaystyle {\int }_0^T{\Vert b\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{{\dot{B}}_{\infty ,\infty }^0}^2}\text{d}t<\infty$，则弱解$\left(v,u,b,\pi \right)$ 在$t=T$ 时是光滑的。此后，众多学者围绕这一方向展开深入研究，Omrane等人于2019年得到了对数改进型的爆破判别准则[6]。Wan和Chen则利用压力变量在Triebel-Lizorkin空间中的性质，建立了三维不可压Navier-Stokes方程的正则性准则[7]。本文借鉴文献[3]-[8]的研究思路与方法，重点分析磁场梯度属于Triebel-Lizorkin空间，Leray-α-MHD方程弱解的正则性准则，得到如下核心定理：

定理1.1 假设初始速度场与初始磁场满足$v_0, b_0\in H^1\left({ℝ}^3\right)$ ，同时有$\nabla \cdot v_0=\nabla \cdot u_0=\nabla \cdot b_0=0$ ，且$\left(u,v,b\right)$ 是方程(1.1)在$\left(0,T\right)$ 上的一个Leray-hopf弱解，若磁场梯度满足

${\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}\left({ℝ}^3\right)}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}}\text{d}\tau <\infty ,q>3,$

则方程(1.1)的解$\left(u,v,b\right)$ 可以延拓到$t=T$ 。

2. 预备知识和相关引理

为了完成定理1.1的证明，本节将引入速降函数空间、时频投影算子等基础概念，并列出证明过程中所需的关键不等式引理，为后续的能量估计与不等式放缩提供理论工具。

定义2.1 [9] 速降函数空间Schwartz类$\mathcal{S}\left({ℝ}^n\right)$ 是指集合

$f\in C^{\infty }\left({ℝ}^d\right):\forall k\in N,\underset{\begin{array}{c}\left|\alpha \right|\le k\\ x\in {ℝ}^d\end{array}}{\sup }{\left(1+\left|x\right|\right)}^k\left|{\partial }^{\alpha }f\left(x\right)\right|<\infty ,$

其范数为

${\Vert u\Vert }_{k,\mathcal{S}}=\underset{\begin{array}{c}\left|\alpha \right|\le k\\ x\in {ℝ}^d\end{array}}{\sup }{\left(1+\left|x\right|\right)}^k\left|{\partial }^{\alpha }f\left(x\right)\right|<\infty .$

由定义可以看出，对速降函数$f$ 有$\left|f\left(x\right)\right|\le C\frac{1}{{\left(1+\left|x\right|\right)}^k},\forall k\in N,\forall x\in {ℝ}^d$ ，因此$f\in L^1\left({ℝ}^d\right)$ 。故速降函数$f$ 的傅里叶变换为

$\widehat{f}\left(\xi \right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\text{e}}^{-ix\cdot \xi }}f\left(x\right)\text{d}x,$

其傅里叶逆变换为

$ˇf\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\text{e}}^{ix\cdot \xi }}f\left(x\right)\text{d}\xi .$

定义2.2 [9] 齐次频投算子${\dot{\Delta }}_j$ 和${\dot{S}}_j$ 定义如下：

$\begin{array}{l}\forall j\in Z,{\dot{\Delta }}_{j}u={ℱ}^{-1}\left(\phi \left(2^{-j}\xi \right)\widehat{u}\left(\xi \right)\right)\left(x\right)={ℱ}^{-1}\left(\phi \left(2^{-j}\xi \right)\right)\star u\\ =2^{jn}\left({ℱ}^{-1}\phi \right)\left(2^j\cdot \right)\star u=2^{jn}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left({ℱ}^{-1}\phi \right)\left(2^{j}y\right)u\left(x-y\right)\text{d}y},\\ \forall j\in Z,{\dot{S}}_{j}u={ℱ}^{-1}\left(\chi \left(2^{-j}\xi \right)\widehat{u}\left(\xi \right)\right)\left(x\right)={ℱ}^{-1}\left(\chi \left(2^{-j}\xi \right)\right)\star u\\ =2^{jn}\left({ℱ}^{-1}\chi \right)\left(2^j\cdot \right)\star u=2^{jn}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left({ℱ}^{-1}\chi \right)\left(2^{j}y\right)u\left(x-y\right)\text{d}y},\end{array}$

其中$\chi ,\phi \in \mathcal{S}\left({ℝ}^n\right)$ 是非负径向函数，满足$supp\chi \subset B=\left\{\xi \in {ℝ}^n:\left|\xi \right|\le \frac{4}{3}\right\}$ 及$\forall \xi \in {ℝ}^n$ ，

$supp\phi \subset \mathcal{C}=\left\{\xi \in {ℝ}^n:\frac{3}{4}\le \left|\xi \right|\le \frac{8}{3}\right\}$

使得${\displaystyle \sum _{j\in Z}\phi }\left(2^{-j}\xi \right)=1,\forall \xi \in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\}$ 和$\chi \left(\xi \right)+{\displaystyle \sum _{j\ge 0}\phi }\left(2^{-j}\xi \right)=1.$

下文列出三维Leray-α-MHD方程正则性准则证明过程中所需的关键引理，这些引理涵盖了不等式估计、函数空间嵌入等多个方面，是偏微分方程正则性理论研究的核心工具。

引理2.3 [9] (Bernstein不等式)设$\lambda >0$ ，令$\mathcal{C}$ 是环，$B$ 是球，则存在常数$C$ 使得对任意非负整数$k$ ，$1\le p\le q\le \infty$ 及函数$u\in L^p$ ，有

$\begin{array}{l}\text{supp}\widehat{u}\subset \lambda B\Rightarrow \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sup }{\Vert D^{\alpha }u\Vert }_{L^q}\le C^{k+1}{\lambda }^{k+d\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)}{\Vert u\Vert }_{L^p},\\ \text{supp}\widehat{u}\subset \lambda \mathcal{C}\Rightarrow C^{-k-1}{\lambda }^k{\Vert u\Vert }_{L^p}\le {\Vert D^{\alpha }u\Vert }_{L^p}\le C^{k+1}{\lambda }^k{\Vert u\Vert }_{L^p}.\end{array}$

引理2.4 [10] (Hölder不等式)设$\Omega$ 是${ℝ}^n$ 中一个可测集，$1\le p,q\le \infty ,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，若

$u\in L^p\left(\Omega \right),v\in L^q\left(\Omega \right)$ ，

则$uv\in L^1\left(\Omega \right)$ ，并且${\displaystyle \int \left|uv\right|\text{d}x}\le {\Vert u\Vert }_{L^p(\Omega )}{\Vert v\Vert }_{L^q(\Omega )}$ 。

引理2.5 (离散的Hölder不等式)设$p>1$ ，$q$ 是其共轭指标，$\left\{a_n\right\}$ ，$\left\{b_n\right\}$ 满足

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left|a_n\right|}^p<+\infty },{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left|b_n\right|}^q<+\infty }$ ，

则${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_n{b}_n\right|}\le {\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left|a_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left|b_n\right|}^q}\right)}^{\frac{1}{q}}$ 。

该不等式是在离散情形下的推广，常用于处理序列求和问题。

引理2.6 [10] (Young不等式)设$a,b>0,p,q>1$ 且满足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，则有$ab\le \frac{1}{p}{a}^p+\frac{1}{q}{b}^q$ 。

注2.7 [10] (带$\epsilon$ 的Young不等式)设$a,b,\epsilon >0$ ，$p,q>1$ 且满足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，则有

$ab\le \epsilon a^p+{\left(\epsilon p\right)}^{-\frac{q}{p}}\cdot q^{-1}{b}^q.$

引理2.8 [10] (插值不等式)设$\Omega$ 是${ℝ}^n$ 中一个可测集，$1\le p\le r\le q\le \infty$ ，若$u\in L^p\left(\Omega \right)\cup L^q\left(\Omega \right)$ ，则$u\in L^r\left(\Omega \right)$ ，并且

${\Vert u\Vert }_{L^r(\Omega )}\le {\Vert u\Vert }_{L^p(\Omega )}^{\alpha }{\Vert u\Vert }_{L^q(\Omega )}^{1-\alpha },$

其中$0\le \alpha \le 1,\frac{\alpha }{p}+\frac{1-\alpha }{q}=\frac{1}{r}$ 。

引理2.9 [10] (Gronwall不等式)设$\eta$ 是一个定义在$\left[0,T\right]$ 上的非负绝对连续函数并且满足如下微分不等式

${\eta }^{\prime }\left(t\right)\le \varphi \left(t\right)\eta \left(t\right)+\psi \left(t\right),$

其中$\varphi$ 和$\psi$ 是非负可积函数，则对任意$t\in \left[0,T\right]$ 有

$\eta \left(t\right)\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^t\varphi }(s)\text{d}s}\left[\eta \left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\psi }\left(s\right)\text{d}s\right].$

Gronwall不等式是处理微分不等式的核心工具，在能量估计中常用于证明解的一致有界性。

引理2.10 [11] [12] (Gagliardo-Nirenberg不等式)设$1<p,q<\infty$ ，$0\le \theta \le 1$ ，$s,s_1,s_2\in ℝ$ ，则

${\Vert {\Lambda }^{s}u\Vert }_{L^p({ℝ}^n)}\le {\Vert {\Lambda }^{s_1}u\Vert }_{L^q({ℝ}^n)}^{1-\theta }{\Vert {\Lambda }^{s_2}u\Vert }_{L^r({ℝ}^n)}^{\theta },$

其中

$\frac{1}{p}-\frac{s}{n}=\left(1-\theta \right)\left(\frac{1}{q}-\frac{s_1}{n}\right)+\theta \left(\frac{1}{r}-\frac{s_2}{n}\right),s\le \left(1-\theta \right)s_1+\theta s_2.$

该不等式建立了函数不同阶导数范数之间的插值关系，在高阶能量估计中发挥着关键作用。

3. 定理1.1的证明

本节将完成Triebel-Lizorkin空间中Leray-α-MHD方程弱解的爆破判别准则的证明。证明的核心思路是通过建立解的高阶能量估计，结合Gronwall不等式证明能量的一致有界性，进而得到解的全局正则性。

本节的核心目标是建立方程(1.1)的光滑先验界估计

${\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\le C{M}^{\exp \left\{C_T{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}\left({ℝ}^3\right)}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}}\text{d}\tau \right\}},$

其中常数C仅依赖于初始数据和时间T，于解本身无关。

第一步：L²-能量估计。

用${\left(1.1\right)}_1,{\left(1.1\right)}_2$ 分别与$v$ 和$b$ 做$L^2$ 内积后将两式相加，再利用$\nabla \cdot v=\nabla \cdot b=0$ 可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert v\Vert }_2^2+{\Vert b\Vert }_2^2\right)+{\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2=0.$

上式对时间在$\left(0,t\right)$ 上积分得

$\frac{1}{2}\left({\Vert v\Vert }_2^2+{\Vert b\Vert }_2^2\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \nabla v\Vert }_2^2}\text{d}\tau +{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \nabla b\Vert }_2^2}\text{d}\tau =\frac{1}{2}\left({\Vert v_0\left(x\right)\Vert }_2^2+{\Vert b_0\left(x\right)\Vert }_2^2\right).$

于是有

$\frac{1}{2}\left({\Vert v\Vert }_{L^{\infty }(0,T;L^2)}^2+{\Vert b\Vert }_{L^{\infty }(0,T;L^2)}^2\right)+{\Vert v\Vert }_{L^2(0,T;H^1)}^2+{\Vert b\Vert }_{L^2(0,T;H^1)}^2\le C.$

从而可得到

${\Vert v\Vert }_{L^{\infty }(0,T;L^2)}+{\Vert v\Vert }_{L^2(0,T;H^1)}\le C.$

由于在方程(1.1)中$\alpha =1$ 时有$v=\left(Id-\Delta \right)u,$ 所以可以推出

${\Vert u\Vert }_{L^{\infty }(0,T;H^2)}+{\Vert u\Vert }_{L^2(0,T;H^3)}\le C.$

结合方程(1.1)中的$\alpha =1$ 约束条件，能够推出速度场与磁场的$L^2$ 模估计是一致有界的，这一结论是后续高阶能量估计的基础。

第二步：H¹-能量估计。

用${\left(1.1\right)}_1$ 与$-\Delta v$ 做$L^2$ 内积，并利用$\nabla \cdot v=0$ 和$\nabla \cdot b=0$ 可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2={\displaystyle {\int }_{R^3}\left[\left(u\cdot \nabla \right)v\cdot \Delta v-\left(b\cdot \nabla \right)b\cdot \Delta v\right]\text{d}x},$ (3.1)

对右端两项分别进行分部积分处理：

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{R^3}-}\left(b\cdot \nabla \right)b\cdot \Delta v\text{d}x=-\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(b_j{\partial }_{j}b\right){\partial }_k^{2}v\text{d}x}\\ =\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\partial }_k}\left(b_j{\partial }_{j}b\right){\partial }_{k}v\text{d}x\\ =\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\partial }_k{b}_j{\partial }_{j}b{\partial }_{k}v+b_j{\partial }_j{\partial }_{k}b{\partial }_{k}v\right)\text{d}x}\end{array}$ (3.2)

综合(3.1)和(3.2)式可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(u\cdot \nabla \right)v\cdot \Delta v\text{d}x}+\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\partial }_k{b}_j{\partial }_{j}b+b_j{\partial }_j{\partial }_{k}b\right){\partial }_{k}v\text{d}x},$ (3.3)

类似地用${\left(1.1\right)}_2$ 与$-\Delta b$ 做$L^2$ 内积可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2={\displaystyle {\int }_{R^3}\left[\left(u\cdot \nabla \right)b\cdot \Delta b-\left(b\cdot \nabla \right)v\cdot \Delta b\right]\text{d}x}$ (3.4)

利用分部积分和$\nabla \cdot b=0$ 可得

$\begin{array}{c}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(b\cdot \nabla \right)v\cdot \Delta b\text{d}x}=-\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(b_j{\partial }_{j}v\right)}\cdot {\partial }_k^{2}b\text{d}x\\ =-\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\partial }_j}\left(b_{j}v\right)\cdot {\partial }_k^{2}b\text{d}x=-\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\partial }_k}\left(b_{j}v\right){\partial }_j{\partial }_{k}b\text{d}x\\ =-\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\partial }_k{b}_j{\partial }_j{\partial }_{k}bv+b_j{\partial }_{k}v{\partial }_j{\partial }_{k}b\right)\text{d}x}\\ =\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\partial }_{k}bv{\partial }_k{\partial }_j{b}_j+{\partial }_{k}b{\partial }_{j}v{\partial }_k{b}_j-b_j{\partial }_{k}v{\partial }_j{\partial }_{k}b\right)\text{d}x}\\ =\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\partial }_k{b}_j{\partial }_{k}b{\partial }_{j}v-b_j{\partial }_j{\partial }_{k}b{\partial }_{k}v\right)\text{d}x}.\end{array}$ (3.5)

综合(3.4)式和(3.5)式可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(u\cdot \nabla \right)b\cdot \Delta b\text{d}x}+\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\partial }_k{b}_j{\partial }_{k}b{\partial }_{j}v-b_j{\partial }_j{\partial }_{k}b{\partial }_{k}v\right)\text{d}x},$ (3.6)

将(3.3)式和(3.6)式相加可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)+{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2\\ ={\displaystyle {\int }_{R^3}\left[\left(u\cdot \nabla \right)v\cdot \Delta v+\left(u\cdot \nabla \right)b\cdot \Delta b\right]\text{d}x}+\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\partial }_k}{b}_j\left({\partial }_{j}b{\partial }_{k}v+{\partial }_{k}b{\partial }_{j}v\right)\text{d}x,\end{array}$

利用Hölder不等式，Sobolev嵌入$H^2\left({ℝ}^3\right)\to L^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ 和Young不等式可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left[\left(u\cdot \nabla \right)v\cdot \Delta v+\left(u\cdot \nabla \right)b\cdot \Delta b\right]\text{d}x}\\ \le {\Vert u\Vert }_{\infty }{\Vert \nabla v\Vert }_2{\Vert \Delta v\Vert }_2+{\Vert u\Vert }_{\infty }{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert \Delta b\Vert }_2\\ \le C{\Vert \nabla v\Vert }_2{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2+C{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2\\ \le \frac{1}{8}{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2+\frac{1}{4}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2+C\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right),\end{array}$

同时

$\sum _{j,k=1}^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\partial }_k}{b}_j\left({\partial }_{j}b{\partial }_{k}v+{\partial }_{k}b{\partial }_{j}v\right)\text{d}x\le C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left|\nabla v\right|\left|\nabla b\right|\left|\nabla b\right|\text{d}x}=I,$

利用Littlewood-Paley分解，将$\nabla b$ 分解为

$\nabla b={\displaystyle \sum _{j<-N}{\dot{\Delta }}_j}\left(\nabla b\right)+{\displaystyle \sum _{j=-N}^N{\dot{\Delta }}_j}\left(\nabla b\right)+{\displaystyle \sum _{j>N}{\dot{\Delta }}_j}\left(\nabla b\right),$

其中正整数$N$ 将在后续取定，则$I$ 可分解为

$\begin{array}{c}I\le C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left|{\displaystyle \sum _{j<-N}{\dot{\Delta }}_j}\nabla b\right|\left|\nabla b\right|\left|\nabla v\right|\text{d}x}\\ +C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left|{\displaystyle \sum _{j=-N}^N{\dot{\Delta }}_j}\nabla b\right|\left|\nabla b\right|\left|\nabla v\right|\text{d}x}+C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left|{\displaystyle \sum _{j>N}{\dot{\Delta }}_j}\nabla b\right|\left|\nabla b\right|\left|\nabla v\right|\text{d}x}\\ :=I_1+I_2+I_3.\end{array}$

对于$I_1$ 。利用Hölder不等式，Bernstein不等式，Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式得

$\begin{array}{c}{I}_1=C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left|{\displaystyle \sum _{j<-N}{\dot{\Delta }}_j}\nabla b\right|\left|\nabla b\right|\left|\nabla v\right|\text{d}x}\\ \le C{\displaystyle \sum _{j<-N}{\Vert {\dot{\Delta }}_j\nabla b\Vert }_{\infty }}{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert \nabla v\Vert }_2\\ \le C{\displaystyle \sum _{j<-N}{2}^{\frac{3j}{2}}}{\Vert {\dot{\Delta }}_j\nabla b\Vert }_2{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{1}{2}}{\Vert v\Vert }_2^{\frac{1}{2}}\\ \le C{2}^{-\frac{3N}{2}}{\Vert \nabla b\Vert }_2^2{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{1}{2}}\\ ⩽C{2}^{-2N}{\Vert \nabla b\Vert }_2^{\frac{8}{3}}+\frac{1}{8}{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2,\end{array}$ (3.7)

其中利用了不等式

${\Vert \nabla v\Vert }_2\le C{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{1}{2}}{\Vert v\Vert }_2^{\frac{1}{2}}.$

下面估$I_2$ 。利用Hölder不等式，Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式可得

$\begin{array}{c}{I}_2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left|{\displaystyle \sum _{j=-N}^N{\dot{\Delta }}_j}\nabla b\right|\left|\nabla b\right|\left|\nabla v\right|\text{d}x}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{N}^{\frac{3q-3}{4q}}}{\left({\displaystyle \sum _{j=-N}^N{\left|{\dot{\Delta }}_j\nabla b\right|}^{\frac{4q}{q+3}}}\right)}^{\frac{q+3}{4q}}\left|\nabla b\right|\left|\nabla v\right|\text{d}x\\ \le C{N}^{\frac{3q-3}{4q}}{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert \nabla v\Vert }_{\frac{2q}{q-2}}\\ \le C{N}^{\frac{3q-3}{4q}}{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{q+3}{2q}}{\Vert v\Vert }_2^{\frac{q-3}{2q}}\\ \le C{N}^{\frac{3q-3}{4q}}{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{q+3}{2q}}\\ \le CN{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}{\Vert \nabla b\Vert }_2^{\frac{4q}{3q-3}}+\frac{1}{8}{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2.\end{array}$ (3.8)

这里利用了不等式

${\Vert \nabla v\Vert }_{\frac{2q}{q-2}}\le C{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{q+3}{2q}}{\Vert v\Vert }_2^{\frac{q-3}{2q}},q>3.$

最后估计$I_3$ 。利用Hölder不等式，Bernstein不等式和Young不等式可得

$\begin{array}{c}{I}_3={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left|{\displaystyle \sum _{j>N}{\dot{\Delta }}_j}\nabla b\right|\left|\nabla b\right|\left|\nabla v\right|\text{d}x}\\ \le C{\displaystyle \sum _{j>N}{\Vert {\dot{\Delta }}_j\nabla b\Vert }_5}{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert \nabla v\Vert }_{\frac{10}{3}}\\ \le C{\displaystyle \sum _{j>N}{2}^{-j}}{\Vert {\dot{\Delta }}_j{\nabla }^{2}b\Vert }_5{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{4}{5}}{\Vert v\Vert }_2^{\frac{1}{5}}\\ \le C{\displaystyle \sum _{j>N}{2}^{-\frac{j}{10}}}{\Vert {\dot{\Delta }}_j{\nabla }^{2}b\Vert }_2{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{4}{5}}\\ \le C{2}^{-\frac{N}{10}}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2{\Vert \nabla b\Vert }_2{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{4}{5}}\\ \le C{2}^{-\frac{N}{6}}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^{\frac{5}{3}}{\Vert \nabla b\Vert }_2^{\frac{5}{3}}+\frac{1}{8}{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2\\ \le C{2}^{-\frac{N}{6}}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^{\frac{5}{3}}{\Vert \nabla b\Vert }_2^{\frac{2}{3}}{\Vert \nabla b\Vert }_2+\frac{1}{8}{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2\\ \le C{2}^{-\frac{N}{6}}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^{\frac{5}{3}}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^{\frac{1}{3}}{\Vert b\Vert }_2^{\frac{1}{3}}{\Vert \nabla b\Vert }_2+\frac{1}{8}{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2\\ \le C{2}^{-\frac{N}{6}}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2{\Vert \nabla b\Vert }_2+\frac{1}{8}{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2.\end{array}$ (3.9)

其中利用了

${\Vert \nabla v\Vert }_{\frac{10}{3}}\le C{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^{\frac{4}{5}}{\Vert v\Vert }_2^{\frac{1}{5}},$

${\Vert \nabla b\Vert }_2^{\frac{2}{3}}\le C{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^{\frac{1}{3}}{\Vert b\Vert }_2^{\frac{1}{3}}.$

综合(3.7)式，(3.8)式和(3.9)式可得

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)+\frac{1}{2}{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2+\frac{3}{4}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2\\ \le C{2}^{-2N}{\Vert \nabla b\Vert }_2^{\frac{8}{3}}+CN{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}{\Vert \nabla b\Vert }_2^{\frac{4q}{3q-3}}+C{2}^{-\frac{N}{6}}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2{\Vert \nabla b\Vert }_2+C\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)\\ \le {\left[C{2}^{-\frac{3}{2}N}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)\right]}^{\frac{4}{3}}+CN{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right)\\ +{\left[C{N}^{-\frac{N}{3}}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)\right]}^{\frac{1}{2}}{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2+C\left({\Vert \nabla b\Vert }_2^2+{\Vert \nabla v\Vert }_2^2\right).\end{array}$ (3.10)

选取(3.10)式中的$N$ ，使得

${\left[C{2}^{-\frac{N}{3}}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)\right]}^{\frac{1}{2}}\le \frac{1}{4},$

$N$ 可取为

$N=3\left(\frac{\log \left(C\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)\right)}{\log 2}+4\right).$

另一方面可验证得

${\left[C{2}^{-\frac{3}{2}N}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)\right]}^{\frac{1}{2}}\le {\left[C{2}^{-\frac{N}{3}}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)\right]}^{\frac{1}{2}}\le \frac{1}{4},$

即可得出

${\left[C{2}^{-\frac{3}{2}N}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)\right]}^{\frac{4}{3}}\le C.$

因此由(3.10)式可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)+\frac{1}{2}\left({\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2\right)\\ \le C\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2\right)+C\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right){\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}\log \left({\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2\right).\end{array}$

整理得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right)+{\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2\\ \le C\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right)+C\left({\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2+e\right){\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}\log \left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right)\\ \le C\left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right)\left[{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}\left({ℝ}^3\right)}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}\log \left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right)+1\right],\end{array}$ (3.11)

对(3.11)式利用Gronwall不等式得

$\begin{array}{l}{\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2{}_2^2+e+{\displaystyle {\int }_0^T\left({\Vert {\nabla }^{2}v\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{2}b\Vert }_2^2\right)\text{d}\tau }\\ \le C\left({\Vert \nabla v_0\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b_0\Vert }_2^2+e\right)\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}\left({ℝ}^3\right)}^0}^{\frac{4q}{q+3}}}\log \left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right)\text{d}\tau +T\right\}\\ \le C_T\left({\Vert \nabla v_0\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b_0\Vert }_2^2+e\right)\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}({ℝ}^3)}^0}^{\frac{4q}{q+3}}}\log \left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right)\text{d}\tau \right\},\end{array}$ (3.12)

令$Y\left(t\right)=\log \left({\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\right)$ ，则对(3.12)式两边取对数可得

$Y\left(t\right)\le \log \left({\Vert \nabla v_0\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b_0\Vert }_2^2+e\right)+C_T{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}\left({ℝ}^3\right)}^0}^{\frac{4q}{q+3}}}Y\left(s\right)\text{d}s,$

于是

$Y\left(t\right)\le \log \left({\Vert \nabla v_0\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b_0\Vert }_2^2+e\right)\exp \left(C_T{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}}\text{d}s\right),$ (3.13)

令$M={\Vert \nabla v_0\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b_0\Vert }_2^2+e,$ 则由(3.13)式有

${\Vert \nabla v\Vert }_2^2+{\Vert \nabla b\Vert }_2^2+e\le M^{\exp \left\{C_T{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert \nabla b\Vert }_{{\dot{F}}_{q,\frac{4q}{q+3}}^0}^{\frac{4q}{3q-3}}}\text{d}s\right\}},$

从而得到结论，即完成定理1.1的证明。